Phase Retrieval From the Magnitudes of Affine Linear Measurements
在本文中，我们考虑相位恢复问题，其中一个目的是恢复信号的仿射测量的幅度。设$\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m \subset {\mathbb H}^d$和${\mathbf b}=(b_1, \ldots, b_m)^\top\in{\mathbb H}^m$，其中${\mathbb H}={\mathbb R}$或${\mathbb C}$。如果任何${\mathbf x}\in{\mathbb H}^d$都可以从仿射测量值$\{|<{\mathbf a}_j,{\mathbf x}>+b_j|,\, 1\leq j\leq m\}$的幅度中恢复，则我们说$\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$和$\mathbf b$对于${\mathbb H}^d$是仿射相位可恢复的。我们开发了仿射相位恢复的一般框架，并证明了$\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$和$\mathbf b$是仿射相位可恢复的充分必要条件。我们建立的最小测量和通用测量仿射相位检索以及稀疏仿射相位检索的结果。特别是，我们还强调了一些显着的差异之间的仿射相位检索和标准的相位检索，其中一个旨在恢复信号$\mathbf x$从其线性测量的幅度。在标准相位恢复中，只能将$\mathbf x$恢复到幺模常数，而仿射相位恢复消除了这种模糊性。我们证明，不同于标准的相位检索，仿射相…
2016-08-22 cs.IT math.IT
The minimal measurement number problem in phase retrieval: a review of recent developments
相位恢复是从无相位测量信号中恢复信号的过程，在许多领域都有提出。相位恢复中的一个基本问题是确定最小测量数$m$，使得可以从$m$无相位测量恢复$d$维信号。这个问题引起了来自不同领域的专家的广泛关注。本文综述了最小测度数的最新进展，并提出了许多有趣的问题。
2017-07-05 cs.IT math.IT
Study of cost functionals for ptychographic phase retrieval to improve the robustness against noise, and a proposal for another noise-robust ptychographic phase retrieval scheme
最近，已经努力改进重叠关联相位恢复算法，使得它们对噪声更鲁棒。通常通过改变需要最小化的成本泛函来调整算法。特别是，有人建议，成本功能应使用最大似然方法，考虑到噪声统计。在这里，我们考虑不同的选择成本功能，以及他们如何影响重建结果。我们发现，似乎唯一一贯可靠的方法来改善重建结果中存在的噪声是减少更新函数的步长。此外，已经提出了一种噪声鲁棒的重叠关联重建方法，该方法依赖于调整强度约束
2017-03-31 cs.IT math.IT
On Conditions for Uniqueness in Sparse Phase Retrieval
相位恢复问题有着悠久的历史，并且是光学许多领域中的重要问题。相位恢复的理论认识仍然是有限的，基本问题，如恢复的解决方案的唯一性和稳定性尚未完全理解。本文提供了几个补充稀疏相位恢复的理论理解。特别是，我们表明，如果测量合奏可以自由选择，少至4k-1无相测量足以保证一个k-稀疏的M维实数解的唯一性。我们还证明了在相当一般的条件下，2（k^2-k+1）个傅立叶星等测量是充分的。
2013-10-09 cs.IT math.IT
Phase Retrieval from 1D Fourier Measurements: Convexity, Uniqueness, and Algorithms
本文认为相位恢复从一维过采样傅立叶测量的幅度，一个经典的问题，在科学和工程的各个领域的研究人员提出了挑战。我们表明，在最小二乘意义上的最优向量可以通过解决凸问题，从而建立一个隐藏的凸傅立叶相位恢复。我们还表明，在这种情况下，标准的半定松弛方法产生的最佳费用函数值（虽然不一定是一个最优解）。然后，推导出一种方法来检索多项式时间内的最佳最小相位解。利用这些结果，提出了一种新的测量技术，保证解决方案的唯一性，以及一个有效的算法，可以解决大规模的傅立叶相位恢复问题的唯一性和最优性保证。
