Proof of Tomaszewski's Conjecture on Randomly Signed Sums
我们证明了Tomaszewski（1986）的猜想：设$X= \sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}$，其中$\sum_i a_i^2=1$和每个$x_i$是一致随机符号.然后是$\Pr[|X|\leq 1] \geq 1/2$。我们的主要新工具是局部浓度不等式和改进的Berry-Esseen不等式的Rademacher和。
2021-08-03 math.CO math.PR
Gaussian approximations and multiplier bootstrap for maxima of sums of high-dimensional random vectors
我们推导出一个高斯近似结果的最大值的总和的高维随机向量。具体地说，我们建立的条件下，最大值的分布近似的高斯随机向量与相同的协方差阵作为原始向量的总和的最大值。当随机向量的维数（$p$）大于样本量（$n$）时，该结果适用;事实上，$p$可以远大于$n$，而不限制这些向量坐标的相关性。我们还证明了具有未知协方差阵的随机向量之和的最大值的分布可以一致地由原始向量乘以i.i.d.得到的条件高斯随机向量之和的最大值的分布来估计。高斯乘数这是高斯乘数（或野生）引导程序。这里，$p$也可以比$n$大或者甚至大得多。这些分布近似，无论是高斯或条件高斯，产生一个高质量的近似原始最大值的分布，通常与近似误差递减多项式的样本量，因此在许多应用中的兴趣。我们演示了如何我们的高斯近似和乘数引导可以用于现代高维估计，多个假设检验，自适应规格测试。所有这些结果都包含逼近误差的非渐近界。
2018-01-23 econ.EM math.PR math.ST
Tail behavior of randomly weighted sums with interdependent summands
本文研究相互相依随机变量及其随机权重的加权和尾部行为，证明最大和等价性，并给出离散时间风险模型中的有限时与随机时破产概率及广义矩渐近界。
2025-03-14 math.PR
Private Generative Bootstrap via Blocking
Booth School of Business, University of Chicago（芝加哥大学布斯商学院）
本研究提出私有生成贝叶斯自助法（PGBB），采用分块策略结合差分隐私与摊销推理，在模拟及实际数据应用中实现了更优的私有不确定性量化。
2026-08-04 cs.LG stat.ME stat.ML
Local probabilities of randomly stopped sums of power law lattice random variables
设$X_1$和$N\ge 0$为整数值幂律随机变量。对于一个随机停止和$S_N=X_1+\cdots+X_N$的独立和相同分布的$X_1$副本，我们建立了一个一阶渐近的局部概率$P(S_N=t)$为$t\to+\infty$。使用这个结果，我们显示了$k^{-δ}$，$0\le δ\le 1$缩放的局部聚类系数（随机选择的顶点度$k$）在幂律联系网络。
2019-12-05 math.PR physics.soc-ph
Lower limits for distributions of randomly stopped sums
我们研究了尾部分布的比率$\frac{\bar{F^{*τ}}(x)}{\bar F(x)}$的下极限，其中$ F^{*τ}$是i.i.d.的随机大小$τ$的和的分布。具有共同分布$F$的随机变量，并且随机变量$τ$不依赖于被加数。
2007-11-28 math.PR
New Berry-Esseen and Wasserstein bounds in the CLT for non-randomly centered random sums by probabilistic methods
我们证明了抽象界的Wasserstein和Kolmogorov距离之间的非随机中心的随机和真正的独立同分布。具有有限三阶矩和标准正态分布的随机变量。除了平均零和数的情况下，这些界限涉及耦合的总和指数与其大小偏置分布，如以前考虑在\cite{GolRin96}的非负随机变量的正态近似。当被专门用于具体的分布的总和指数，如二项分布，泊松分布和超几何分布，我们的界限原来是正确的数量级。
2015-11-19 math.PR
Asymptotics of randomly weighted sums without moment conditions of random weights
Nanjing Audit University（南京审计大学）；University of the Aegean（爱琴海大学）；Soochow University（苏州大学）；Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）
