Recent results on homological properties of binomial edge ideal of graphs
Priya Das
该文综述2018年以来图的二项式边理想同调性质相关研究进展。
本文对2018年以来图的二项式边理想研究的最新进展进行了全面综述。
In this article, we give a comprehensive survey of the recent progress of research on binomial edge ideal of a graph since 2018.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Construction of Cohen-Macaulay binomial edge ideals
本文讨论了由子图的胶合和锥的形成所得到的图的二项式边理想的代数和同调性质。
Homological shifts of polymatroidal ideals
该研究聚焦多拟阵理想的同调移位问题，证明任意多拟阵理想的第一同调移位理想仍为多拟阵理想，支持了相关猜想，并重新得到无平方因子情形下的已有结果。
Binomial canonical decompositions of binomial ideals
本文证明了特征为零的代数闭域上的多项式环中的每一个二项式理想都有一个到二项式理想的标准准素分解。此外，我们证明了这种特殊的分解是从细胞分解，这也是在一个典型的方式定义，并不依赖于字段。
Some homological properties of Borel type ideals
研究Borel型理想，包括$k$ -Borel理想和$t$ -spread Veronese理想.我们确定了它们的自由分解和同调移位理想。计算了等生成无平方主Borel理想的重数和解析展度.对于重数，在一个附加的假设下给出了结果，该假设对于无平方主Borel理想总是满足的.当$I$是等生成的无平方Borel理想时，这些结果被用来分析同调移位理想$HS_j(I)$作为$j$的函数的高度、重数和解析扩展的行为.
Some homological properties of an amalgamated duplication of a ring along an ideal
本文研究了环$R$的某些同调性质沿着$R$的某些理想$I$转移到它的合并复制环上，从而生成具有这些性质的新的环族.
Extremal Betti numbers of some Cohen-Macaulay binomial edge ideals
给出了Cohen-Macaulay锥的二项式边理想的正则性和Cohen-Macaulay型，并给出了Cohen-Macaulay二部图和扇形图的极值贝蒂数.此外，我们还计算了某些Cohen-Macaulay二部图的二项式边理想的Hilbert-Poincaré级数.
Homological dimensions of the amalgamated duplication of a ring along a pure ideal
研究了环$R$沿纯理想$I$的合并复制的经典整体维数和弱维数.
Finite Basis for Radical Well-Mixed Difference Ideals Generated by Binomials
本文证明了由二项式生成的根良混合差分理想的一个有限基定理。结果证明了差多项式环中由二项式生成的根良混合差理想的严格升链是有限的，从而回答了E. Hrushovski在二项式的情况下。
On The Generalized Binomial Edge Ideals of Generalized Block Graphs
我们计算了与广义块图相关的广义二项式边理想的深度和正则性（给出了其界）。
Local cohomology of binomial edge ideals and their generic ideals
给出了二项式边理想的局部上同调模的一个Hochster型公式。因此，我们得到了一个简单的标准，这些理想的科恩-Macaulayness，我们描述他们的Castelnuovo-Mumford正则性和希尔伯特级数。我们还证明了Conca，De Negri和Gorla关于二项式边理想的局部上同调模及其一般初始理想的分次分量的猜想。
Generalized binomial edge ideals of bipartite graphs
本文针对Bolognini等人分类的连通二部图，计算其广义二项式边理想的深度、正则性和维数，完善了该类理想的代数性质刻画。
