Decoupling estimates in Fourier analysis
Larry Guth
解耦是傅里叶分析的一个新发展，它在调和分析、偏微分方程和数论中有应用。我们调查一些应用程序的解耦和一些想法的证明。这项调查是针对一般的数学观众。这是基于我的2022年ICM演讲。
Decoupling is a recent development in Fourier analysis, which has applications in harmonic analysis, PDE, and number theory. We survey some applications of decoupling and some of the ideas in the proof. This survey is aimed at a general mathematical audience. It is based on my 2022 ICM talk.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Restricted projections and Fourier decoupling in $\mathbb{Q}_p^n$
本文证明了 $p>n$ 情形下 $\mathbb{Q}_p^n$ 中 Borel 子集的限制性投影定理，推广了实数情形的相关结果，并为覆盖数提供了显式常数，同时证明了 $p$ 进空间中矩曲线的显式 Fourier 解耦定理。
Decoupling of Fourier Reconstruction System for Shifts of Several Signals
我们考虑的问题“代数重建”的线性组合的几个信号$f_1,\ldots,f_k$从傅立叶样本的移位。对于每个$r=1,\ldots,k$，我们选择采样集$S_r$作为傅里叶变换${\cal F}(f_ł), \ ł\ne r$的公共零点集的子集，其中${\cal F}(f_r)\ne 0$。我们表明，以这种方式的重建系统被减少到$k$单独的系统，每个系统只包括一个信号$f_r$。每个系统都是一个“广义Prony”形式。我们讨论了这类系统的唯一可解性问题，并给出了一些例子。
Sparse mean value estimates, algebraic number solution counting, and non-Archimedean Fourier analysis
本文利用非阿基米德局部域上的傅里叶解耦定理，应用于实变量问题，得到指数和均值估计与代数数解计数界，并指出实与p-进解耦估计的差异。
Fourier decay for curved Frostman measures
本文研究非零曲率曲线上Frostman测度的解耦，并结合Furstenberg集合下界重新证明了Orponen关于抛物线的结果。
Sharp superlevel set estimates for small cap decouplings of the parabola
证明了超水平集$\{x\in \mathbb{R}^2:|f(x)|>α\}$的大小的精确界，其中$α>0$和$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$是在截断抛物线$\mathbb{P}^1$的$R^{-1}$ -邻域中支持傅里叶变换的Schwartz函数.这些估计暗示了Demeter，Guth和Wang的$\mathbb{P}^1$的小盘解耦定理，以及Bourgain和Demeter的$\mathbb{P}^1$的正则解耦定理。新的$(\ell^q,L^p)$小盘解耦不等式也遵循我们的夏普水平集估计。
A Stein-Tomas type estimate and a decoupling inequality
本文利用多项式划分方法证明了Stein-Tomas型不等式和弱解耦不等式，并揭示了它们与Waring问题的紧密联系。
$l^p$ decoupling for restricted $k$-broadness
为了利用多项式分割证明Fourier约束估计，Guth引入了正则$L^p$范数的广义部分$k$的概念，得到了精确的$k$广义约束估计.为了从$k$广义估计到常规$L^p$估计，Guth使用了$l^2$解耦结果。在这篇文章中，类似于Bourgain-Guth介绍的技术，我们建立了一个模拟，从正规的$L^p$范数到它的$(m+1)$ -广义部分，作为误差项，我们有限制的$k$ -广义部分（$k=2,\cdots,m$）。为了分析约束$k$ -宽度，我们证明了一个$l^p$解耦结果，该结果可用于处理误差项和恢复Guth的线性约束估计.