研究在无矩条件下随机加权和的渐进行为，应用于离散时间风险模型中有限时间破产概率的估计，特别处理具有常规变化尾部的增量情况。
2026-07-15 math.PR
Dickman Approximation of Randomly Weighted Sums via Stein's Method
University of Hamburg（汉堡大学）
提出基于Stein方法的统一框架，利用大小偏差耦合和Stein方程解分解，得到广义Dickman分布与条件独立随机加权和之间的Kolmogorov距离的非渐近误差界，并应用于多种概率模型的最优收敛速度。
2026-08-11 math.PR
Joint tail of randomly weighted sums under generalized quasi asymptotic independence
本文在广义拟渐近独立下研究二维随机加权和的联合尾部，提出新依赖结构与二维重尾类结合的方法，并给出有限时间破产概率。
2025-05-26 math.PR
Tomaszewski's Problem on Randomly Signed Sums: Breaking the 3/8 Barrier
令$v_1$，$v_2$，.，$v_n$是平方和为1的实数。考虑形式为$S = \sum \pm v_i$的$2^n$有符号和。Holzman和Kleitman（1992）证明了这些和中至少有3/8满足$|S| \le 1$。这个3/8的界限似乎是他们的方法所能达到的最好的。使用不同的方法，我们将界限提高到13/32，从而打破了3/8的障碍。
2017-08-31 math.CO math.PR
Large Deviations For Randomly Weighted Sums of Random Measures
令$\{\bf \mathcal{Z}_n:n\geq 1\}$是i.i.d.随机概率测度。独立地，对于每个$n\geq 1$，令$(X_{n1},\ldots, X_{nn})$是正随机变量的随机向量，其加起来为1。本文研究了随机加权和$\sum_{i=1}^{n} X_{ni} \mathcal{Z}_i$的大偏差原理。在Dirac测度的Dirichlet加权和有限的情况下，我们得到了速率函数的一个显式形式。它提供了一种新的测量概率之间的差异。作为应用，我们得到了一类随机加权均值的大偏差原理，包括Dirichlet均值和相应的后验均值。我们还确定了在正向和反向方向上的平均约束下的相对熵的最小值。
2021-06-23 math.PR
Logarithmic Large Deviations for Heavy-Tailed Randomly Stopped Sums
针对正则变化尾部的独立非负随机变量和，在极值尺度归一化下建立对数大偏差界，速率函数仅由尾指数决定。
2026-09-23 math.PR
Tail Behavior of Randomly Weighted Sums
设$\{X_t, t \geq 1\}$是同分布的两两渐近独立的随机变量序列，$\{ Θ_t, t\geq1 \}$是独立于序列$\{X_t, t \geq 1\}$的正随机变量序列.我们将讨论$\xinf=\sum_{t=1}^{\infty}Θ_t X_t^{+}$（其中$X^+=\max\{0,X\}$）和$\max_{1\leq k<\infty} \sum_{t=1}^{k}Θ_t X_t$的尾概率和几乎处处收敛性，并提供Denisov和Zwart（2007）提出的一些充分条件作为通常矩条件的替代。特别是，我们说明了$X_1$的尾部概率中涉及的慢变函数的条件如何有助于控制随机加权和的尾部行为。注意，上述结果允许我们选择$X_1, X_2,...$作为独立同分布的正随机变量。若$X_1$具有指数$-α$的规则变化尾，其中$α>0$，且$\{Θ_t,t\geq1\}$是与$\{X_t\}$无关的正随机变量序列，则已知，也可由上述充分条件得到，在$\{Θ_t,t\geq1\}$上的某些适当矩条件下，$\xinf=\sum_{t=1}^{\infty}Θ_t X_t$以概率1收敛且具有指数$-α$的规则变化尾。受Jacobsen等人（2009）的逆问题的启发，我们提出了这样一个问题：如果$\xinf$具有规则变化的尾部，那么在某些适当的条件下，$X_1$是否具有规则变化的尾部？我…
2010-11-19 math.PR math.ST stat.TH
Randomly stopped sums with consistently varying distributions
设$\{ξ_1,ξ_2,\ldots\}$是独立随机变量序列，而$η$是独立于该序列的计数随机变量。我们考虑$\{ξ_1,ξ_2,\ldots\}$和$η$的条件下，随机和$S_η=ξ_1+ξ_2+\cdots+ξ_η$的分布函数属于类的一致变化的分布。在我们的考虑中，随机变量$\{ξ_1,ξ_2,\ldots\}$不一定是同分布的。