Level and pseudo-Gorenstein binomial edge ideals
本文证明正则度2的level二项式边理想与正则度3的伪Gorenstein二项式边理想均为锥并完全描述之，同时刻画二部图的相应理想。
Decompositions of Binomial Ideals in Macaulay 2
软件包Binomials包含二项式理想的专用算法的实现，包括到二项式理想的准素分解。当前的实现工作在特性零。准素分解被限制为具有平凡系数的二项式理想，以避免在代数数上的计算。算法的基本思想可以追溯到Eisenbud和Sturmfels关于这个主题的开创性论文。最近的两个改进的算法进行了讨论，并给出了例子。
Parity Binomial Edge Ideals with Pure Resolutions
我们提供了所有图的奇偶二项式边理想有纯决议的一个特征。特别地，我们证明了奇偶二项式边理想的最小自由分解是纯的当且仅当对应的图是完全二部图，或路与奇圈的不交并。
Hilbert-Poincaré series of parity binomial edge ideals and permanental ideals of complete graph
本文给出了完全图$K_{n}$的奇偶二项边理想的Hilbert-Poincaré级数的一个显式公式，或等价地给出了$2\times n$ -矩阵的所有$2\times 2$ -持久式生成的理想的Hilbert-Poincaré级数的一个显式公式.由此得出这些理想的深度和Castelnuovo-Mumford正则性与$n$无关。
Rees algebra and special fiber ring of binomial edge ideals of closed graphs
本文计算了闭图的二项式边理想的Rees代数的正则性。得到了二项式边理想的Rees代数的正则性的一个下界.利用闭图的初始代数的代数性质和Sagbi基理论，研究了闭图的Rees代数和二项式边理想的特殊纤维环的一些代数性质。得到了闭图的二项式边理想的特殊纤维环的正则性的一个上界。
Binomial edge ideals of Clutters
在本文中，我们引入了二项式边理想的杂波的概念，并获得类似的结果，由Rauf \& Rinaldo在\cite{raufrin}图。我们还回答了他们论文中提出的一个问题。
Regularity bounds for binomial edge ideals
证明了图的二项式边理想的Castelnuovo-Mumford正则性的下界是由其最长诱导路的长度所决定的，而下界是由其顶点数所决定的.
An upper bound for the regularity of binomial edge ideals of trees
本文给出了树的二项边理想正则性的一个改进的上界。
On the regularity of binomial edge ideals
研究了二项式边理想的正则性。对于闭图$G$，我们证明了二项式边理想$J_G$的正则性与$\ini_{\lex}(J_G)$的正则性一致，并且可以用$G.$的组合数据来表示.此外，我们还对某些图类给出了Matsuda-Murai猜想的肯定答案.
Homological shifts of powers a complementary edge ideal
研究互补边理想幂次的同调位移及其投影维数，揭示树和环的结构特性，证明同调位移理想可转化为Veronese型理想。
Koszul binomial edge ideals
证明了如果图$G$的二项边理想定义一个Koszul代数，则$G$必是无弦无爪的.对一类弦无爪图证明了这一命题的逆命题。
Toricness of Binomial Edge Ideals
设G是有限单图。本文证明了G的二项式边理想JG是环面的当且仅当G的每个连通分支是完全的，并且在这种情况下它是与二部完全图相关联的环面理想之和。
Generalized Binomial Edge Ideals
本文研究了一类与有限点集图有关的二项式理想。它们推广了二项式边理想，并且它们出现在条件独立理想的研究中。Gröbner基可以通过研究图中的路径来计算。由于这些Gröbner基是无平方的，广义二项式边理想是根的。为了找到准素分解，必须解决一个涉及子图连通分支的组合问题。解簇的不可约分量都是有理的。
On the Betti numbers of some classes of Binomial edge ideals
研究了一类具有大Castelnuovo-Mumford正则性的图的二项式边理想的贝蒂数.作为应用，我们给出了依赖于诱导子图的任意图的Castelnuovo-Mumford正则性的几个下界.