A sharp weighted Fourier extension estimate for the cone in $\mathbb{R}^3$ based on circle tangencies
本文应用圆切触估计证明了 $\mathbb{R}^3$ 中锥和 $1$ 维权重的精确加权 Fourier 延拓估计，并作为推论改进了相应的最佳 Mizohata--Takeuchi 型估计。
Weighted decoupling estimates and the Bochner-Riesz means
本文证明了新的加权解耦估计，并据此改进了二维和三维空间中Bochner-Riesz均值对L^p函数（1<p<2）几乎处处收敛的充分条件。
A note on small cap square function and decoupling estimates for the parabola
本文研究了抛物线的小帽平方函数和解耦估计，针对不同β值提出新的估计结果，并在多项式对数因子范围内达到最优。
Strip Decoupling Inequalities for the Paraboloid in $\mathbb{R}^3$
本文证明了三维空间中抛物面条带的尖锐解耦估计，通过归约为平面关联问题并利用两端Furstenberg估计，受Wang-Wu方法启发。
Decoupling inequalities for quadratic forms
证明了$p,q \in [2,\infty)$与任意二次型元组的$\ell^q L^p$解耦不等式。连接到以前的结果解耦不等式二次型也解释。我们还包括我们的结果在指数和估计和傅里叶限制估计中的一些应用。主要结果的证明是基于标度依赖的Brascamp-Lieb不等式。
Decoupling and near-optimal restriction estimates for Cantor sets
对于任何$α\in(0,d)$，我们构造Cantor集在$\mathbb{R}^d$的豪斯多夫维数$α$，使得相关的自然测度$μ$服从所有$p>2d/α$的限制估计$\| \widehat{f dμ} \|_{p} \leq C_p \| f \|_{L^2(μ)}$。除端点外，此范围均为最佳范围。这扩展了Chen-Seeger和Shmerkin-Suomala的早期工作，其中通过使用$k\in\mathbb{N}$对$α=d/k$的不同方法获得了类似的结果。我们的证明是基于Bourgain-Demeter的解耦技术和Bourgain关于$Λ(p)$集的存在性定理。
A discussion of two arguments related to Fefferman's Fourier extension theorem in the plane
本文讨论了平面内Fefferman傅里叶扩展定理的两个新证明，第一个证明结合了Fefferman的分解和Haar小波分解，第二个证明则利用平滑Alpert小波和新的分解方法，通过网格上的平均平滑Alpert投影、Dirichlet核提取和周期性 stationary phase 来实现，该方法在更高维度中被扩展。
Small cap decoupling for the moment curve in $\mathbb{R}^3$
针对$\text{ℝ}^3$中矩曲线的小帽解耦问题，受Demeter等学者相关猜想启发构造小帽，证明了精确的小帽解耦估计。
Small cap decouplings
我们开发了一个工具箱，用于证明直径小于的规范规模的盒子。作为这种新技术的应用，我们解决了三个问题，早期的方法都失败了。我们从验证抛物线的小盘解耦开始。然后，我们发现尖锐的估计指数和小的频率分离的时刻曲线上的$\mathbb{R}^3$。这部分工作依赖于最近改进的Kakeya型平面管的估计，以及板和木板的新的多线性入射边界。我们还结合我们的方法与最近的进展，反向平方函数估计，以证明小帽解耦成平方样帽的二维锥。罗杰·希思-布朗的附录包含了矩曲线的新指数和估计对黎曼ζ函数的应用。
A Mizohata--Takeuchi-type estimate for the hyperbolic paraboloid
本文证明双曲抛物面傅里叶延拓算子的Mizohata--Takeuchi型加权$L^2$估计，通过多尺度平行六面体上的权重质量控制范数，并利用双线性精细解耦建立。核心贡献是给出该几何背景下加权估计的完整证明。
Function spaces for decoupling
本文引入了新的函数空间$\mathcal{L}_{W,s}^{q,p}(\mathbb{R}^{n})$，用于重新表述球面和光锥的$\ell^{q}L^{p}$解耦不等式。这些空间在欧几里得半波传播算子下不变，但在所有傅里叶积分算子下除非$p=q$，否则也不不变，在这种情况下它们与傅里叶积分算子的Hardy空间一致。作者利用这些空间改进了经典的分数积分定理和局部平滑估计。
Restriction and decoupling estimates for the hyperbolic paraboloid in $\mathbb{R}^3$
论文研究了三维空间中截断抛物面的双线性ℓ²解耦及改进解耦不等式，证明了与椭圆抛物面相似的限制估计。
Decoupling inequalities for short generalized Dirichlet sequences
该研究针对支撑在短Dirichlet序列及类凸序列邻域上的实函数，借助频率支撑于算术级数附近函数的波包结构，开展解耦理论研究。
$l^2$ decoupling theorem for surfaces in $\mathbb{R}^3$
本文提出了一种将表面邻域分解为矩形盒子的方法，从而得到精确的$(l^2,L^p)$分离估计，并应用于不包含直线的表面的指数和估计。
An exponential estimate for the square partial sums of multiple Fourier series
证明了大集合上多重傅里叶级数的二次部分和的一个指数积分估计，它包含了傅里叶级数的一些新性质.
