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特权字数的上界

Upper bound for the number of privileged words

Josef Rukavicka

备注：
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摘要：

如果$\vert w\vert<\vert u\vert$和$w$都是$u$的前缀和后缀，则非空字$w$是字$u$的\emph{border}。如果$\vert u\vert\leq 1$或$u$有一个特权边界$w$在$u$中正好出现两次，则单词$u$是\emph{privileged}。Peltomäki（2016）提出了以下开放问题："给$B(n)$一个非平凡的上界“，其中$B(n)$表示长度为$n$的特权字的数量。令$\ln^{[0]}{(n)}=n$和令$\ln^{[j]}{(n)}=\ln{(\ln^{[j-1]}{(n)})}$，其中$j,n$是正整数。我们证明，如果$q>1$是字母表的大小和$j\geq 3$是一个整数，那么有常数$α_j$和$n_j$，使得\[B(n)\leq α_j\frac{q^{n}\sqrt{\ln{n}}}{\sqrt{n}}\ln^{[j]}{(n)}\prod_{i=2}^{j-1}\sqrt{\ln^{[i]}(n)}\mbox{, where }n\geq n_j\mbox{.}\]。这个结果改进了Rukavicka（2020）的上界。

英文摘要：

A non-empty word $w$ is a \emph{border} of a word $u$ if $\vert w\vert<\vert u\vert$ and $w$ is both a prefix and a suffix of $u$. A word $u$ is \emph{privileged} if $\vert u\vert\leq 1$ or if $u$ has a privileged border $w$ that appears exactly twice in $u$. Peltomäki (2016) presented the following open problem: ``Give a nontrivial upper bound for $B(n)$'', where $B(n)$ denotes the number of privileged words of length $n$. Let $\ln^{[0]}{(n)}=n$ and let $\ln^{[j]}{(n)}=\ln{(\ln^{[j-1]}{(n)})}$, where $j,n$ are positive integers. We show that if $q>1$ is a size of the alphabet and $j\geq 3$ is an integer then there are constants $α_j$ and $n_j$ such that \[B(n)\leq α_j\frac{q^{n}\sqrt{\ln{n}}}{\sqrt{n}}\ln^{[j]}{(n)}\prod_{i=2}^{j-1}\sqrt{\ln^{[i]}(n)}\mbox{, where }n\geq n_j\mbox{.}\] This result improves the upper bound of Rukavicka (2020).

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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