Bound for the regularity of binomial edge ideals of cactus graphs
在这篇文章中，我们获得了每个块都是圈或团的图的二项边理想的正则性的上界。作为结果，我们得到了仙人掌图的二项式边理想的正则性的一个上界。我们还确定某些子类达到上界。
Decompositions of Binomial Ideals
我们提出二项式，计算机代数系统Macaulay2，专门众所周知的算法二项式理想的包。这些经常出现在代数统计和交换代数，它表明，显着加速计算，如准素分解是可能的。虽然实现算法的中心部分可以追溯到Eisenbud和Sturmfels（1996），但我们还讨论了计算二项式理想的最小素数的新算法。所有分解都充分利用了二项式理想中的组合结构，为了证明这种方法的强大功能，我们展示了如何使用二项式来计算Evans等人的交换出生和死亡理想的准素分解，其中，有一个比喻，叫做“以德报怨”。
Homological shift ideals
对于单式理想$I$，我们考虑$I$的$i$次同调移位理想，记为$\text{HS}_i(I)$，即由$I$的$i$次多级移位生成的理想.研究了这类理想的一些代数性质。证明了对任意的单名理想$I$和任意的单名素理想$P$，对所有的$i$都有$\text{HS}_i(I(P))\subseteq \text{HS}_i(I)(P)$，其中$I(P)$是$I$的单名局部化.特别地，我们考虑了一些具有线性同调元的单项式理想族的同调移位理想。对任意$\textbf{c}$有界主Borel理想$I$和路图补图的边理想，证明了$\text{HS}_i(I)$对所有$i$都有线性映射.作为$\textbf{c}$ -有界主Borel理想的一个例子，考虑了Veronese型理想，并证明了这些理想的同调移位理想是多项式拟阵的.这意味着对于任何满足强交换性质的多拟阵理想，$\text{HS}_j(I)$对所有$j$都是多拟阵理想。对任意线性分辨率的边理想，刻画了理想$\text{HS}_j(I)$的特征，证明了理想$\text{HS}_1(I)$具有线性的边元.
Lovász-Saks-Schrijver ideals and parity binomial edge ideals of graphs
设$G$是以$n$为顶点的单图.设$L_G \text{ and } \mathcal{I}_G \: $分别表示多项式环$S = \mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n] $中$G$的Lovász-Saks-Schrijver（LSS）理想和奇偶二项式边理想.我们对LSS理想和奇偶二项式边理想是完全交的图进行了分类。对LSS理想和奇偶二项式边理想几乎完全交的图进行了分类，证明了它们的Rees代数是Cohen-Macaulay代数。计算了树和奇单圈图的第二分次贝蒂数，得到了树和奇单圈图的LSS理想的极小表示。我们还得到了树和奇单圈图的LSS理想的对称代数的定义理想的明确描述。
Symbolic Powers and Symbolic Rees Algebras of Binomial Edge Ideals of Some Classes of Block Graphs
本文研究几类块图的二项边理想的符号幂与符号Rees代数性质，证明垂悬团图的符号幂与普通幂一致，两类图的相关理想具符号$F$-分裂性，其符号Rees代数为强$F$-正则。
On approximately Cohen-Macaulay binomial edge ideal
文[4]引入了图G的二项边理想IG。他们发现了一些类的图G的性质，即IG是一个科恩-麦考利理想。这可能只发生在少数几类图上。科恩-麦考利的一种推广，称为近似科恩-麦考利，是由S。Goto在[3]中。研究了一类二项式边理想近似Cohen-Macaulay的图。此外，我们使用一些同调的方法来计算它们的希尔伯特级数。
Hilbert Series Of Binomial Edge Ideals
设$G$是一个以$n$为顶点的有限单图，$J_G$表示多项式环$S = K[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n].$中相应的二项式边理想.本文利用可分解图的不可分解子图的Hilbert级数来计算可分解图的二项式边理想的Hilbert级数.并计算了两个图的联的二项边理想的Hilbert级数，从而得到了完全$k$ -部图、扇图、多扇图和轮图的Hilbert级数.