A Uniform Estimate for Fourier Restriction to Simple Curves
证明了d维欧几里得空间中一类曲线的一致Fourier扩张约束估计。
On decoupling and restriction estimates
本文证明限制猜想蕴含高维解耦定理，并给出三维情形下的简单证明。
A counterexample to weighted estimates for multilinear Fourier multipliers with Sobolev regularity
研究了多线性Fourier乘子的Sobolev正则性加权估计在弱权条件下是否成立的问题。
Decoupling inequality for paraboloid under shell type restriction and its application to the periodic Zakharov system
本文通过改进抛物面在壳型限制下的解耦不等式，建立新的三线性离散Fourier限制估计，从而在低正则性条件下证明了环面上Zakharov系统的局部适定性，并改进了Kishimoto的结果。
Weighted estimates for multilinear Fourier multipliers
本文证明了多权多线性傅立叶乘法器的一个Hörmander型乘法器定理。我们还给出了它们的分解子与向量$BMO$函数的加权估计。
Amplitude dependent wave envelope estimates for the cone in $\mathbb{R}^3$
对于函数$f$与傅里叶变换支持的截断锥，我们绑定超水平集$\{x\in\mathbb{R}^3:|f(x)|>α\}$使用$α$依赖版本的波包络估计的Guth-Wang-Zhang。我们的估计意味着尖锐的平方函数和解耦不等式的锥。我们还获得了尖锐的小帽解耦锥，其中小帽$γ$细分规范$1\times R^{-1/2}\times R^{-1}$木板到$R^{-β_2}\times R^{-β_1}\times R^{-1}$子木板，$β_1\in[\frac{1}{2},1]$和$β_2\in[0,1]$。
A weighted decoupling inequality and its application to the maximal Bochner-Riesz problem
该研究证明了p=2n/(n-1)时的加权L^pℓ^p解耦估计，将其应用于极大Bochner-Riesz问题，得到三维空间中超出实插值指数的结果，并改进了平面情形的相关结论。
A Calderón-Zygmund estimate with applications to generalized Radon transforms and Fourier integral operators
我们证明了一个Calderón-Zygmund型估计，它可以应用于锐化已知的正则性结果的球形平均，傅里叶积分算子和广义Radon变换。
Local smoothing and Hardy spaces for Fourier integral operators
我们证明了当应用$\ell^{p}$ -解耦不等式对波动方程进行局部光滑时，傅里叶积分算子的Hardy空间形成初始数据的自然空间.这产生了新的局部平滑估计，以量化的方式，提高了$p\geq 2(n+1)/(n-1)$的$\mathbb{R}^{n}$上的局部平滑猜想的界限，并补充了$2<p<2(n+1)/(n-1)$。这些估计在傅里叶积分算子的作用下是不变的，并且它们本质上是尖锐的。
On estimates of deviation of conjugate functions from matrix operators of their Fourier series by some expressions with $r$-differences of the entries
我们将作者的结果从[Abstract and Applied Analysis，Volume 2016，Article ID 9712878]扩展到共轭傅里叶级数。
Fourier restriction estimates for surfaces of co-dimension two in $\mathbb{R}^5$
在$\mathbb{R}^5$中证明了三维二次曲面的$L^p \rightarrow L^q$ Fourier限制估计.我们的结果是尖锐的，端点，为几类表面。
Averaged decay estimates for Fourier transforms of measures over curves with non vanishing torsion
研究了测度的傅里叶变换在挠率不为零的空间曲线上取平均时的平均衰减估计。我们将以前已知的结果扩展到更高的维度，并讨论估计的锐度。
Sharp Fourier decay estimates for measures supported on the well-approximable numbers
本文在良逼近数上构造了傅里叶变换近乎最优衰减的测度，从而对Kaufman的先前构造实现了对数级别的改进。
Decoupling and Discrete Strichartz Estimates for Dispersive Equations on the Torus
本文针对具有分数阶和扰动多项式相位的二维指数和，证明了加权离散Strichartz（等价于离散限制）估计，覆盖三类曲线，并基于有限型退耦和局部化重标度方法得到频率尺度依赖的ℓ²加权Lᵖ估计。
Embedding theorems for Sobolev and Hardy-Sobolev spaces and estimates of Fourier transforms
本文证明了Sobolev空间和Hardy-索伯列夫空间在一定混合范数下嵌入到Besov空间中。这是对通常Besov空间中已知嵌入的改进。应用这些结果，我们得到了索伯列夫空间$W_1^1(\mathbb R^n).$中函数的傅里叶变换的Oberlin型估计
Stability estimates for reconstruction from the Fourier transform on the ball
我们证明了在球$B_r$上由其傅里叶变换$\mathcal{F} v$找到在无穷远处具有超指数衰减的可积函数$v$的问题的Hölder-logarithmic稳定性估计.这些估计来自于$\mathcal{F} v$从$B_r$到更大的球的Hölder稳定外推。我们还提出了不稳定的例子显示我们的结果的最优性。
Estimates for approximations by Fourier sums, best approximations and best orthogonal trigonometric approximations of the classes of (ψ, β)-differentiable functions
本文给出了2π周期函数类的Fourier和逼近、最佳逼近和最佳正交三角逼近在度量空间L_s，1 \leq s< \infty中的正序估计，其中（π，β）-导数属于L_ \infty的单位球.
