Ribbons in Garside monoids
François Digne, Jean Michel
我们阐述的设置，这是一般足以包括球面Artin monoid和双辫子monoid良好生成的复杂反射群的带状的属性。本文推广了Godelle，Cumplido等人关于球面Artin群的抛物子群的结果.
We expound the properties of ribbons in a setting which is general enough to encompass spherical Artin monoids and dual braid monoids of well-generated complex reflection groups. We generalize to our setting results on parabolic subgroups of spherical Artin group of Godelle, Cumplido, and others.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Parabolic subgroups of Garside groups II: ribbons
我们引入并研究了与Garside群相关的带状广群。在一个技术假设下，我们证明了这个范畴是一个Garside广群。我们把这个广群分解成它的两个抛物子广群的半直积，并给出一个广群表示。为了建立后一个结果，我们描述了Garside群中的拟中心化子。所有的结果举行的特殊情况下，Artin-Tits集团的球型。
Relative Garside elements of Artin monoids
我们引入一个相对Garside元素，相应的Garside元素G1和G2的商，为一对Artin幺半群与Coxeter图Gamma1和Gamma2，第二个图包含一个新的顶点。这些相对元素给出了Garside元素之间的递归关系。作为应用，我们显式地计算了Artin么半群对应于球面Coxeter图的Garside元或相应的有限Coxeter群的最长元。
Zappa-Szép products of Garside monoids
一个幺半群$K$是两个子幺半群的内部Zappa-Szép积，如果$K$的每个元素都允许一个唯一的因子分解作为每个子幺半群的一个元素在给定阶的乘积。这个定义产生的submonoid对彼此的行动，我们证明是结构保持。证明了$K$是Garside幺半群当且仅当两个子幺半群都是Garside幺半群.在这种情况下，这些因子是$K$的抛物子幺半群，并且$K$的Garside结构可以根据因子的Garside结构来描述。我们给明确的同构之间的晶格结构的$K$和产品的晶格结构的因素，尊重Garside规范形式。特别地，我们得到了$K$的范式语言与其因子的范式语言的乘积之间的显式自然双射。
Alternating normal forms for braids and locally Garside monoids
我们描述了新类型的正规形式的辫子幺半群，阿廷山雀幺半群，更一般地说，所有的幺半群，其中整除有一些方便的晶格性质（“局部Garside幺半群”）。我们表明，在辫子的情况下，这些规范形式之一符合伯克尔介绍的规范形式，并推断，后者可以很容易地计算。这种方法导致了一个新的，简单的描述的标准顺序（"Dehornoy秩序“）的Bn在B（n-1）的条款，和二次上界的复杂性，这种顺序。
Parabolic subgroups of Garside groups
加赛德幺半群是具有有限格生成集的可消幺半群;加赛德群是加赛德幺半群的分数群。Garside群族包含球面型的Artin-Tits群。我们推广了著名的概念的抛物子群的阿廷-山茨群到一个抛物子群的Garside组。我们还定义了Garside群的Garside子群的更一般概念，它与Artin-Tits群之间的LCM-同态的概念相关。我们证明了抛物子群的大多数性质都推广到这个子群上。
Groupes de Garside
定义一个Garside幺半群是一个可消幺半群，其中存在左和右lcm，并且满足额外的有限性假设，并且Garside群是Garside幺半群的分数群。Garside群的家族包含辫群、所有球面Artin群和以前考虑过的各种推广（特别地，在[1，7]中考虑的Garside群是这里考虑的那些的特殊情况;后者在早期的作品中被称为“小高斯”;这个名字已经改变，以便与Bessis，Charney，Michel和其他作者的作品统一术语）。在这里，我们证明了Garside群是双自动的，并且Garside群是一个递归可重复的属性，即，存在构造所有小高斯群的（无限）列表的算法。后一个结果依赖于一种有效、易于处理的方法来识别定义Garside么半群的那些表示。
Garside families in Artin-Tits monoids and low elements in Coxeter groups
通过在Coxeter群中引入低元的概念，证明了具有S有限的Coxeter系统（W，S）中所有低元的族包含S，并且是有限的，在右弱序的后缀和并下是闭的.