The universal Gröbner basis of a binomial edge ideal
我们证明了二项式边理想的泛Gröbner基和Graver基是一致的。我们提供了一个描述这个基础上设置在底层图中的某些路径。我们对奇偶二项边理想推测了类似的结果，并在底层图是完全图的情况下证明了这一猜想。
Complete intersections in binomial and lattice ideals
本文针对一维齐次格理想族，建立了完全交集的代数与几何判别准则，并证明了正特征下所有此类理想均为二项式集合论完全交集，零特征下二项式集合论完全交集必为完全交集。
Almost complete intersection binomial edge ideals and their Rees algebras
设$G$是$n$顶点上的单图，$J_G$表示$G$在多项式环$S = \mathbb{K}[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n].$中的二项式边理想.本文计算了$J_G$的二阶贝蒂数，并在$G$是树或单圈图时得到了它的极小表示.对几乎完全交的二项边理想进行了分类，证明了它们是由$d$ -序列生成的，并且证明了它们的二项边理想的Rees代数是Cohen-Macaulay.我们还得到了这些二项式边理想的Rees代数的定义理想的明确描述。
Regularity of powers of quadratic sequences with applications to binomial ideals
本文利用多项式环中齐次二次序列生成的理想的相关理想的正则性和生成元的次数，得到了该理想的方幂的Castelnuovo-Mumford正则性的一个上界.作为结果，我们计算了几个二项式理想的幂的正则性的上界。推广了Matsuda和Murai的一个结果，证明了对于所有的$s \geq 1$，$J^s_G$的正则性下有界于$2s+\ell(G)-1$，其中$J_G$表示图$G$的二项式边理想，$\ell(G)$表示$G$中最长诱导路的长度.我们计算了圈图，星图和气球图的二项式边理想的幂的正则性。同时，我们给出了几乎完全交二项边理想和奇偶二项边理想的幂的正则性的精确界。
On the symbolic powers of binomial edge ideals
证明了在一定条件下，若多项式环中理想$I$的$_<(I)$中的初始理想具有其符号幂和普通幂重合的性质，则理想$I$也具有相同的性质.我们应用这个结果证明了二次Gröbner基的二项式边理想的符号幂和普通幂之间的相等性。
Binomial Edge Ideals of König Type
通过路径覆盖数等于散射数的微小变体来刻画具有König型二项式边理想的图，并证明共可比图具有该性质，从而分类无混合König型二项式边理想为共可比图（即弱闭图）。
Regularity of powers of (parity) binomial edge ideals
本文给出了由齐次$d$ -序列生成的几乎完全交理想$I$的幂的Castelnuovo-Mumford正则性的精确公式.作为应用，当$I$是几乎完全交时，取连通图的（奇偶）二项式边理想的形式，我们可以明确地描述$t\ge 2$的$\reg(I^t)$的公式.唯一的例外是当$I$是一个图的奇偶二项式边理想，这是通过添加两个不相交的奇循环之间的边缘。
Binomial edge ideals and conditional independence statements
引入了单图$G$上的二项式边理想，并研究了它们的代数性质。我们描述了那些图的二次生成元形成一个Gröbner基础的字典顺序诱导的顶点标签。这样的图是弦的和无爪的。给出了一般$G$的一个约化无平方Gröbner基.因此，所有的二项式边理想都是根理想。它们的极小素数可以用$G$的顶点的特定子集来刻画。给出了闭图和非闭图的Cohen-Macaulay性的充分条件。二项式边理想在条件独立理想的研究中自然出现。我们的结果适用于类的条件独立理想，其中一个固定的二进制变量是独立的其他变量的集合，其余的。在这种情况下，准素分解具有自然的统计解释
F-Purity of Binomial Edge Ideals
本文研究了二项式边理想F纯性，证明了弱闭图的二项式边理想在特征2时F纯，且反驳了Matsuda的第二个猜想，指出含星形三元组的图在任何正特征下非F纯。
Cohen-Macaulay Property of Binomial Edge Ideals with Girth of Graphs
本文利用分次理想与其无平方因子初始理想的深度相等性，研究 Cohen–Macaulay 二项式边理想，给出基于 whisker、双连通图和图块的刻画条件，并证明其图围长必小于 5 或为无穷大。