2016-07-13 math.PR
Randomly Projected Additive Gaussian Processes for Regression
Cornell University（康奈尔大学）；New York University（纽约大学）
高斯过程（GP）提供了函数上的灵活分布，其中归纳偏差由内核控制。然而，在许多应用中，高斯过程甚至可以与中等的输入维数作斗争。学习低维投影可以帮助减轻这种维数灾难，但会引入许多可训练的超参数，这可能很麻烦，特别是在小数据区域。我们使用核的加性和进行GP回归，其中每个核对其输入的不同随机投影进行操作。令人惊讶的是，我们发现，随着随机投影数量的增加，这种方法的预测性能在很大范围的数据集上迅速收敛到对原始全维输入进行操作的内核的性能，即使我们投影到单个维度。因此，许多问题可以显着减少到一维输入空间，而无需学习变换。我们证明了这种收敛性及其速度，并提出了一种确定性的方法，收敛速度比纯粹的随机预测。此外，我们证明了我们的方法可以实现更快的推理和提高预测精度的高维输入相比，在原始输入空间的内核。
2019-12-30 cs.LG stat.ML
On lower limits and equivalences for distribution tails of randomly stopped sums
对于i.i.d.的随机和$S_τ=ξ_1+...+ξ_τ$的分布$F^{*τ}$，半线$[0,\infty)$上具有共同分布$F$的随机变量，我们研究了尾部比例的极限$\bar{F^{*τ}}(x)/\bar{F}(x)$作为$x\to\infty$（这里，$τ$是一个计数随机变量，不依赖于$\{ξ_n\}_{n\ge1}$）。我们还考虑应用所获得的结果随机游走，复合泊松分布，无限可分的法律，和亚临界分支过程。
2008-05-26 math.PR
Randomly stopped maximum and maximum of sums with consistently varying distributions
设$\{ξ_1,ξ_2,\ldots\}$是独立随机变量序列，而$η$是独立于该序列的计数随机变量。另外，让$S_0:=0$和$S_n:=ξ_1+ξ_2+\cdots+ξ_n$为$n\geqslant1$。我们考虑随机变量$\{ξ_1,ξ_2,\ldots\}$和$η$的条件下，随机最大值$ξ_{(η)}:=\max\{0,ξ_1,ξ_2,\ldots,ξ_η\}$和随机最大值的总和$S_{(η)}:=\max\{S_0,S_1,S_2,\ldots,S_η\}$的分布函数属于类的一致变化的分布。在我们的考虑中，随机变量$\{ξ_1,ξ_2,\ldots\}$不一定是同分布的。
2017-04-07 math.PR
The Bivariate regular variation of randomly weighted sums revisited in the presence of interdependence
University of the Aegean（爱琴海大学）
研究在随机权重与主随机变量弱相依且主变量服从非标准双变量正则变化条件下，随机加权和的联合分布具有双变量正则变化，并给出Radon测度的解析关系，应用于信用风险模型中的破产概率和联合预期亏损的渐近行为。
2026-06-01 math.PR
Asymptotics of randomly stopped sums in the presence of heavy tails
我们研究的条件下，$P(S_τ>x)\sim P(M_τ>x)\sim EτP(ξ_1>x)$作为$x\to\infty$，其中$S_τ$是一个总和$ξ_1+...+ξ_τ$的随机大小$τ$和$M_τ$是一个最大的部分和$M_τ=\max_{n\leτ}S_n$。这里$ξ_n$，$n=1$，2，.，是独立同分布的随机变量，其公共分布假定为次指数分布。我们主要考虑$τ$独立于被加数的情况;此外，在特定情况下，我们处理停止时间。我们还考虑了$Eξ>0$和$τ$的尾部与$ξ$相当或比$ξ$重的情况，并得到了渐近式$P(S_τ>x) \sim EτP(ξ_1>x)+P(τ>x/Eξ)$为$x\to\infty$。这种情况是分支过程中的主要兴趣。此外，我们获得了新的统一（在所有$x$和$n$）的比率$P(S_n>x)/P(ξ_1>x)$，大大提高Kesten的约束在子类${\mathcal S}^*$的次指数分布的上界。
2009-01-20 math.PR
Limit Theorems for Random Sums of Random Summands
本文证明了随机选择随机变量的和的极限定理。我们考虑几个版本的角落增长设置，包括特定的情况下，之间的被加数和被加数与重尾的依赖。我们还证明了一个版本的Hoeffding的组合中心极限定理和结果的求和均匀从一个随机样本。这些结果都得到了测量技术的证实。
2022-06-29 math.PR