Computing least common multiples in monoids with a finite Garside family
本文研究了在允许右补呈现的单形中计算最小公倍数的算法，证明了非终止运行必然存在循环，并利用此特性构造最小Garside家族。
Garside and quadratic normalisation: a survey
从辫子幺半群中贪婪正规范数的开创性例子开始，我们分析了Garside幺半群中正规形式的机制，并解释了它如何扩展到Garside家族的更一般框架。扩展的观点，甚至更多，我们然后考虑一般的二次归一化程序和NigerGarside归一化其中。
Coherent presentations of monoids with a right-noetherian Garside family
本文讨论了如何构造包含右诺特Garside族的幺半群的相干表示（生成元表示、关系表示和关系之间的关系表示）。因此，它解决了问题，找到一个统一的推广以下两个不同的扩展建设的连贯介绍球面阿廷山雀幺半群：一般阿廷山雀幺半群，和Garside幺半群。这个结果被应用到一些既不是Artin-Tits也不是Garside的幺半群上。
Garside monoids vs divisibility monoids
整除幺半群（分别为Garside monoid）是Mazurkiewicz迹monoid（resp.球面Artin monoid），即monoid，其中底层格的分配性（分别为公倍数的存在）被保持为假设，但是生成元之间的关系不被认为必须是交换（分别地，Coxeter类型）。在这里，我们表明，这些幺半群的拟中心可以类似地研究和描述，然后我们展示了两类幺半群之间的交集。
Garside combinatorics for Thompson's monoid $F^+$ and a hybrid with the braid monoid $B\_\infty^+$
在单辫模型上，定义为幺半群$B\_\infty^+$中Garside元素$Δ\_n$的左约数，我们研究了Thompson幺半群$F^+$和一个更大的幺半群$H^+$中的单元素，该幺半群$H^+$是$B\_\infty^+$和$F^+$的混合：在这两种情况下，我们计算有多少个简单的元素左除以第一个n-1个原子的右lcm，并用禁因子刻画了它们的正规形。在$H^+$的情况下，出现了广义的杨辉三角形。
Garside structure on monoids with quadratic square-free relations
我们展示了目前正在积极研究的各种数学概念之间的密切联系：一类Garside幺半群，有一个“漂亮的”Garside元，某些具有二次关系的幺半群$S$，其幺半群代数$A= k[S]$有一个具有正则基柱的Frobenius Koszul对偶$A^{!}$，斜多项式型幺半群（或等价地，二项式斜多项式环），并在1995年给出了一类新的Noether Artin Schelter正则域，以及杨-巴克斯特方程的无平方集理论解。由于它们的组合和代数性质，这些物体具有美丽的对称性。
Garside families and Garside germs
Garside家庭最近出现了一个相关的背景下扩展的结果涉及Garside monoid和团体，这本身扩展了经典理论（广义）辫群。在这里，我们建立了Garside族的各种特征，也就是说，等价地，建立某种类型的正规分解存在的各种标准。
A dual braid monoid for the free group
我们构造了自由群的一个拟Garside幺半群结构。这个幺半群应该被认为是一个双辫幺半群的自由群，推广建设伯尔曼，高李和作者的新Garside幺半群的Artin群的球形类型。从理论上讲，对于任意的阿廷群和生成良好的复反射群的辫群，都应该有一个类似的构造。
On torus knot groups and a submonoid of the braid group