2016-07-07 cs.IR cs.IT math.IT
Phase Retrieval by Linear Algebra
零矢量法，基于一个简单的线性代数的概念，提出了作为相位恢复问题的解决方案。在复杂的高斯随机测量矩阵的情况下，一个非渐近的误差界推导出，产生一个渐近制度的准确近似相媲美的谱向量法。
2016-07-25 cs.IT math.IT
Conjugate Phase Retrieval in Paley-Wiener Space
本文研究Paley-Wiener空间$PW_π$中的共轭相位恢复问题。共轭相位恢复的目标是从线性测量的幅度恢复信号$f$直到未知相位因子和未知共轭，这意味着$f(t)$和$\overline{f(t)}$不一定与可用数据区分开。我们表明，共轭相位恢复可以在$PW_π$通过使用结构卷积仅在实数线上采样来完成。我们还表明，共轭相位恢复可以完成在$PW_π$通过采样$f$和$f^{\prime}$只有在真正的线。此外，我们通过实验证明，交替投影的Gerchberg-Saxton方法可以实现从有限维空间中进行共轭相位恢复的矢量的重建。最后，我们表明，一般来说，共轭相位恢复可以通过采样在三倍的奈奎斯特速率，而相位恢复需要采样在四倍的奈奎斯特速率。
2019-10-28 cs.IT math.CV math.IT
Fourier Phase Retrieval: Uniqueness and Algorithms
从无相位傅里叶变换测量中恢复信号的问题，称为傅里叶相位恢复，在工程和科学的许多应用中出现。傅立叶相位恢复提出了基本的理论和算法的挑战。一般来说，一维信号和其傅立叶幅度之间没有唯一的映射，因此该问题是不适定的。此外，虽然几乎所有的多维信号都被唯一地映射到它们的傅立叶幅度，但现有算法的性能通常不是很好理解。在这一章中，我们调查的方法，以保证傅立叶相位恢复的唯一性。然后，我们提出了不同的算法方法来检索信号在实践中。最后，我们概述了在这一领域的一些主要开放的问题。
2017-11-06 cs.IT math.IT
PhaseMax: Convex Phase Retrieval via Basis Pursuit
我们认为恢复（实值或复值）信号的幅度只有测量，称为相位恢复。我们制定相位恢复作为一个凸优化问题，我们称之为PhaseMax。与使用半定松弛并将相位恢复问题提升到更高维度的其他凸方法不同，PhaseMax是在原始信号维度中操作的“非提升”松弛。我们发现，PhaseMax的对偶问题是基追踪，这意味着相位恢复可以使用最初设计用于稀疏信号恢复的算法进行。我们开发了一个广泛的随机测量合奏的成功概率的PhaseMax的急剧下界，我们分析了测量噪声对解决方案的精度的影响。我们使用数值结果来证明我们的恢复保证的准确性，并展示了PhaseMax在实践中的有效性和局限性。
2018-01-30 cs.IT math.IT math.OC
Blind Deconvolutional Phase Retrieval via Convex Programming
我们考虑的任务是恢复两个真正的或复杂的$m$ -矢量从无相位傅立叶测量其循环卷积。我们的方法是一种新的凸松弛，是基于一个提升矩阵恢复配方，允许一个非平凡的凸松弛的卷积的双线性测量。我们证明，如果这两个信号属于已知的随机子空间的尺寸$k$和$n$，那么它们可以恢复到固有的缩放模糊度与$m >> (k+n) \log^2 m$无相测量。我们的方法提供了第一个理论上的恢复保证这个问题的计算效率的算法，并不需要一个解决方案估计计算初始化。我们的证明基于Rademacher复杂性估计。此外，我们提供了一个ADMM实现的方法，并提供数值实验，验证理论。
2018-06-21 cs.IT math.IT
Phase Retrieval via Polytope Optimization: Geometry, Phase Transitions, and New Algorithms
我们研究基于多面体优化方法求解二次方程组的算法。我们的工作的灵感来自最近提出的凸制定的相位恢复问题，估计未知信号通过求解一个简单的线性规划从测量构造的多面体。我们提出了一个尖锐的特征的高维几何的上述多面体高斯测量下。这种特性使我们能够获得渐近精确的性能保证PhaseMax，这也揭示了相变现象相对于其样本的复杂性。此外，从我们的分析中获得的几何见解导致一个新的非凸制定的相位恢复问题和相应的迭代算法，我们称之为PhaseLamp。我们表明，这种新的算法具有优越的恢复性能比原来的PhaseMax方法。最后，作为通过多面体优化执行相位检索的主题的另一个变化，我们提出了一个加权版本的PhaseLamp，并证明，通过数值模拟，它优于几个国家的最先进的算法下通用高斯测量以及更现实的傅立叶型测量相位检索应用中出现的。
