Software Engineering and Complexity in Effective Algebraic Geometry
我们介绍了一个强大的参数化算术电路的概念，多元多项式的代数家庭的评价。基于这一概念，我们提出了一个计算模型，适用于科学计算，它涵盖了所有已知的分支简约符号算法在有效的代数几何。我们通过软件工程的论证来证明这个模型。最后，我们展示了一类简单的有效代数几何消元问题，它需要指数时间来解决我们的计算模型的分支简约算法。
2012-04-25 cs.CC
Deterministic Identity Testing of Read-Once Algebraic Branching Programs
本文研究了$k$只读代数分支程序（$Σ_k$ -RO-ABPs）和的多项式恒等式检验问题，推广了Shpilka和Rovovich在2008，2009中对$k$只读代数分支程序（$Σ_k$ -RO-formulas）和的多项式恒等式检验.我们证明了对于任何$k \leq \lfloor n/2\rfloor$，其中$n$是变量的数目，$Σ_k$-RO-ABPs比$Σ_k$ -RO-公式严格更强大。我们得到了以下结果：1）给定对和中的RO-ABP的自由访问，我们得到了一个在时间上运行的确定性算法$O(k^2n^7s) + n^{O(k)}$，其中$s$限制了输入上给定的任何最大RO-ABP的大小。这意味着我们有一个确定性的多项式时间算法，用于测试是否一个恒定数量的RO-ABP的总和计算零多项式。2)给定对计算和中的各个多项式的RO-ABP的黑盒访问，我们得到在时间上运行的确定性算法$k^2n^{O(\log n)} + n^{O(k)}$。3)最后，只给黑盒访问的$k$ RO-ABP的总和计算的多项式，我们得到一个$n^{O(k + \log n)}$时间确定性算法。
2009-12-14 cs.CC
On algebraic branching programs of small width
1979年Valiant证明了公式规模为多项式有界的族的复杂性类VP_e包含在代数分支程序（ABP）规模为多项式有界的族的复杂性类VP_s中。受分离这些类的问题的启发，我们研究了拓扑闭包VP_e-bar，即可以由VP_e中的多项式任意逼近的多项式类。我们用一个非常简单的完全多项式（特征不同于2）来描述VP_e-bar，它的递归定义类似于Fibonacci数。进一步理解这个多项式似乎是一个有前途的路线，新的公式下限。我们的方法是植根于小恒定宽度的ABPs的研究。在1992年Ben-Or和Cleve证明了公式的大小多项式等价于宽度为3的ABP大小。我们扩展了他们的结果（特征不同于2），表明近似公式的大小是多项式等价于近似宽度-2 ABP大小。这是令人惊讶的，因为在2011年Allender和Wang给出了显式多项式，这些多项式根本不能用宽度为2的ABP计算！我们构造的细节导致了VP_e-bar的上述特征。作为这项工作的一个自然的延续，我们证明了类VNP可以被描述为一类的家庭，承认多项式有界的维数超过多项式许多仿射线性形式的产品的超立方总和。这给出了代数复杂性类与它们的非确定性类似物的第一个分离。
2017-05-24 cs.CC
Quasipolynomial-time Identity Testing of Non-Commutative and Read-Once Oblivious Algebraic Branching Programs
研究了代数分支程序（ABPs）的确定性黑盒多项式身份测试算法（PIT）问题。这个类有一个确定性的白盒多项式身份测试算法（由于Raz和Shpilka），但在此之前，没有已知的黑盒算法。本文的主要结果给出了这类S型电路的第一个拟多项式型命中集，当变量的阶数已知时。由于我们的命中集的大小为exp（lg^2 S），这类似于（在布尔伪随机性的术语中）lg^2 S的种子长度，这是Nisan和Impagliazzo-Nisan-Wigderson的伪随机生成器的种子长度，用于只读不经意布尔分支程序。对于有界宽度的分支规划，我们的结果更强，这里我们给出了一个大小为exp（lg^2 S/lglg S）的命中集，对应于lg^2 S/lglg S的种子长度。这与已知的有界宽度的只读不经意布尔分支程序的结果形成鲜明对比，其中没有种子长度为o（lg^2 S）的伪随机生成器（或命中集）是已知的。在后续的工作中，我们加强了Mulmuley的结果，并表明，去随机化的Noether归一化引理的一个特定的情况下，可减少到黑盒PIT的只读一次遗忘的ABP。利用目前的工作结果，这给出了一个去随机化的诺特正规化在这种情况下，Mulmuley澄清将困难，由于其关系的问题，代数几何。我们还表明，其他几个电路类可以黑盒减少到只读一次不经意的ABP，包括集多线性ABP（深度3集多线性公式的推广），非交换ABP（推广非交换公式），（…