已知由$σ_1$和$σ_1 σ_2$生成的$3$ -链辫群$\mathcal{B}_3$的子幺半群在$\mathcal{B}_3$上产生奇异的Garside结构.我们引入并研究了无限族$(M_n)_{n\geq 1}$的Garside幺半群，推广了这种奇异的Garside结构，即，使得$M_2$同构于上述幺半群。相应的Garside群$G(M_n)$同构于$(n,n+1)$ -环面结群-对于$n=2$同构于$\mathcal{B}_3$，对于$n=3$同构于特殊复反射群$G_{12}$的辫群。这产生了一个新的Garside结构$(n,n+1)$ -环面纽结群，其中已经承认几个不同的Garside结构。$(n,n+1)$ -环面纽结群是$\mathcal{B}_{n+1}$的一个推广，而Garside幺半群$M_n$则覆盖在由$σ_1, σ_1 σ_2, \dots, σ_1 σ_2\cdots σ_n$生成的$\mathcal{B}_{n+1}$的子幺半群$Σ_n$上，当$n>2$不是Garside幺半群时。使用一个新的介绍$\mathcal{B}_{n+1}$，这是类似的介绍$G(M_n)$，我们不过检查，$Σ_n$是一个Ore幺半群与组的分数同构的$\mathcal{B}_{n+1}$，并给它一个图解介绍，类似的定义介绍$M_n$。这部分地回答了Dehornoy-Digne-G…
Fixed points of endomorphisms and relations between metrics in preGarside monoids
Rodaro和Silva证明了迹幺半群自同态的不动点子幺半群和周期点子幺半群都是双生成的。我们证明了对于非生成的左preGarside幺半群，包括非生成的preGarside幺半群，Garside幺半群和Artin幺半群，在一定条件下，任何自同态的不动点和周期点子幺半群也是非生成的左preGarside幺半群，并且在Artin幺半群的情况下，这些子幺半群也总是Artin幺半群.我们还用代数方法证明了三个度量在生成的preGarside幺半群中的不等式、等价性和非等价性，特别是迹幺半群和Garside幺半群中的不等式、等价性和非等价性。
Odd and even Fibonacci lattices arising from a Garside monoid
我们研究两个家庭的格的元素的数量是由偶数（分别奇数）的位置在斐波那契序列。偶数Fibonacci格是Garside幺半群的简单元素按左整除性偏序的格，奇数Fibonacci格是偶数中的阶理想。我们给出了一个组合证明的格属性，依赖于描述的话Garside元素的施罗德树，并在递归描述的甚至斐波纳契格。这将产生一个显式公式来计算晶格中的会合和连接。作为一个副产品，我们还得到了Garside元素的字数由一个小Schröder数给出。
A new Garside structure for braid groups of type $(e,e,r)$
本文给出了$(e,e,r)$型复反射群及其辫群的一种新表示。提出了一个演示图。该演示文稿是一个幺半群演示文稿，这是示出产生一个Garside结构。对这种结构的组合学的详细研究使我们将其描述为后经典。
Quadratic normalisation in monoids
在一般的背景下，介绍的幺半群，我们研究的规范化过程，由其限制长度两个字。Garside的贪婪正规形和二次收敛重写系统，特别是那些与plactic monoid相关的系统，是典型的例子。在引入了一个参数，称为类和测量的复杂性规范化的长度为三个字，我们分析了规范化的较长的话，并描述了一些可能的行为。我们充分公理化类（4，3）的规范化，显示相关的重写系统的收敛性，并证明那些来自Garside家庭。
Quasipositive Braids, Presentations, and Garside Structures
本文给出辫子群的一种特定表示，证明其正幺半群不与拟正辫子幺半群同构，且拟正辫子幺半群无真Garside族，解决了Calegari的一个问题。
Garside groups are strongly translation discrete
Garside群是有限型的辫群和Artin群的推广，它被定义为Garside幺半群的分数群.证明了Garside幺半群的半直积是Garside幺半群.利用无限循环群$\mathbb Z$的半直积$\mathbb Z\ltimes G^n$和Garside群$G$的笛卡儿积$G^n$，研究了$G$中元素的根和幂的性质.主要结果是当生成集是简单元素的集合时，估计了Garside群中元素的幂的最小字长的增长。一个直接的应用是Garside群中的平移数的集合是离散的。对Gersten和Short关于Garside群的问题给出了肯定的回答。最初的问题是针对双自动组的。证明了在Garside群$G$中的求根问题可以归结为$\mathbb Z\ltimes G^n$中的共轭问题。利用Garside群中共轭问题的算法，证明了对于任何Garside群，其根的抽取问题都是可判定的。