Second-order Asymptotic Analysis of Tail Probabilities of Bidimensional Randomly Weighted Sums
Anhui University（安徽大学）；The Chinese University of Hong Kong (Shenzhen)（香港中文大学（深圳））
研究保险二维离散时间风险模型中总净损失随机折现价值两类尾部概率的二阶渐近性，通过建立随机加权和公式并应用于模型，得到二阶渐近公式，数值模拟显示其比一阶更精确。
2026-07-14 math.PR stat.AP
On the Law of Large Numbers and Convergence Rates for the Random Projections
本文研究$\n\bbr^n$单位球面均匀随机权重的加权和，建立了Marcinkiewicz-Zygmund型大数定律，并给出其收敛速度定理，完善了随机投影相关的概率极限理论。
2025-05-18 math.PR
On asymptotic scales of independently stopped random sums
我们研究随机停止和通过其渐近尺度。首先，考虑矩的有限性。为了推广这项研究，渐近尺度适用于所有重尾随机变量的类。停止被假定为独立的基本过程，这是一个随机游动。主要结果使人们能够确定是否停止和的渐近行为是由增量，或停止变量。作为这一结果的结果，得到了复合和的矩决定性的新的充分条件。
2014-05-09 math.PR
A central limit theorem for unbalanced step-reinforced random walks
本文研究一类统一了象随机游走等模型的不平衡步长强化随机游走，通过建立与随机递归树键渗流的联系将其表示为随机加权和，推导出正态与稳定中心极限定理，进而获得该类游走的统一中心极限定理。
2025-10-13 math.PR
Uniform approximation of common Gaussian process kernels using equispaced Fourier grids
本文针对高斯过程计算中基于等距傅里叶网格展开协方差核的方法，严格推导了Matérn和平方指数核的误差界，并猜想及验证了矩阵误差界与线性系统病态性。
2023-05-18 cs.NA math.NA stat.CO
Weighted Sums and Berry-Esseen type estimates in Free Probability Theory
研究自由概率论中随机权重加权和的分布，证明其与Wigner半圆律的Kolmogorov距离达$n^{-1/2}$阶，弱度量下达$n^{-1}$阶，并推广至非同分布情形得出自由中心极限定理新收敛率。
2024-08-22 math.OA math.PR
Dickman Approximation of weighted random sums in the Kolmogorov distance
我们考虑广义Dickman分布的分布逼近，它出现在数论，永恒，对数组合结构和许多其他领域。我们证明了这个家庭的成员在柯尔莫哥洛夫距离的某些加权和的伯努利和泊松随机变量的近似的界限。虽然Bhattacharjee和Goldstein（2019）之前已经展示了基于平滑检验函数的距离以及本文考虑的随机变量的特殊情况，但Kolmogorov距离的结果是新的。我们还建立了我们的收敛速度的最优性推导的下界。因此，一些有趣的相变出现取决于选择的基本参数。我们的结果的证明主要依赖于Stein方法的使用。特别地，我们研究了与Kolmogorov距离相关的检验函数对应的Stein方程的解，并建立了它们的光滑性质。作为应用，我们研究了快速选择算法的运行时间和随机生长的简单增树的加权深度。
2022-11-18 math.PR
Bootstrap percolation in inhomogeneous random graphs
图G上的自举渗流过程是一个按轮演化的“感染”过程。最初，有一个受感染节点的子集，在随后的每一轮中，至少有r个受感染邻居的每个未受感染节点都被感染，并永远保持感染状态。参数r > 1是固定的。我们考虑这个过程中的情况下，底层图是一个非齐次随机图的内核是秩1。假设最初每个顶点都以概率p > 0独立地被感染，我们为过程结束时将被感染的顶点数量提供了一个大数定律。我们还重点研究了一类特殊的随机图，它具有幂律度分布，指数为（2，3）。前两位作者证明了存在一个检验函数a_c（n）使得a_c（n）=o（n），并具有以下性质。设n是底层随机图的顶点数，设a（n）是最初被感染的顶点数。假设一组a（n）个顶点是随机选择的，并且被外部感染。如果a（n）<< a_c（n），则过程根本不演化，并且随着n的增长，概率很高，而如果a（n）>> a_c（n），则最终感染顶点的集合很可能是线性的。利用前一定理的技巧，我们给出了当a（n）>> a_c（n）但a（n）= o（n）时，最终感染的顶点的精确渐近分数.注意，这对应于p接近0的情况。
2015-06-20 math.CO math.PR