On sharp heat and subordinated kernel estimates in the Fourier-Bessel setting
我们证明了定性尖锐的热核边界设置的Fourier-Bessel展开时，相关的类型参数$ν$是半整数。此外，仍然是半整数$ν$，我们也得到了尖锐的估计，所有核从属于热核。对一般$ν> -1$的类似估计进行了说明。讨论了有关热半群极大算子的一些结果。
Uniform estimates for the Fourier transform of surface carried measures in $\Bbb R^3$ and an application to Fourier restriction
设$S$是$\Bbb R^3$中的一个超曲面，$\Bbb R^3$是一个光滑的有限型函数$ϕ,$的图，而$μ=ρ\, d\si$是$S,$上的一个面载测度，其中$d\si$表示$S$上的面元，$ρ$是一个具有足够小支撑的光滑密度.我们推导出均匀估计的傅里叶变换$\hat μ$的$μ,$是尖锐的情况下，除了主面的牛顿多面体的$ϕ,$时，在适应坐标表示，是无界的。作为应用，我们证明了在原坐标系适应于$ϕ.$的情况下，$S$的一个精确的$L^p$ - $L^2$ Fourier限制定理。肯普
Improved estimates for the discrete Fourier restriction to the higher dimensional sphere
当$n$时，我们将离散傅立叶限制的指数从$p=\frac{2(n+1)}{n-3}$提高到$p=\frac{2n}{n-3}$。
On the small cap decoupling for the moment curve in $\mathbb{R}^3$
本文针对$\text{ℝ}^2$和$\text{ℝ}^3$中剩余小帽参数范围，证明了矩曲线$\text{ℳ}^n$的精确小帽解耦估计。
Estimate of the Rate of Convergence of Fourier Sums for Functions from Lebesgue Classes on a Set of Full Measure
本文估计了Lebesgue类函数三角傅里叶级数部分和在满测集上的收敛速度，并通过反例证明该估计阶的精确性，进而导出Lebesgue类函数二维三角傅里叶级数几乎处处Prinsheim收敛的连续性模条件。
$L^p$ estimates for the biest II. The Fourier case
本文证明了“biest”的L^p估计，biest是一个在Schrodinger算子的特征函数展开中自然产生的具有奇异符号的三线性乘子，它也与双线性希尔伯特变换有关.在以前的论文中，这些估计是获得一个简单的沃尔什模型，该运营商，但在傅立叶的情况下，额外的并发症出现由于无法完美地定位在空间和频率。
Uniform estimates for Fourier restriction to polynomial curves in $\mathbb R^d$
本文证明了在有限区间上，在仿射弧长测度下，对$\mathbb R^d$中多项式曲线的Fourier限制的一致$L^p \to L^q$界.