Algorithms for Garside calculus
加赛德演算是构成么半群、群或范畴的元素的某种范式的基础的常见机制。起源于Garside对Artin的辫群的研究，它已经被扩展到越来越多的一般背景，最近的一个是范畴和所谓的Garside族。这个理论的好处之一是导致算法有效地解决自然发生的问题，通常是字问题。本文的目的是提出和解决这些算法问题的新的扩展框架。
A note on Garside monoids and Braces
类比左 brace 的定义引入了左 $\mathscr{M}$-brace，并证明了每个 lcm-幺半群（包含 Garside 幺半群等）都能诱导出左 $\mathscr{M}$-brace，且每个 Gaussian 群可诱导出部分左 brace。
On the penetration distance in Garside monoids
证明了如果正规形式词正则语言的接受者是强连通的，则穿透序列正则语言的指数增长性比正规形式词正则语言的增长率小于.此外，我们表明，后者的性质是满足所有不可约Artin幺半群的球型，推广Caruso的结果。我们的结果证明了：如果$x$在给定正则长度的所有元素中一致选取，且$y$在所有原子中一致选取，则球型不可约Artin幺半群的穿透距离期望值$pd(x,y)$与$x$的长度无关地有界;后者特别解释了瑟斯顿在辫群的背景下所做的观察，并证明了所有不可约的球型Artin幺半群都具有类似的性质。我们的研究结果也给出了一个肯定的回答Dehornoy提出的问题。
A new Garside structure on torus knot groups and some complex braid groups
已知几个不同的Garside幺半群具有环面纽结群作为分数群。对于$n,m\geq 2$两个互质整数，我们引入一个新的Garside幺半群$\mathcal{M}(n,m)$作为Garside组的$(n,m)$ -环面结群，从而推广到所有的环面纽结群的建设，我们以前给的$(n,n+1)$ -环面纽结群。作为一个副产品，我们获得了新的Garside结构的辫群的一些特殊的复杂的反射群的秩2。类似的Garside结构也构造了一些额外的辫群的特殊复杂的反射群的秩2，这是不同构的环面纽结群，即为$G_{13}$和二面角Artin群的偶数类型。
Ordering, Artin--Tits group, Garside structure
本文研究球形型阿廷群的德霍诺伊结构相关条件，证明其A条件几乎总是成立但B条件很少满足，明确了这类群具备德霍诺伊结构的条件情况。
Set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation, RC-calculus, and Garside germs
基于W. Rump，我们展示了如何利用右循环定律（x.y）。(x.z)=（y.x）。(y.z)为了研究杨-巴克斯特方程的结构群和带有（对合非退化）集论解的幺半群。我们开发了一种右循环演算，并使用它来获得简短的证明存在的Garside结构和I-结构的这样的群体。我们描述有限的代理人，正是发挥所考虑的群体的作用，Coxeter群发挥的作用，阿廷山雀群。
The group of fractions of a torsion free lcm monoid is torsion free
我们改进和缩短了（Journal of Algebra，vol. 210（1998）pp~291- 297）。特别是，事实上，阿廷辫群是无挠的现在遵循Garsidewald的结果几乎立即。
Cancellative Elliptic Artin Monoids
本文为椭圆Artin群定义了新展示，证明由此定义的椭圆幺半群具有可消去性，解决了既有展示的可消去性失败问题，并为构造Garside结构奠定基础。
PreGarside monoids and groups, parabolicity, amalgamation, and FC property