2018-05-24 cs.IT math.IT
Affine phase retrieval for sparse signals via $\ell_1$ minimization
仿射相位恢复是利用先验信息从仅有幅度的测量中恢复信号的问题。在本文中，我们使用$\ell_1$最小化利用信号的稀疏性进行仿射相位恢复，表明$O(k\log(en/k))$高斯随机测量是足够的，以恢复所有的$k$稀疏信号，通过解决一个自然的$\ell_1$最小化程序，其中$n$是信号的维数。对于测量被噪声破坏的情况，给出了实值和复值信号的重构误差界。我们的结果表明，自然的$\ell_1$最小化程序的仿射相位恢复是稳定的。
2022-09-19 cs.IT math.IT
Uniqueness Theorems for Tomographic Phase Retrieval with Few Diffraction Patterns
分析了基于$n\times n\times n$网格的离散目标在Born近似下的三维层析相位恢复。证明了$n$投影是计算机层析成像（CT）与全投影场测量的唯一确定的充分和必要的，并且$n+1$编码投影衍射图案是足够的唯一确定，直到一个全局相位因子，在层析成像相位检索。因此，$n+1$几乎是，如果不完全是，在玻恩近似下的三维层析相位恢复所需的衍射图案的最小数量。
2022-05-29 cs.IT math.IT physics.data-an
One-Dimensional Phase Retrieval: Regularization, Box Relaxation and Uniqueness
从其傅立叶幅度恢复信号被称为相位恢复，这发生在工程和应用物理的不同领域。本文给出了相位恢复问题的一个新的刻画。特别有用的是，分析揭示了常见的基于梯度的正则化不会将解的集合限制为较小的集合。特别关注二进制信号，我们表明，一个盒子松弛是等效的傅立叶型相位恢复的二进制约束。我们进一步证明，二进制信号可以恢复唯一的平凡的模糊度在一定条件下。最后，我们使用的特征定理，开发一个有效的去噪算法。
2020-07-15 cs.IT math.IT
Generalized phase retrieval : measurement number, matrix recovery and beyond
在本文中，我们开发了一个广义相位恢复的框架，其中一个目的是重建一个矢量${\mathbf x}$在${\mathbb R}^d$或${\mathbb C}^d$通过二次样本${\mathbf x}^*A_1{\mathbf x}, \dots, {\mathbf x}^*A_N{\mathbf x}$。广义相位恢复包括标准相位恢复和正交投影相位恢复。我们首先探讨广义相位恢复，低秩矩阵恢复和非奇异双线性形式之间的联系。出于连接，我们提出的结果恢复矩阵，位于一组$W\in {\mathbb C}^{d\times d}$所需的最小测量数。将结果应用于相位恢复，我们表明，通用$d \times d$矩阵$A_1,\ldots, A_N$具有相位恢复属性，如果$N\geq 2d-1$在真实的情况下，$N \geq 4d-4$在复杂的情况下，非常一般的类$A_1,\ldots,A_N$，例如矩阵与规定的秩或正交投影。我们的方法也导致了一个新的证明经典的Stiefel-Hopf条件的非奇异双线性形式。我们还给出了广义相位恢复所需的最小测量数的下界。对于几类尺寸$d$，我们得到的最小测量数的精确值。我们的工作统一和增强的结果，从标准的相位检索，相位检索的投影和低秩矩阵恢复。
2016-06-03 cs.IT math.FA math.IT
PhaseLin: Linear Phase Retrieval
相位恢复处理从幅度测量恢复复值或实值信号。如最近所示，PhaseMax方法通过凸优化实现相位恢复，而不会将问题提升到更高的维度。为了成功，PhaseMax需要对解进行初始猜测，这可以通过频谱初始化器来计算。在本文中，我们表明，与初始猜测的可用性，相位恢复可以进行一个更简单的，线性的过程。我们的算法，称为PhaseLin，是线性估计，最小化均方误差（MSE）时，适用于幅度测量。PhaseLin的线性性质使得能够对任意测量矩阵进行精确和非渐近的MSE分析。我们还证明，通过迭代使用相位林，一个到达一个有效的相位恢复算法，执行与现有的凸和非凸方法的合成和真实世界的数据。