Application of Betti Splittings to the Regularity of Binomial Edge Ideals
本文利用 Betti 分裂框架，为树的二项式边理想正则度提供上下界，并在特定条件下给出显式计算。
A quasi-additive property of homological shift ideals
本文研究单项式理想同调移位理想的拟可加性质，证明了c-有界主Borel理想、满足强交换性质及二次生成的polymatroidal理想等均满足该包含关系，并推广了特定条件下的等式与包含情形。
Binomial fibers and indispensable binomials
设$I$是由二项式生成的任意理想。我们表明，某些等价类的纤维相关联的任何最小二项式生成集的$I$。我们提供了一个简单而有效的算法来计算一个二项式理想的必不可少的二项式从一个给定的生成集的二项式和算法来检测是否一个二项式理想是由必不可少的二项式生成。
The norm of the saturation of a binomial ideal, and applications to Markov bases
给定变量x_i中的纯二项理想I，定义了一个新的测度I关于变量x_i的乘积的饱和度的复杂性，我们称之为范数。我们给出了一个容易计算的理想的不变量的范数上的界。我们讨论统计应用的实际和理论。
Gorenstein binomial edge ideals associated with scrolls
设$I_G$是与顶点集[n]上的闭图$G$相关联的一般2 × n - Hankel矩阵上的二项式边理想.我们刻画了图$G$，其中$I_G$具有最大正则性，并且是Gorenstein图.
The $\mathrm{v}$-Number of Binomial Edge Ideals
本文率先研究二项式边理想的$\mathrm{v}$-数，给出其性质与界，确定割集$\emptyset$对应局部的$\mathrm{v}$-数，证明Knutson情形的不等式，分类$\mathrm{v}$-数为1的理想，并联系Castelnuovo-Mumford正则性提出猜想。
Generalized binomial edge ideals of complete $r$-partite graphs
针对完全$r$-部图的广义二项式边理想，研究其同调代数性质，明确算出该理想的上同调维数及其商环的Krull维数、深度等多项关键不变量。
Desingularization of binomial varieties in arbitrary characteristic. Part II. Combinatorial desingularization algorithm
本文构造了任意特征域上二项理想的奇点的分解的组合算法。该算法适用于任何二项理想。这意味着理想是由没有任何限制的二项方程生成的，包括单项式和$p$次幂，其中$p$是基场的特征。特别地，该算法适用于复曲面理想。该算法不需要复曲面几何工具，其构造思路与Villamayor算法的特征零点处的奇点的分解相同。
Cohen-Macaulay Binomial edge ideals in terms of blocks with whiskers
对于图$G$，Bolognini等人证明了$J_{G}$是强非混合的，$\Rightarrow$ $J_{G}$是Cohen-Macaulay的，$\Rightarrow$ $G$是可达的，其中$J_{G}$表示$G$的二项式边理想。可分解和强非混合性质是纯组合性质。我们给出了一些动机，只专注于块与晶须的表征与科恩-麦考利$J_{G}$的所有$G$。我们表明，访问和强非混合性能的$G$只依赖于相应的属性，其块与晶须，反之亦然。同时，我们给出了一类无穷图的二项式边理想是Cohen-Macaulay，并由此对所有的$r$ -正则$r$ -连通图进行了分类，使得在它上面附加一些特殊的须，二项式边理想就成为Cohen-Macaulay.最后，我们定义了一类新的图，称为\textit{strongly $r$-cut-connected}，并证明了任意强$r$ -割连通可达图的割点不超过3的二项式边理想是Cohen-Macaulay.
Binomial Edge Ideals of Generalized block graphs
我们对具有唯一极值贝蒂数的二项式边理想的广义块图进行了分类.证明了广义块图的二项式边理想的Castelnuovo-Mumford正则性是由$m(G)+1$定义的下有界，其中$m(G)$是图$G$的最小割集的个数，并得到了关于图$G$的最大团数和悬挂顶点数的正则性的一个改进的上界.