2013-09-22 cs.CC
Determinants vs. Algebraic Branching Programs
本文证明常数次数齐次多项式的行列式复杂度与代数分支程序复杂度仅相差常数因子，从而将 ABP 超线性下界与行列式复杂度下界这两个开放问题联系起来。
2023-08-08 cs.CC
A Quadratic Lower Bound for Algebraic Branching Programs and Formulas
我们证明了任何代数分支程序（ABP）计算多项式$\sum_{i = 1}^n x_i^n$至少有$Ω(n^2)$顶点。这改进了$Ω(n\log n)$的下界，它遵循Baur和Strassen的经典结果[Str 73，BS 83]，并扩展了[K19]中的结果，该结果显示了计算相同多项式的\emph{homogeneous} ABP的二次下界。我们的证明依赖于一个概念的深度减少，这是让人想起类似的声明中的矩阵刚度的上下文中，并表明，任何足够小的ABP计算多项式$\sum_{i=1}^n x_i^n$可以深度减少到基本上是一个均匀的ABP相同大小的计算多项式$\sum_{i = 1}^n x_i^n + ε(x_1, \ldots, x_n)$，一个结构化的“错误多项式”$ε(x_1, \ldots, x_n)$。为了完成证明，我们观察到[K19]中的下界足够稳健，并且继续对所有多项式$\sum_{i = 1}^n x_i^n + ε(x_1, \ldots, x_n)$成立，其中$ε(x_1, \ldots, x_n)$具有适当的结构。我们还使用我们的想法，以显示$Ω(n^2)$的大小的代数公式计算的$0.1n$度$n$变量的初等对称多项式的下限。这是对$Ω(n^2/\log n)$ [Nec 66，K85，SY 10]的先前最佳已知公式下限（针对不同多项式证明）的略微改进。有趣的是，…
2020-03-18 cs.CC
Pebbling and Branching Programs Solving the Tree Evaluation Problem
我们研究与树评估问题相关的受限计算模型。在早期的工作中，TEP被引入作为分离L和LogDCFL的（* 非常 *）长期目标的简单候选者。该问题的输入是一个高度为h的有根平衡二叉树，其内部节点用[k] = {1，.，k}（每一个简单地给出为[k]的k^2个元素的列表），并且其叶子被标记为[k]的元素。每个节点在[k]中获得一个值，该值等于其应用于其子节点值的二元函数，输出是根节点的值。第一个限制计算模型，称为分数卵石，是图上黑/白卵石游戏的推广，并且以自然的方式从寻找求解TEP的非确定性分支程序（BP）的大小的良好上界中产生-对于任何固定的h，如果高度h的二叉树具有至多p的分数卵石成本，然后有大小为O（k^p）的非确定性BP求解高度h TEP。我们证明了一个下界的分数卵石成本的d-元树，是紧内的一个附加常数为每个固定的d。我们研究的第二个限制计算模型是对（非）确定性BP求解TEP-Thrifty BP的语义限制。确定性（非确定性）节俭BP足以实现用于TEP的最佳已知算法，基于黑色（分别为分数）卵石。在早期的工作中，对于每个固定的h，证明了确定性节俭BP的大小的下限对于足够大的k是紧的。我们给出了一个替代的证明，实现了所有k相同的界限。我们证明了同样的界在一个较少限制的模型中仍然成立，并且对于模型上逐渐较弱的限制，可以得到逐渐较弱的下界。
2010-02-25 cs.CC
Quantum Query-Space Lower Bounds Using Branching Programs
本研究通过分析受限广义量子分支程序（GQBP），推导出ORₙ等问题的量子查询-空间下界Q²s=Ω(n²)，并给出对称布尔函数查询复杂度下界的新证法。
2024-10-05 cs.CC quant-ph
Pebbling Arguments for Tree Evaluation
树评价问题是由Cook等人在2010年引入的，作为将P与L和NL分离的候选问题。树评估问题中已知的最一般的空间下界需要对分支程序进行语义限制，并使用与著名的卵石游戏的连接来生成瓶颈参数。这些界限满足相应的上限产生的自然实现的最佳卵石算法。在本文中，我们将这些想法扩展到各种限制家庭的确定性和非确定性分支程序，证明紧下界下，这些限制模型。我们还调查和统一已知的下限在我们的“鹅卵石论证”框架。
2013-11-01 cs.CC
Deterministic Black-Box Identity Testing $π$-Ordered Algebraic Branching Programs
