Sharp endpoint estimates for eigenfunctions restricted to submanifolds of codimension 2
Burq-Gérard-Tzvetkov和Hu建立了将特征函数限制在子流形上的$L^p$估计（$2\le p\le \infty$）。估计是尖锐的，除了在端点的对数损失$L^2$估计余维2的子流形。长期以来，人们一直认为端点处的日志丢失一般可以消除，而问题仍然存在。因此本文主要研究这种情形下本征函数的尖端点约束估计。Chen和Sogge去掉了三维流形上测地线的对数损失。本文将他们的结果推广到高维情形，证明了余维为2的全测地子流形的对数损失是可以消除的。此外，在三维流形上，我们可以去除具有非零测地曲率的曲线以及更一般的有限型曲线的对数损失。三维问题本质上与平面曲线上的希尔伯特变换和一类由Phong-Stein，Ricci-Stein，Pan，Seeger，Carbery-Pérez研究的奇异振荡积分有关。
2020-06-18 math.AP math.CA math.DG
Sharp local $L^p$ estimates for the Hermite eigenfunctions
本文为 Hermite 特征函数建立了尖锐的局部 $L^p$ 估计，推广了 Thangavelu 的结果并改进了 Koch-Tataru 的估计，解释了全局界随 $p$ 减小的现象，并通过构造例子证明了最优性。
2023-11-11 math-ph math.AP math.CA
A few endpoint geodesic restriction estimates for eigenfunctions
我们证明了特征函数的几个新的端点测地约束估计。在一般的三维紧致流形的情形下，通过$TT^*$论证，利用希尔伯特变换在$\R$上的$L^2$ -有界性，我们改进了Burq，Gérard，Tzvetkov和Hu的相应的$L^2$ -限制界.在非正曲率的2维紧致流形的情形下，我们得到了对测地线限制的改进的$L^4$ -估计，通过Hölder不等式和插值，得到了所有指数$p\ge 2$的改进的$L^p$ -界.我们这样做是通过使用振荡积分定理的Hörmander，Greenleaf和Seeger，和Phong和Stein，随着一个简单的几何引理（引理\ref{lemma3.2}）的性质的混合海森的黎曼距离函数限制在黎曼曲面的测地线对。我们也能够得到进一步的改进，超出我们的新结果在三维下的假设下，常数非正曲率利用的事实，在这种情况下，有许多全测地子流形。
2013-08-12 math.AP math.CA math.DG
A counterexample to a multilinear endpoint question of Christ and Kiselev
Christ和Kiselev建立了具有$L^p$势$F$的一维Dirac算子的广义本征函数对$p < 2$的几乎所有能量都有界.粗略地说，证明涉及将这些本征函数写成多线性级数$\sum_n T_n(F, ..., F)$，并仔细地限定每一项$T_n(F, ..., F)$。我们还证实了Christ和Kiselev的结果也适用于$L^2$势$F$。然而，在本说明中，我们表明双线性项$T_2(F,F)$和三线性项$T_3(F,F,F)$在$L^2$上表现不佳，这似乎表明多线性展开不是处理这种端点情况的正确工具。
2002-02-14 math.AP math.CA
Recurrence Relations for Exceptional Hermite Polynomials
双谱反同构适用于微分算子涉及的稳定环的元素，以产生明确的公式，所有的差分算子具有任何的Hermite例外的正交多项式作为本征函数的本征值是多项式在$x$。
2015-07-02 math.CA
Supersymmetric Quantum mechanics on the radial lines
本文研究了平面上$r$直线上的一类Hermite正交多项式，它们的公共点在原点，端点在$r$的单位根上，并证明了它们的相关Hermite函数是微分-差分算子的本征函数.提出并分析了一种在$r$径向线上的超对称谐振子。它的本征函数由这些多项式给出。
2018-11-06 math.CA
Universal Bounds and Monotonicity Properties of Ratios of Hermite and Parabolic Cylinder Functions
本文得到了一类Hermite函数与抛物柱面函数之比的未证明性质。这些比率被证明是严格递减的，并受普适常数的约束。与通常的分析方法不同，我们采用简单的纯概率参数来得出我们的结果。特别是，我们利用厄米和抛物柱面函数和特征函数的无穷小生成的Ornstein-Uhlenbeck过程之间的关系。作为副产品，我们得到了Turán型不等式。
2019-05-24 math.CA
Endpoint eigenfunction restriction estimates in codimension two
Hunan University（湖南大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文研究光滑闭黎曼流形上余维二子流形的拉普拉斯特征函数端点L²限制估计，证明了经典估计的little-oh改进并构造反例表明其最优性，同时否定对数移除问题。
2026-09-22 math-ph math.AP math.CA