2018-02-01 cs.IT eess.SP math.IT
PhasePack: A Phase Retrieval Library
相位恢复处理仅从线性测量的幅度估计复值信号。虽然有最近的爆炸在相位恢复算法的发展，缺乏一个共同的接口，使其难以比较新的方法对国家的最先进的。PhasePack的目的是创建一个共同的软件接口，广泛的相位恢复算法，并提供一个共同的测试平台，使用合成数据和经验成像数据集。PhasePack能够对大量最近的相位检索方法进行基准测试，以使用一系列不同的性能指标进行比较。该软件包可处理单一方法测试以及多种方法比较。PhasePack中的算法实现与文献中的原始描述略有不同，以实现更快的速度和更好的鲁棒性。特别是，PhasePack使用自适应步长、线搜索法和快速特征值求解器来加速和自动收敛。
2017-11-30 cs.IT math.IT math.OC
Phase retrieval with polarization
在成像科学的许多领域中，难以测量线性测量的相位。因此，人们通常希望从强度测量重构信号，即，执行相位恢复。在本文中，我们提供了一种新的测量设计，它的灵感来自干涉测量，并利用扩展图的某些属性。我们还给出了一个有效的相位恢复程序，并使用谱图理论中的最新结果来产生一个稳定的性能保证，该保证可与[Candes et al. 2011]中的PhaseLift保证相媲美。我们使用数值模拟来说明我们的相位恢复程序的性能，我们比较重建误差和运行时间与一个共同的交替投影型程序。
2013-09-12 cs.IT math.FA math.IT
Phase retrieval from the norms of affine transformations
本文考虑了从仿射测量中恢复广义相位的问题。这个问题的目的是恢复信号${\mathbf x} \in {\mathbb F}^d$从仿射测量$y_j=\norm{M_j^*\vx +{\mathbb b}_j}^2,\; j=1,\ldots,m,$，其中$M_j \in {\mathbb F}^{d\times r}, {\mathbf b}_j\in {\mathbb F}^{r}, {\mathbb F}\in \{{\mathbb R},{\mathbb C}\}$，我们称之为{ \em广义仿射相位恢复}。提出了广义仿射相位恢复的框架，给出了$\{(M_j,{\mathbf b}_j)\}_{j=1}^m$具有广义仿射相位恢复性质的充分必要条件。我们还建立了广义仿射相位恢复的最小测量数的结果。特别地，我们证明了如果$\{(M_j,{\mathbf b}_j)\}_{j=1}^m \subset {\mathbb F}^{d\times r}\times {\mathbb F}^{r}$具有广义仿射相位恢复特性，则对于${\mathbb F}={\mathbb R}$的$m\geq d+\floor{d/r}$（对于${\mathbb F}={\mathbb C}$的$m\geq 2d+\floor{d/r}$）。我们还表明，该界是紧提供$r\mid d$。这些结果意味着可以通…
2018-05-27 cs.IT math.AG math.IT
Phasebook: A Survey of Selected Open Problems in Phase Retrieval
本文是2024年荷兰PRiMA研讨会产出的综述，梳理了相位恢复这一兼具应用价值与理论深度的反问题领域的核心公开问题。
2025-05-21 cs.IT math.IT math.OC
Inertial Proximal ADMM for Separable Multi-Block Convex Optimizations and Compressive Affine Phase Retrieval
可分多块凸优化问题在许多数学和工程领域都有广泛的应用。在本文的第一部分中，我们提出了一个惯性近似ADMM来解决线性约束可分多块凸优化问题，我们证明了所提出的惯性近似ADMM具有整体收敛在正则矩阵的温和的假设下。仿射相位恢复起源于全息术、数据分离和无相采样等领域，是近年来受到广泛关注的一种非均匀相位恢复方法。受压缩感知中向量稀疏性和矩阵秩的凸松弛以及相位恢复中相位提升的启发，本文第二部分提出了一种基于提升的压缩仿射相位恢复方法，将仿射相位恢复与多块凸优化结合起来，然后基于所提出的多块凸优化惯性邻近ADMM，我们提出了一种算法，以恢复稀疏实信号从他们的（噪声）仿射二次测量。数值模拟表明，该算法对稀疏实信号的仿射相位恢复具有良好的性能。