Estimates for maximal Fourier multiplier operators on $\Bbb R^2$ via square functions
本文通过平方函数估计，推导出Bochner-Riesz型傅里叶乘子在R²上的最大函数L^p有界性，扩展了Carbery 1983年的结果。
Average decay estimates for Fourier transforms of measures supported on curves
我们考虑R^d中曲线上密度的傅里叶变换。我们得到了L^q衰变率的尖锐的下界和接近尖锐的上界。
A family of fractal Fourier restriction estimates with implications on the Kakeya problem
在最近的一篇论文[Ann. of Math.189（2019），837- 861]中，Du和Zhang证明了一个分形傅里叶限制估计，并利用它建立了$\Bbb R^n$中薛定谔极大函数的尖锐$L^2$估计，$n \geq 2$。本文证明了Du-Zhang估计是一类分形约束估计族的端点，使得该族的每个成员（除原估计外）在$\Bbb R^n$中蕴涵一个与多项式Wolff公理密切相关的尖锐Kakeya结果.我们还证明了在$\Bbb R^2$中我们族的所有估计都是真的。
Variational estimates for the bilinear iterated Fourier integral
本文证明了双线性傅里叶积分算子在一个大的但不一定是尖锐的指数范围内的点态变分Lp界。这个结果是经典Carleson算子、双线性希尔伯特变换、变分范数Carleson算子和双Carleson算子的相应界的联合加强。特里里昂的粗糙路径理论允许我们的结果扩展到多线性估计。我们认为我们的结果是一个更广泛的类似的估计与可能的应用程序，常微分方程的概念证明。
Sharp heat kernel estimates in the Fourier-Bessel setting for a continuous range of the type parameter
经典傅里叶-贝塞尔展开式中的热核是由一个不能显式计算的振荡级数定义的。我们证明了这个内核的定性尖锐的估计。我们的方法依赖于建立一个连接的情况下的扩展的基础上雅可比多项式，然后转移相关的雅可比热核已知的尖锐的界限。
A Fourier restriction estimate for surfaces of positive curvature in R^6
我们改进了R^6中限制猜想的最佳已知指数。我们的想法适用于满足n = 0 mod 3的任何维数n，尽管我们没有明确计算n > 6的改进。这改进了Bourgain和Guth最近的结果。
Strichartz inequalities: some recent developments
本文综述Strichartz不等式，源于傅里叶限制理论，是色散PDE分析的核心工具，并联系傅里叶解耦的最新进展。
$L^p$ weighted Fourier restriction estimates
该研究在数学调和分析领域，针对截顶抛物面上的傅里叶延拓算子，得到了带特定$n$维权函数的精确$L^p$加权傅里叶限制估计式。
Maximal restriction estimates and the maximal function of the Fourier transform
我们证明了一个极大的限制不等式的傅里叶变换，提供了一个问题的答案Müller，Ricci和赖特。我们的方法与他们文章中的方法类似，只是增加了一个合适的技巧来帮助我们线性化最大函数。最后，我们评论如何使用相同的技巧结合Vitturi的方法，以获得更强的高维结果。
Moduli of smoothness and growth properties of Fourier transforms: two-sided estimates
证明了$\mathbb{R}^d/\mathbb{T}^d$上函数的积分光滑模与其傅里叶变换/级数的加权尾型积分之间的双边不等式.特别是所得到的结果的Sharpness给出的等价结果满足一定的正则条件的功能。应用包括定量形式的黎曼-勒贝格引理以及其他几个问题的逼近论和理论的函数空间。
Weighted refined decoupling estimates and application to Falconer distance set problem
本文证明了加权精细分拆估计，并以此给出Falconer距离集问题中关于钉扎距离集正Lebesgue测度结论的另一种证明。
Order estimates of the best approximations and approximations of Fourier sums of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness in uniform metric
我们得到精确的阶估计的最佳一致逼近和一致逼近的傅立叶和类卷积的周期函数属于单位球的空间$L_{p}, \ {1\leq p<\infty}$，生成核$Ψ_β$，其傅里叶系数$ψ(k)$的绝对值是这样的$\sum\limits_{k=1}^{\infty}ψ^{p'}(k)k^{p'-2}<\infty$，$\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$，和产品$ψ(n)n^{\frac{1}{p}}$不能趋于零快于幂函数。
On sharp heat kernel estimates in the context of Fourier-Dini expansions
本文研究了配备 Lebesgue 测度且右端点施加 Neumann 条件的区间 (0,1) 上 Fourier-Dini 展开相关热核的精确估计，并给出了其在 Poisson 核与位势核的精确界、极大热半群映射性质及边界收敛性等方面的应用。
Improved Fourier restriction estimates in higher dimensions
我们认为古斯的方法通过多项式分割的傅立叶限制问题。通过写出他的归纳论证作为一个递归算法，并引入新的几何信息，被称为多项式沃尔夫公理，我们得到改进的限制猜想的界限，特别是在高维。的Kakeya猜想的后果也被认为是。
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