发表机构
Institute of Applied Physics and Computational Mathematics; School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing; School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Nonlinear Analysis and Applications (Ministry of Education), Central China Normal University（应用物理与计算力学研究所; 北京科技大学数理学院; 华中师范大学数学与统计学院，非线性分析与应用教育部重点实验室）
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本文研究 $n\ge3$ 维薛定谔算子低能波算子的端点映射，证明四维零能共振阻碍 $L^1$ 有界性，并在无共振时给出完整 $L^p$ 分类，其 $L^\infty$ 有界性等价于零能特征函数矩的消失条件。
AI 中文摘要
我们研究了 $\mathbb R^n$（$n\ge3$）上薛定谔算子 $H=-\Delta+V$ 的低能波算子的端点映射性质。在四维情形下，我们证明：当 $|V(x)|\lesssim\langle x\rangle^{-\beta}$ 且 $\beta>10$ 时，零能共振会阻止 $L^1$ 有界性，无论零是否也是特征值。对于没有共振的零能特征值，我们在 $\beta>n+4$ 的条件下，对每个维度 $n\ge3$ 获得了完整的低能 $L^p$ 分类。特别地，$L^\infty$ 有界性等价于：对每个零能特征函数 $\psi$，$V\psi$ 的零阶、一阶和谐波二阶矩均为零。证明识别了有限秩障碍，并表明剩余的特征值修正无法抵消其临界渐近轮廓。当相应的高能界可用时，相同的结论对完整波算子也成立。
英文摘要
We study endpoint mapping properties of low-energy wave operators for Schrödinger operators $H=-Δ+V$ on $\mathbb R^n$, $n\ge3$. In dimension four, we prove that a zero-energy resonance prevents $L^1$ boundedness, whether or not zero is also an eigenvalue, under $|V(x)|\lesssim\langle x\rangle^{-β}$ with $β>10$. For a zero-energy eigenvalue without a resonance, we obtain a complete low-energy $L^p$ classification in every dimension $n\ge3$ under $β>n+4$. In particular, $L^\infty$ boundedness is equivalent to the vanishing of the zeroth, first, and harmonic second moments of $Vψ$ for every zero-energy eigenfunction $ψ$. The proof identifies the finite-rank obstruction and shows that the remaining eigenvalue correction cannot cancel its critical asymptotic profiles. The same conclusions hold for the full wave operators when the corresponding high-energy bounds are available.
Comments26 pages