2020-12-26 cs.IT cs.NA math.IT
Explicit Frames for Deterministic Phase Retrieval via PhaseLift
我们明确地给出了一个框架的基数$5n-6$，使每一个信号在$\mathbb{C}^n$可以恢复到一个阶段，从其相关的强度测量通过相位提升的方法。此外，我们给出了明确的线性测量与$4r(n-r)+n-2r$的结果，使恢复的每一个半正定$n\times n$矩阵的秩最多$r$。
2017-01-21 cs.IT math.IT quant-ph
Almost Everywhere Generalized Phase Retrieval
广义相位恢复的目的是从二次测量$\mathbf{x}^*A_1\mathbf{x},\ldots,\mathbf{x}^*A_N\mathbf{x}$恢复$\mathbf{x}\in \mathbb{F}^d$，其中$A_j\in \mathbf{H}_d(\mathbb{F})$和$\mathbb{F}=\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$。本文研究了具有几乎处处相位恢复特性的矩阵集合$\mathcal{A}=(A_j)_{j=1}^N$。对于$\mathbb{F}=\mathbb{R}$的情况下，我们表明，$N\geq d+1$通用矩阵与规定的秩有几乎处处相位恢复属性。我们还将这一结果推广到$A_1,\ldots,A_N$是正交矩阵的情况，从而建立了融合帧相位恢复的几乎处处相位恢复特性。对于$\mathbb{F}=\mathbb{C}$的情形，我们在$N\geq 2d$的假设下得到了类似的结果。我们降低测量数$d+1$（分别为$2d$），并显示存在$N=d$（分别）。$2d-1$）矩阵$A_1,\ldots, A_N\in \mathbf{H}_d(\mathbb{R})$（分别$\mathbf{H}_d(\mathbb{C})$），其具有几乎处处的相位恢复特性。我们的结果是几乎处处相位恢复从标准相位恢复到一般情况下的推广，并且证明往往基于行列式簇的一些新思想。
2019-09-19 cs.IT math.AG math.FA
Phase retrieval of complex and vector-valued functions
在经典设置中的相位恢复问题是从它们的傅立叶/帧测量的幅度重建实/复函数。在本文中，我们考虑了一个新的相位恢复范例中的复杂/四元数/矢量值设置，我们提供了几个特征，以确定复杂/四元数/矢量值函数$f$在一个线性空间$S$（在）有限维，直到一个平凡的模糊性，从幅度$\|ϕ(f)\|$的线性测量$ϕ(f), ϕ\in Φ$。在标量设置我们的表征意味着众所周知的线性测量$Φ$和相位检索的线性空间$S$的互补属性之间的等价性。本文还讨论了线性空间中向量值函数的仿射相位恢复和图上向量场的重构，直到正交矩阵，由向量场在顶点的绝对值和相邻顶点之间的相对值。
2019-09-04 cs.IT math.FA math.IT
An Elementary Proof of Convex Phase Retrieval in the Natural Parameter Space via the Linear Program PhaseMax
相位恢复问题已经获得了显着的关注，因为相位提升算法的发展，这是一个凸的程序，在提升空间的矩阵。由于大量的计算成本，由于提升，相位恢复的许多方法已被开发，包括非凸优化算法，在自然参数空间中操作，如Wirtinger流。最近，一种称为PhaseMax的凸公式已经被发现，并且已经被证明可以在最佳样本复杂度下通过自然参数空间中的线性规划来实现相位恢复。目前PhaseMax的证明依赖于统计学习理论或几何概率理论。在这里，我们提出了一个简短而基本的证明，PhaseMax完全恢复实值向量从随机测量下的最佳样本复杂度。我们的证明只依赖于标准的概率集中和覆盖参数，比那些需要统计学习理论，几何概率或类似Wirtinger Flow方法的高度技术参数的证明更简单，更直接。
2016-11-12 cs.IT math.IT math.OC
Conjugate Phase Retrieval on ${\mathbb C}^M$ by real vectors