我们定义了preGarside群的概念，使Garside群的定义稍微简化，使得所有的Artin-Tits群都是preGarside群。本文拟对这些群体进行初步的基础研究。首先，我们引入了抛物子群的概念，证明了任何preGarside群都有（部分）补表示，并利用这些表示刻画了抛物子群.然后证明了两个preGarside群沿一个公共抛物子群的合并积仍是preGarside群。这使得我们能够定义FC型preGarside群族为包含Garside群且沿抛物子群通过合并而封闭的preGarside群的最小族。最后，我们对FC型preGarside群及其抛物子群进行了代数和组合研究。
The dual braid monoid
我们构造了有限Coxeter系统的Artin群的一个新幺半群结构。这个幺半群与经典的正辫幺半群有一个重要的代数性质：它是一个Garside幺半群。与经典结构的类比表明，存在一种研究考克斯特系统的“双重”方法，其中对（W，S）被（W，T）取代，T是所有反射的集合。在A型情形下，我们恢复了Birman-Ko-Lee构造的幺半群
Monoids of O-type, subword reversing, and ordered groups
我们描述了一个简单的计划，用于构建的左整除是一个线性序，并实际调查这些幺半群生成幺半群。该方法是基于子字反转，组合群论的一般方法，并与Garside理论，这里在一个非诺特的上下文中。作为应用，我们描述了几个家庭的序群的左不变序空间有一个孤立点，包括环面纽结群和他们的一些合并产品。
A Garside presentation for Artin-Tits groups of type $\tilde C_n$
证明了$\tilde C$型的Artin-Tits群是Garside幺半群的分数群，类似于已知的与球面型Artin-Tits群相关的对偶幺半群，并通过“生成群”方法得到。在这种特殊情况下，这回答了关于Artin-Tits群的一个一般性问题，给出了$\tilde C$型Artin-Tits群的一个新表示，并对字问题、某些中心化子的计算或中心的平凡性产生了影响。证明的一个关键点是证明这个群是在一个对合下的$\tilde A$型Artin-Tits群中的不动点群。另一个重要的一点是研究通常的辫群的Hurwitz作用对Coxeter元素分解成反射的产物的影响。
Explicit Presentations for the Dual Braid Monoids
Birman，Ko和Lee引入了一个新的幺半群${\cal B}^{*}_{n}$ --具有显式表示--它的分数群是$n$ -链辫群${\cal B}_{n}$ .基于Digne、Michel和他自己提出的一种新方法，Bessis为每个有限Coxeter型Artin-Tits群定义了一个{ \it对偶}辫幺半群，扩展了A型情形。在这里，我们给出了一个明确的介绍，这个双辫子幺半群的情况下，类型B和D，我们研究的组合学的基本Garside结构。
Braid groups of type ADE, Garside monoids, and the categorified root lattice
通过$\mathbb{B}_W$在分次投射Z字形模的同伦范畴$\mathcal{K}$上的作用（它把Weyl群$W$在根格上的作用归为范畴），研究了ADE型Artin-Tits辫群$\mathbb{B}_W$.在Brav-Thomas的基础上，我们定义了由$\mathcal{K}$上的规范$t$ -结构诱导的$\mathbb{B}_W$上的一个度量，并证明了这个度量与辫子群的标准正幺半群$\mathbb{B}_W^+$的规范生成元中的字长度量一致.我们还定义了，为每一个选择的Coxeter元素$c$在$W$，一个baric结构上的$\mathcal{K}$。我们使用这些baric结构来定义指标的辫子群，我们确定这些指标的字长指标的Birman-Ko-Lee/Bessis双发电机相关的双正幺半群$\mathbb{B}_{W.c}^\vee$。作为结果，我们给出了标准和对偶正幺半群注入群的新证明，给出了标准和对偶正幺半群中成员问题的线性代数解，并给出了$\mathbb{B}_W$作用于$\mathcal{K}$的忠实性的新证明.最后，我们利用$\mathcal{K}$上的baric和$t$ -结构的相容性证明了Digne和Gobet关于ADE辫群的对偶单生成元的规范字长的一个猜想.