在本文中，我们研究了代数分支程序（ABP）的顺序和变量的读取次数的限制。给定$n$变量的置换$π$，对于$π$排序的ABP（$π$-OABP），对于从源到宿的任何有向路径$p$，变量可以在$p$上最多出现一次，并且变量在$p$上出现的顺序必须遵守$π$。如果任何变量在$A$中最多出现$r$次，则ABP $A$被称为读$r$。我们的主要结果涉及到身份测试问题。在任何字段$F$和黑盒模型中，即只给出对多项式的查询访问，我们有以下结果：读取$r$ $π$ -OABP可计算多项式可以在$\DTIME[2^{O(r\log r \cdot \log^2 n \log\log n)}]$中测试。我们的下一组结果研究了OABP的计算限制。它表明，任何OABP计算行列式或永久需要大小$Ω(2^n/n)$和读取$Ω(2^n/n^2)$。我们给出了一个多线性多项式$p$在$2n+1$变量在一些特定的选择领域$G$，使任何OABP计算$p$必须读取一些变量至少$2^n$倍。我们表明，在$n$变量的程度$r$的基本对称多项式可以计算的大小$O(rn)$读取$r$ OABP，但不是由读取$(r-1)$ OABP，任何$0 < 2r-1 \leq n$。最后，我们给出了一个多项式$p$和两个变量阶数$π\neq π'$的例子，使得$p$可以由一次读取的$π$-OABP计算，但是其中任何计算$p$的$π'$-O…
2010-02-07 cs.CC
On Closure Properties of Read-Once Oblivious Algebraic Branching Programs
本文研究了只读一次非代数分支程序（roABPs）在因式分解、幂运算和对称复合下的非闭包性质，通过基于扩展图构造困难多项式等方法，揭示了其与代数电路等已知模型在闭包性上的差异。
2025-09-12 cs.CC cs.DM
A Lower Bound for Read-Once Parity Branching Programs
Efi Arazi School of Computer Science, Reichman University（埃菲·阿拉齐计算机科学学院，雷希曼大学）
研究计算n个变量显式布尔函数的一次读取奇偶分支程序的下界，通过简化问题到代数电路复杂度的下界，得到\(\tilde{\Omega}(n^2)\)的下界，优于之前的\(\tilde{\Omega}(n^{1.5})\)。
2026-07-08 cs.CC
An Unconditional Barrier for Proving Multilinear Algebraic Branching Program Lower Bounds
本文证明了多线性代数分支程序下界证明中min-partition rank方法的局限性，指出需要新的技术来区分mVBP与多线性层次中的更高类。
2026-05-11 cs.CC math.CO math.PR
On Efficient Noncommutative Polynomial Factorization via Higman Linearization
本文提出一种随机多项式时间算法，利用Higman线性化将非交换代数分支程序转换为线性矩阵，进而实现非交换多项式的因式分解，输出各不可约因子。
2025-05-24 cs.CC
Circuit Lower Bounds, Help Functions, and the Remote Point Problem
我们调查的权力代数分支程序（ABP）增强帮助多项式，和恒定深度的布尔电路增强帮助功能。我们将这两个模型中证明显式下界的问题与远程点问题（由Alon、Panigrahy和Yekhanin（RANDOM '09）引入）联系起来。更确切地说，证明下界的ABP与帮助多项式有关的远程点问题w.r.t.的秩度量，并为帮助功能的恒定深度电路，它是有关的远程点问题w.r.t.海明度量。对于代数分支程序的帮助多项式与一定程度的限制，我们显示指数大小的下界显式多项式。
2009-11-23 cs.CC
VP, VNP and Algebraic Branching Programs over Min-Plus Semirings
IIT Gandhinagar（印度理工学院甘地纳加尔分校）；IIT Madras（印度理工学院马德拉斯分校）
本文研究了最小-加半环上电路的计算能力与限制，定义了VNP类，并展示了常宽ABP在计算最小权2边匹配时的局限性及与VNP的关系。
2026-05-10 cs.CC
Some Lower Bound Results for Set-Multilinear Arithmetic Computations