在本文中，我们将介绍{ \it共轭相位恢复}的概念，这是一个宽松的相位恢复的定义，允许恢复信号的共轭性以及一个全球的相位因子。众所周知，实向量的框架在${\mathbb C}^M$上通常是不可相位恢复的，但我们证明了它们在复向量空间中是可共轭相位恢复的。我们继续发展共轭相位可恢复实坐标系的理论。特别地，给出了${\mathbb C}^2$和${\mathbb C}^3$上共轭相位可恢复实标架的完整刻画.此外，我们证明了一个通用的实际框架，至少$4M - 6$测量是共轭相位检索${\mathbb C}^M$为$ M \ge 4.$
2019-05-20 cs.IT math.FA math.IT
Algebraic theory of phase retrieval
这篇文章的目的是讨论相位恢复领域的最新进展，并公布开放的问题，我们相信将感兴趣的数学家一般，特别是代数学家。
2022-03-05 cs.IT eess.SP math-ph
Phase retrieval from very few measurements
在许多应用中，根据线性过程测量信号，但这些测量的相位通常不可靠或不可用。为了重建信号，必须执行称为相位恢复的过程。本文着重于完全确定尽可能少的强度测量信号，并从这些测量有效的相位恢复算法。对于复杂的M维信号的情况下，我们构建了一个测量合奏的大小为4 M-4，产生单射强度测量，这被证明是最小的这样的合奏。对于真实信号的情况下，我们设计了一个理论的“几乎”内射强度测量，我们这样的合奏的特点。后来，我们表明，相位恢复从M+1几乎单射强度测量是NP难的，这表明计算效率高的相位恢复必须在测量冗余的代价。
2013-07-26 cs.CC cs.IT math.FA
Phase Transitions in Phase Retrieval
考虑一个场景，其中未知信号由已知线性算子变换，然后报告未知输出函数的逐点绝对值。这种情况出现在几个应用中，目标是恢复未知信号-这称为相位恢复。在过去的几年里，相位恢复一直是一个热门的研究课题，无论是在确定是否完整的信息是可用的一个给定的线性算子，并在寻找有效的和稳定的相位恢复算法的情况下，完整的信息是可用的。有趣的是，有几种方法可以衡量信息的完整性，每种方法似乎都受到某种相变的影响。本章将调查的艺术状态与这些相变，并确定了一些开放的问题，为进一步的研究。
2014-03-07 cs.IT math.AG math.FA
Linear Spectral Estimators and an Application to Phase Retrieval
相位恢复是指从幅度测量恢复实值或复值向量的问题。这个问题的最著名的算法是迭代的性质，并依赖于所谓的谱初始化，提供准确的初始化向量。我们提出了一类新的估计器适用于一般的非线性测量系统，称为线性谱估计器（LSPE），它可以用来计算精确的初始化向量相位恢复问题。所提出的LSPE不仅为具有结构化或随机测量矩阵的噪声相位恢复系统提供精确的初始化向量，而且还能够导出尖锐的和非渐近的均方误差界。我们证明了LSPE的合成和现实世界的相位恢复问题的功效，并表明我们的估计显着优于现有的方法，在实践中出现的结构化测量系统。
2018-06-09 cs.IT eess.SP math.IT
Robust Compressive Phase Retrieval via L1 Minimization With Application to Image Reconstruction
相位恢复是指从信号的傅里叶幅度测量恢复信号的经典非凸问题。受压缩感知技术的启发，信号稀疏性被利用在相位恢复的最新研究中，以减少所需的测量次数，称为压缩相位恢复（CPR）。在本文中，l1最小化问题的CPR制定利用信号的稀疏性和交替方向算法的问题求解。对于实值，非负的图像重建，感兴趣的图像被证明是一个最佳的解决方案，制定的L1最小化在无噪声的情况下。仿真结果表明，该方法具有快速、准确和对测量噪声鲁棒性强的特点。
2013-02-01 cs.IT math.IT math.OC
Ambiguities in one-dimensional phase retrieval from magnitudes of a linear canonical transform
Institut für Numerische und Angewandte Mathematik Georg-August-Universität Göttingen（哥廷根大学应用数值数学研究所）
本文研究了一维相位恢复问题，通过线性规范变换的幅度来恢复未知信号，并探讨了该问题中的歧义现象，将经典傅里叶相位恢复问题的解集特征转移到新设定中。
2016-06-15 cs.IT cs.NA math.IT