Eigenfunctions of the Multidimensional Linear Noise Fokker-Planck Operator via Ladder Operators
本征函数和本征值的Fokker-Planck运营商的线性漂移和常数扩散所需的扩展时间依赖的解决方案，并评估我们最近的扰动扩展的概率密度由非线性主方程。虽然在一维中是众所周知的，但对于多维，本征函数在文献中没有明确给出。我们开发的Fokker-Planck（FP）运营商及其伴随的升降运营商，并使用它们来获得相应的本征值和本征函数的表达式。我们证明了前向和伴随FP算子的本征函数形成一个双正交集，并且本征函数在特定的坐标系中归结为Hermite函数的乘积和。
2016-08-31 math.CA
Eigenfunctions of the Cosine and Sine Transforms
给出了余弦算子和正弦算子的特征子空间的描述。这两个算子的谱都由两个特征值（1，1，-1）组成，它们的特征子空间是无限维的.这些子空间有许多可能的基，但最流行的是从Hermite函数构造的基。我们提出了其他的“基地”，这不是离散的向量正交序列，但连续的向量正交链。我们的工作可以被认为是Hardy和Titchmarsh在\textit{Self-reciprocal functions}中结果的延续和进一步发展。（Oxford Ser.）\textbf{1}（1930）。
2012-12-23 math.CA math.SP
Classes of Bivariate Orthogonal Polynomials
引入了一类二元正交多项式，它推广了圆盘多项式和2- $D$ Hermite多项式.我们确定某些有趣的成员，这一类包括一个变量的推广的2- $D$厄米多项式和两个变量的泽尼克或光盘多项式的扩展。我们也给出了所有这些扩展的$q$ -类似物。在每种情况下，除了生成函数和三项递归，我们提供提高和降低运营商，并表明多项式的特征函数的二阶偏微分或$q$ -差分算子。
2016-02-24 math.CA
Optimal growth bounds for eigenfunctions
非紧流形的分析几乎总是需要在无穷远处的某些受控行为。没有这些，人们既不能表现出，也不能期望，强大的属性。另一方面，这种假设限制了可能的应用，而且往往过于严格。在广泛的领域中，非紧空间具有高斯权和漂移拉普拉斯算子。本征函数是加权空间中的$L^2$，允许极其快速的增长。快速增长对许多应用程序来说是灾难性的。令人惊讶的是，对于非常一般的张量，流形和权重，我们显示了相同的多项式增长边界，拉普拉斯和厄米观察到的欧几里得空间的标准高斯函数。这涵盖了Ricci和中曲率流的所有收缩器。这些结果为理解一般的非紧空间打开了一扇大门。它为在高斯空间上进行非线性偏微分方程提供了一个分析框架，在高斯空间中，以前的高斯权重允许疯狂的增长，使得不可能用线性近似非线性。它是确定非紧流形上非同态增长性界的关键，也是解决“规范问题”的关键。估计的相对性质和边界的缓慢增长导致“几乎分裂的传播”，这比伪局部性和应用程序的关键要强得多。
2021-09-10 math.AP math.CA math.DG
Semiclassical $L^p$ quasimode restriction estimates in two dimensions
本文在二维情形下建立了光滑曲线上准模的尖锐 $L^p$ 限制估计，并通过分析曲线与半经典双特征流的接触阶，将其应用于紧黎曼流形上的 Laplace-Beltrami 特征函数及 $\mathbb R^2$ 上的 Hermite 函数。
2024-02-25 math.AP math.CA math.SP
Second order differential operators having several families of orthogonal matrix polynomials as eigenfunctions
本文的目的是揭示正交矩阵多项式满足二阶微分方程理论中的一个新现象。在过去的几年里，我们已经看到了一些例子，一个（固定）家庭的正交矩阵多项式的元素是共同的特征函数的几个线性无关的二阶微分算子。我们表明，对偶的情况也是可能的：有不同的家庭的矩阵多项式的例子，每个家庭正交相对于一个不同的权重矩阵，其元素是一个共同的二阶微分算子的本征函数。这些例子是通过在某个点上将离散质量添加到权重矩阵$\widetilde{W}=W+δ_{t_0}M(t_0)$来构造的。我们的方法包括显示如何选择离散质量$M(t_0)$，点$t_0$的质量生活和权重矩阵$W$，使新的权重矩阵$\widetilde{W}$继承一些对称的二阶微分算子与$W$。众所周知，这种情况是不可能的埃尔米特，拉盖尔和雅可比的经典标量家庭。
2011-10-20 math.CA
Automorphisms of Algebras and Bochner's Property for Vector Orthogonal Polynomials
本文构造了一类新的向量正交多项式族，它们具有成为某些微分算子的特征函数的性质。它们是Hermite和Laguerre多项式系统的推广。第三个家庭，其第一个成员已被发现的Y。本·切赫和K.杜拉克也被建造。我们的方法背后的想法在于双谱算子的研究。我们利用结合代数的自同构变换成这种类型的其他系统的微分算子的本征函数的基本向量正交多项式系统。
2016-05-19 math-ph math.CA math.MP
The Hermite-Hadamard inequality in higher dimensions