On the singular braid monoid
Garside的结果和辫子的贪婪规范形的严格形式对于奇异辫子么半群是成立的。类似于J.S. Birman，K. H. Ko和S. J.Lee关于辫群的一个新的证明.
Infinite examples of cancellative monoids that do not always have least common multiple
我们将研究不包含两条平行线的复化实仿射线列的补的基本群的表示。利用Yoshinaga的极小表示，我们可以给出基本群的正齐次表示。我们认为相关的幺半群定义的介绍。事实证明，在某些情况下，左（resp。右）\emph{least common multiple}并不总是存在。因此，幺半群既不是\emph{Garside}也不是\emph{Artin}。然而，我们将表明，他们携带某些特定的元素类似的\emph{fundamental elements}在阿廷幺半群，而且，通过改进的经典方法在组合群论，他们是\emph{cancellative monoids}。结果表明，字问题是可以解决的，并确定了它们的中心。
Thin groups of fractions
球面Artin群的许多性质扩展到Garside群，Garside群定义为幺半群的分数群，其中存在最小公倍数，没有非平凡单位，并且满足\cite{Dgk}的一些附加有限性条件。在这里，我们研究了一类更广泛的分数群，称为{ \it thin}，这是那些与幺半群相关的最小公倍数存在，但它们不一定是唯一的。此外，我们允许单位参与幺半群。主要结果是，所有薄组分数满足二次等周不等式，并在一些额外的假设，他们承认一个自动的结构。
Automatic structures for torus link groups
爱泼斯坦和瑟斯顿的一般结果意味着所有的链接群是自动的，但证明没有提供明确的自动机。在这里，我们表明所有环面链的群都是所谓的Garside么半群的分数群，即，粗略地说，么半群与一个很好的理论整除，这使我们能够重新证明，这些团体是自动的，但，此外，给出了一个完全明确的描述所涉及的自动机，从而部分回答了一个问题的D.F.Holt。
Monoids in the fundamental groups of the complement of logarithmic free divisors in C^3
我们研究了关口列出的C^3中对数自由因子的补数的17个基本群中Zariski-van Kampen生成元生成的么半群（定理1）。其中5个是Artin幺半群，8个是自由Abel幺半群。其余四个幺半群不是高斯的，因此既不是Garside也不是Artin（定理2）。然而，我们介绍，类似于阿廷幺半群，基本元素，并显示其存在性（定理3）。四个非高斯幺半群之一满足消去条件（定理4）。
Crystallizing the hypoplactic monoid: from quasi-Kashiwara operators to the Robinson--Schensted--Knuth-type correspondence for quasi-ribbon tableaux
在Kashiwara的意义上，晶体图带有一个自然的幺半群结构，通过识别出现在晶体同构组件相同位置的标记顶点的单词来给出。在特殊线性李代数$\mathfrak{sl}_{n}$的$q$ -类似物的晶体图的特殊情况下，这个幺半群是著名的plastic幺半群，其元素可以用Young tableaux来识别。晶体图和所谓的Kashiwara算子与Young tableaux的组合学和Robinson-Schensted-Knuth对应关系相互作用，因此提供了强大的组合工具。本文构造了一个类似的“准晶体”结构的hypoplastic幺半群，其元素可以确定与准带状tableaux和其与理论的准对称函数呼应的连接的plastic幺半群与理论的对称函数。这种准晶体结构和相关的准Kashiwara运营商互动一样整齐的组合准丝带tableaux和hypoplastic版本的罗宾逊-申斯特-高德纳对应。研究了弹性幺半群的晶体图与次弹性幺半群的准晶图之间的相互作用。最后，利用准晶结构证明了关于亚保幺半群的一些新结果。
On the inverse braid monoid