本文研究了集-多线性算术电路和集-多线性分支程序的结构，目的是给出下界结果。我们定义了这些模型的一些自然限制，我们能够显示下界结果。我们的一些结果扩展了现有的下限，而另一些是新的，并提出了开放的问题。（1）我们观察到集合多线性算术电路可以有效地转化为浅集合多线性电路，类似于[VSBR 83，RY 08]对更一般的交换电路的深度约简结果。因此，我们注意到，多项式规模集多线性电路有准多项式规模集多线性分支程序。我们发现，\emph{narrow}集多线性ABP（有限数量的集合类型）计算永久多项式$\mathrm{PER}_n$需要$2^{n^{Ω(1)}}$大小。一个类似的结果，一般集多线性ABP出现困难，因为它将意味着永久需要超多项式大小集多线性电路。这也意味着，非交换永久需要超多项式大小的非交换算术电路。(2)事实上，我们还表明，集多线性分支程序是指数更强大的比\emph{interval}多线性电路（其中每个门的索引集被限制为一个区间w.r.t.\”（《易经》）：“君子之道，焉可诬也？有始有终。这进一步强调了集合多线性分支程序的强大功能。(3)最后，我们考虑了集多线性回路，并对单项式的证明树的个数进行了限制，证明了指数下界的结果。这就提出了一些新的下限问题。
2015-11-07 cs.CC
A Quadratic Time-Space Tradeoff for Unrestricted Deterministic Decision Branching Programs
对于编码理论中的一个决策问题，证明了$q$路确定性决策分支程序的二次期望时空折衷形式为$\eT\eS=Ω(\tfrac{n^2}{q})$，其中$q\geq 2$ .这里，当所有输入都是相等的可能性时，$\eT$是预期的计算时间，$\eS$是预期的空间。据我们所知，这个界限是第一个这样显示指数大小的要求，无论何时$\eT = O(n^2)$。以前的布尔决策分支程序的指数大小权衡是有效的时间限制模型与$T=o(n\log_2{n})$。证明无限制时间决策分支程序的二次时空权衡一直是最近研究的一个主要目标-这个目标已经在二十年前实现了多输出分支程序。我们还展示了布尔决策分支程序验证循环卷积，矩阵向量乘法和离散傅立叶变换的第一个二次时空权衡。此外，我们证明了一个建设性的布尔决策函数，具有二次预期的时间-空间权衡的布尔确定性决策分支程序模型。当$q$是一个常数的权衡结果得出这里的决策功能验证各种功能的顺序可比先前已知的权衡界限计算相应的多输出功能。
2010-11-17 cs.CC cs.DM cs.IT
On Explicit Branching Programs for the Rectangular Determinant and Permanent Polynomials
本文从参数化复杂度的角度研究了一些著名多项式族的运算电路复杂性。我们主要研究了\emph{rectangular}符号矩阵的行列式和永久多项式在交换和非交换条件下的显式代数分支程序（ABP）的构造.有以下主要結果: 1.本文给出了$k\times n$符号矩阵的非交换永久多项式的一个显式$O^{*}({n\choose {\downarrow k/2}})$大小的ABP构造.我们通过一个显式的ABP构造得到了$S_{n,k}^*$的大小为$O^{*}({n\choose {\downarrow k/2}})$，它是初等对称多项式$S_{n,k}$的非交换对称化版本。2.我们得到了$k\times n$符号矩阵的可交换矩形行列式多项式的一个显式$O^{*}(2^k)$ -规模ABP构造. 3.相反，我们证明了计算有理矩阵上的矩形非交换行列式是$W[1]$ -hard的。
2019-08-22 cs.CC
Proof Complexity Lower Bounds from Algebraic Circuit Complexity
我们给上和下界的子系统的电源的理想证明系统（IPS），代数证明系统最近提出的Grochow和Pitassi，其中的电路，包括证明来自各种限制代数电路类。这模仿了一个既定的研究方向，在布尔设置子系统的扩展弗雷格证明，证明线是电路从限制布尔电路类。除了一个，本文考虑的所有子系统都可以模拟研究充分的零星证明系统，在此之前，没有已知的下限时，测量证明大小的多项式的代数复杂性（除了相对于度，或稀疏性）。我们给出了两个一般的方法转换某些代数下界证明复杂性。我们的方法需要更强的概念下界，下界多项式以及整个家庭的多项式定义。我们的技术让人想起现有的方法转换成相关的证明复杂性的结果，如可行的插值布尔电路下界。我们获得了各种类别（稀疏多项式，深度3幂公式，只读一次遗忘代数分支程序和多线性公式）的相关类型的下界，并推断出相关的证明复杂性结果。我们补充我们的下限给出简短的反驳以前研究的子集和公理使用IPS子系统，使我们能够得出结论，这些子系统之间的严格分离。
2016-06-16 cs.CC cs.LO math.LO