Hermite-Hadamard不等式指出，区间上的凸函数的平均值由区间端点处的函数的平均值从上到下有界。我们提供了一个推广到更高的维度：让$Ω\subset \mathbb{R}^n$是一个凸域，并让$f:Ω\rightarrow \mathbb{R}$是一个凸函数满足$f \big|_{\partial Ω} \geq 0$，那么$$ \frac{1}{|Ω|} \int_Ω{f ~d \mathcal{H}^n} \leq \frac{2 π^{-1/2} n^{n+1}}{|\partial Ω|} \int_{\partial Ω}{f~d \mathcal{H}^{n-1}}.$$常数$2 π^{-1/2} n^{n+1}$大概是远离最优的，但它不能被替换为1一般。我们证明略强的估计常数在两个维度，我们表明，$9/8 \leq c_2 \leq 8$。对某些泛常数$c>0$，若$Ω\subset \mathbb{R}^2$是光滑边界单连通的，$f:Ω\rightarrow \mathbb{R}_{}$是次调和的，即$Δf \geq 0$，$f \big|_{\partial Ω} \geq 0$，则$$ \int_Ω{f~ d \mathcal{H}^2} \leq c \cdot \mbox{inradius}(Ω) \int_{\partial Ω}{ f ~d\m…
2018-11-13 math.CA math.FA
Hermite spectral projection operator
研究了$\mathbb R^d$中与Hermite算子$H=|x|^2-Δ$相关联的谱投影算子$Π_λ$的$L^p$-$L^q$估计.这里$Π_λ$表示到由Hermite函数所张成的子空间的投影，Hermite函数是具有本征值$λ$的$H$的本征函数。此类估计值以前仅适用于$q=p'$，等同于$p=2$或$q=2$（通过$TT^*$参数），但作为这些估计值之间插值的直接结果的估计值除外。如Karadzhov、Thangavelu、Koch和Tataru的著作所示，$Π_λ$的局部和全局估计具有不同的性质。特别地，$Π_λ$在集合$\sqrtλ\mathbb S^{d-1}$附近表现出复杂的行为。与Laplacian的谱投影算子相比，$Π_λ$的$L^p$ - $L^q$估计对于一般的$p,q$还没有得到很好的理解.在本文中，我们考虑$Π_λ$的$L^p$- $L^q$估计在一个一般的框架，包括局部和整体估计与$1\le p\le 2\le q\le \infty$，并进行工作的特点$Π_λ$上的锐界。我们在$p,q$的扩展范围内建立了各种新的尖锐估计。首先，我们提供了一个完整的局部估计$Π_λ$的特征，这是第一次考虑由Thangavelu。其次，对于$d\ge5$，我们证明了$L^2$ - $L^{2(d+3)/(d+1)}$估计$Π_λ$已离开开放，因为科赫和Tataru的工作。…
2021-09-19 math.CA
Eigenfunctions, free boundaries, and time-frequency localization
Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)（巴西纯粹与应用数学研究所）
研究时间频率局部化算子的反问题，核心方法是基于特征函数确定局部化域，主要贡献包括给出局部化域的一般反构造、恢复圆盘相关特征、证明指数最优性及扩展集中不等式并给出定理新证明。
2026-08-28 math.AP math.CA math.CV
Endpoint Mapping Properties of Wave Operators for Two-Dimensional Schrödinger Operators
Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）；University of Science and Technology Beijing（北京科技大学）；Central China Normal University（华中师范大学）
该研究明确二维薛定谔算子波算子的端点映射性质，发现s波共振可改善其端点行为，与三维及以上维度情况相反，还给出零本征值下端点有界性的充要条件。
2026-09-15 math-ph math.AP math.CA
Endpoint Mapping Properties of Wave Operators for Schrödinger Operators in Dimensions $n\ge3$
Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算力学研究所）；School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing（北京科技大学数理学院）；School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Nonlinear Analysis and Applications (Ministry of Education), Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院，非线性分析与应用教育部重点实验室）
本文研究 $n\ge3$ 维薛定谔算子低能波算子的端点映射，证明四维零能共振阻碍 $L^1$ 有界性，并在无共振时给出完整 $L^p$ 分类，其 $L^\infty$ 有界性等价于零能特征函数矩的消失条件。
2026-10-02 math-ph math.AP math.CA