逆辫幺半群描述了辫上的结构，其中串的数量不固定。因此，可以删除初始$n$的某些字符串。本文证明了基于辫群的许多性质和对象可以推广到逆辫幺半群上。即证明了自由群的部分单态包含在么半群中。这给出了字问题的一个解决方案。另一个解决方案是通过类似于Garside的方法获得的。我们也给出了类似的Artin表示与两个生成元和Sergiescu图表示。
Generalization of the Dehornoy-Lafont order complex to categories. Application to exceptional braid groups
本文将Dehornoy-Lafont序复形推广到Garside范畴并提出降时计算技术，用以补全例外复辫子群的同调结果，重点研究$B(G_{31})$。
Uniform measures on braid monoids and dual braid monoids
研究了典型的正辫子和正对偶辫子的渐近性质。用$μ_k$表示长度为$k$的正（对偶）辫上的均匀分布，证明了序列$(μ_k)_k$在无限正（对偶）辫上收敛于唯一的概率测度$μ_{\infty}$.关键是极限测度$μ_{\infty}$具有马尔可夫结构，可以使用封装在Möbius多项式中的辫子的组合性质来显式地描述。作为副产品，我们解决了Gebhardt和Tawn（J. Algebra，2014）关于大均匀辫子的Garside范式形状的猜想。
Braid groups of J-reflection groups and associated classical and dual Garside structures
本文定义了与 $J$-反射群相关的辫群，证明了其同构类型仅取决于反射同构类型且抽象同构于圆群，中心为循环群，并为其展示了推广经典与对偶 Garside 结构的两种结构。
Dual Garside structures and Coxeter sortable elements
在附着于球型Coxeter群的Artin-Tits群中，给出了经典Artin生成元中对偶辫幺半群的单元的组合表示式.每一个简单的对偶辫子都是通过提升其在Coxeter群中的像的$S$ -约化表达式而获得的，其方式涉及Reading的$c$ -可排序元素。它的直接结果是简单的对偶辫子是天皇辫子（这个结果的已知证明要么需要阿廷群的拓扑实现，要么需要分类技术），因此它们在岩堀-赫克代数中的图像具有正性性质。在经典类型中，这需要给出从$c$ -可排序元素到Coxeter元素$c$的非交叉分区的Reading双射的逆的显式描述，这可能是独立的兴趣。在这些类型的双射描述的非交叉划分模型。虽然证明的公式是个案的情况下，它是完全组合的，我们开发了一种方法，减少了统一的证明，以统一证明一个引理关于反演集的$c$ -可排序的元素。
Faithful Burau-like representations of some rank two Garside groups and torus knot groups
本文提出一种方法，用于生成G(n,m)群在GL₂(C[t±¹, q±¹])中的忠实表示，其中G(n,m)是Garside群，其元素的Garside正规形式可通过矩阵显式恢复。该方法构造了多个忠实表示，包括推广到G(n,m)类群的Burau表示，这些群是扭结群。
Présentations duales des groupes de tresses de type affine $\tilde A$
本文定义了所有Artin-Tits群的对偶幺半群，并证明了对于$\tilde A_n$型，我们得到了一个（拟）-Garside结构.这样的结构提供了标准形式的阿廷-山茨群元素，并允许解决一些问题，如确定的中心化的权力的Coxeter元素在阿廷-山茨群。更准确地说，如果$W$是Coxeter群，则可以考虑$W$上的长度$l_R$相对于由所有反射组成的生成集$R$。令$c$是$W$中的Coxeter元素，并且令$P_c$是元素$p\in W$的集合，使得$c$可以被写为具有$l_R(c)=l_R(p)+l_R(p')$的$c=pp'$。我们定义幺半群$M(P_c)$为一对一对应的集合$\underline P_c$生成的幺半群，$p\mapsto \underline p$，当$p$，$p'$和$pp'$在$P_c$和$l_R(pp')=l_R(p)+l_R(p')$中时，$P_c$只与$\underline{pp'}=\underline p.\underline p'$有关系。我们推测，$M(P_c)$的子群是与$W$相关的Artin-Tits群，它有一个简单的表示（见\ref{conjecture}（ii））。已知这些定理对于球面型Artin-Tits群是成立的。在这里，我们证明他们的阿廷-山茨群类型$\tilde A$。此外，我们表明，正是一个选择的Coxeter元素（图自同构…