A Combinatorial Algorithm to Find the Minimal Free Resolution of an Ideal with Binomial and Monomial Generators
近年来，单名理想和二项式理想的组合性质得到了广泛的研究。特别是，组合解释的自由分解算法已在这两种情况下。在目前的工作中，我们将介绍类似的技术，或修改现有的，以获得两个新的结果。第一个是$k[\mathbb{Z}^n]$的$Λ$ -不变子模的$S[Λ]$ -分解，其中$Λ$是$\mathbb{Z}^n$中满足一些平凡条件的格.结果将是解析$k[\mathbb{Z}^n/Λ]$的子模的能力，并且特别是解析$S/I_Λ$的理想$J$的能力，其中$I_Λ$是$Λ$的晶格理想。其次，我们将提供一个详细的说明，在三个层面上如何解除上述决议的决议在$k[x,y,z]$的理想与单名和二项式发电机。
Binomial expansion for saturated and symbolic powers of sums of ideals
在文献中存在两种不同的理想的符号幂的概念，一种是用相伴素数定义的，另一种是用极小素数定义的。在阐述艾森巴德、赫尔佐格、希比和忠的一个想法时，我们将象征性权力的两个概念解释为普通权力的适当饱和。证明了理想和的饱和幂的一个二项式展开式。这给出了一个统一的治疗一系列现有的和新的结果上的两个概念的符号权力等款项：二项式展开公式，计算的深度和规律性，以及标准的平等的普通和象征性的权力。
Mesoprimary decomposition of binomial submodules
最近Kahle和Miller的结果给出了一种构造二项式理想的准素分解的方法，即首先构造由其基础幺半群同余确定的“中素分解”。这些中间素分解在本质上是高度组合的，并且被设计为在Noetherean环上并行标准准素分解。本文将中初等分解从二项式理想推广到相应幺半群代数上的分次模的“二项式子模”，类似于Noetherean环$R$上理想的准素分解推广到$R$ -模.其结果是一个组合的方法来构建准素分解，当限制到特殊情况下的二项式理想，符合的方法介绍了由Kahle和米勒。
Binomial Edge Ideals of Complements of Graphs of Girth at Least 5
本文借助 Àlvarez Montaner 的工具计算围长至少为5的图的补图之二项式边理想的局部上同调模，并据此得到其深度、维数与正则度。
The size of the Betti table of Binomial Edge Ideals
该研究针对n个非孤立顶点的有限简单图及其二项边理想，确定了几乎所有对应的投射维数与正则度对，推进了交换代数中相关不变量的刻画。
Binomial ideals attached to finite collections of cells
本文研究有限胞腔集合的内2-子式理想，给出非混合胞腔理想高度与胞腔个数的关系，并刻画了具有孤立奇点的胞腔理想的坐标环。
From neural codes to homological invariants: regularity and projective dimension of polarized neural ideals
本文研究极化神经理想在n个神经元上的项目维度和正则度，确定其可能值并探讨线性解构和线性商的条件。
The primary components of positive critical binomial ideals
当理想是几乎完全相交时，$n$维单项式曲线的（必然素数）定义理想的生成集的自然候选者是$n$临界二项式的全集。在一个稍微修改和更容易处理的情况下，我们证明，当指数都是积极的，关键的二项式理想在我们的意义上甚至不是unmixed为$n\geq 4$，而为$n\leq 3$，他们是unmixed。我们进一步给出了它们的孤立准素分支作为系数单项曲线的定义理想的完整描述。这回答了一个开放的问题上的数量的主要成分的Herzog-Northcott理想，其中包括情况$n=3$。此外，我们发现一个明确的，具体的描述的无冗余嵌入组件（$n\geq 4$）和表征时，外壳的理想，即，它的孤立主分量的交集是素数。注意，这些最后的结果与基域的特性无关。我们的技巧涉及到Eisenbud-Sturmfels理论的二项式理想和Laurent多项式环，以及理论的Smith标准形和拟合理想。这给出了一个更透明和完全通用的方法，取代了以前用于处理特定情况$n=3$的多重性理论。
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