Dual braid monoids, Mikado braids and positivity in Hecke algebras
本文研究有理置换辫子，即球面型Artin-Tits群的元素，可记为$x^{-1} y$，其中$x$和$y$是辫子幺半群Garside元素的前缀.我们给出了$A_n$型和$B_n$型辫子的几何特征，并证明了在不同于$D_n$的球面型中，对偶辫子幺半群的单元素（对于任意选择的Coxeter元素）嵌入在辫群中的是有理置换辫（我们推测这在类型$D_n$中也成立）这个性质意味着当在Kazhdan-Lusztig基中表示时，在Iwahori-Hecke代数中的多项式的图像的线性展开中产生的多项式的正性性质。在$A_n$型中，当表示在图基中时，它蕴涵了它们在Temperley-Lieb代数中的象的正性性质.
Small roots, low elements, and the weak order in Coxeter groups
本文给出了Coxeter系统（W，S）中一类新的有限元，称之为低元。它们是由Brink和Howlett的小根定义的，这些小根与（W，S）的自动结构有很强的联系。我们的第一个主要结果是表明它们在（W，S）中形成Garside阴影，即，它们包含S，并且在join（对于右弱序）和取后缀下是封闭的。这些低元是证明所有非线性生成的Artin-Tits群都有有限Garside族的关键。这一结果是在与P. Dehornoy的一份说明中宣布的（P. Dehornoy，M。Dyer和C. Hohlweg。Garside家族在Artin-Tits幺半群和Coxeter群中的低元素。Comptes Rendus Mathematique，353：403-408.，2015年）其中在以下工作标题下提到了本文：根系显性深度的单调性及其应用。证明是基于一个基本的财产享有的小根，这是我们的第二个主要结果，集的小根是bipodal。对于一个自然数n，我们定义了类似的n-低元素从n-小根和猜想，该集的n-小根是bipodal，这意味着该集的n-低元素是Garside阴影，我们证明了这一猜想的仿射Coxeter群和Coxeter群的图形标记为3和无穷大。为了证明后者，我们将正根上的根偏序集推广到根系上的弱序，并定义了根系上的Bruhat序，研究了这些序中的路，从而建立了一个证明只包含有限二面体反射子群的双峰性的准则.
On the growth of Artin--Tits monoids and the partial theta function
本文给出了一个确定齐次Garside幺半群关于原子生成集的增长函数的新方法。特别是，我们提出了一个公式的增长函数的每个Artin-山雀幺半群的球形类型（因此，每个辫子幺半群）相对于标准的发电机，作为一个非常简单的矩阵的行列式的逆。使用这种方法，我们表明，指数增长率的Artin-山雀幺半群的类型$A_n$（积极的辫子幺半群）趋于$3.233636\ldots$作为$n$趋于无穷大。这个数字是众所周知的，因为它是唯一的解决方案$x_0(y)=-(1+y+2y^2+4y^3+9y^4+\cdots)$的经典部分θ函数的系数的增长率。我们还描述了序列$1,1,2,4,9,\ldots$形成的系数的$-x_0(y)$，通过显示，其$k$ th项（系数的$y^k$）是等于辫子的长度$k$的数量，在正辫幺半群$A_{\infty}$上的无限数量的股，其最大的字典的代表开始于第一个生成元$a_1$。这是部分θ函数和辫子理论之间的意外联系。
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