Quasipolynomial-time Identity Testing of Non-Commutative and Read-Once Oblivious Algebraic Branching Programs
研究了代数分支程序（ABPs）的确定性黑盒多项式身份测试算法（PIT）问题。这个类有一个确定性的白盒多项式身份测试算法（由于Raz和Shpilka），但在此之前，没有已知的黑盒算法。本文的主要结果给出了这类S型电路的第一个拟多项式型命中集，当变量的阶数已知时。由于我们的命中集的大小为exp（lg^2 S），这类似于（在布尔伪随机性的术语中）lg^2 S的种子长度，这是Nisan和Impagliazzo-Nisan-Wigderson的伪随机生成器的种子长度，用于只读不经意布尔分支程序。对于有界宽度的分支规划，我们的结果更强，这里我们给出了一个大小为exp（lg^2 S/lglg S）的命中集，对应于lg^2 S/lglg S的种子长度。这与已知的有界宽度的只读不经意布尔分支程序的结果形成鲜明对比，其中没有种子长度为o（lg^2 S）的伪随机生成器（或命中集）是已知的。在后续的工作中，我们加强了Mulmuley的结果，并表明，去随机化的Noether归一化引理的一个特定的情况下，可减少到黑盒PIT的只读一次遗忘的ABP。利用目前的工作结果，这给出了一个去随机化的诺特正规化在这种情况下，Mulmuley澄清将困难，由于其关系的问题，代数几何。我们还表明，其他几个电路类可以黑盒减少到只读一次不经意的ABP，包括集多线性ABP（深度3集多线性公式的推广），非交换ABP（推广非交换公式），（…
2013-09-22 cs.CC
Degree-restricted strength decompositions and algebraic branching programs
我们分析了Kumar最近的二次代数分支程序大小下限证明方法（CCC 2017）。我们提出了一种改进的方法，在某些情况下，提供更好的界限。下界依赖于由齐次多项式定义的超曲面上的Noether-Lefschetz型条件。在我们提供的显式例子中，借助于经典的交集理论证明了下界。此外，我们使用类似的方法，以改善已知的下限方法的切片秩的多项式。我们考虑了一系列的多项式，已研究过的Shioda，并表明，这些多项式的改进的下限匹配已知的上限。
2022-08-25 cs.CC math.AG
Determinants vs. Algebraic Branching Programs
本文证明常数次数齐次多项式的行列式复杂度与代数分支程序复杂度仅相差常数因子，从而将 ABP 超线性下界与行列式复杂度下界这两个开放问题联系起来。
2023-08-08 cs.CC
A Quadratic Lower Bound for Algebraic Branching Programs and Formulas
我们证明了任何代数分支程序（ABP）计算多项式$\sum_{i = 1}^n x_i^n$至少有$Ω(n^2)$顶点。这改进了$Ω(n\log n)$的下界，它遵循Baur和Strassen的经典结果[Str 73，BS 83]，并扩展了[K19]中的结果，该结果显示了计算相同多项式的\emph{homogeneous} ABP的二次下界。我们的证明依赖于一个概念的深度减少，这是让人想起类似的声明中的矩阵刚度的上下文中，并表明，任何足够小的ABP计算多项式$\sum_{i=1}^n x_i^n$可以深度减少到基本上是一个均匀的ABP相同大小的计算多项式$\sum_{i = 1}^n x_i^n + ε(x_1, \ldots, x_n)$，一个结构化的“错误多项式”$ε(x_1, \ldots, x_n)$。为了完成证明，我们观察到[K19]中的下界足够稳健，并且继续对所有多项式$\sum_{i = 1}^n x_i^n + ε(x_1, \ldots, x_n)$成立，其中$ε(x_1, \ldots, x_n)$具有适当的结构。我们还使用我们的想法，以显示$Ω(n^2)$的大小的代数公式计算的$0.1n$度$n$变量的初等对称多项式的下限。这是对$Ω(n^2/\log n)$ [Nec 66，K85，SY 10]的先前最佳已知公式下限（针对不同多项式证明）的略微改进。有趣的是，…
2020-03-18 cs.CC
Deterministic Black-Box Identity Testing $π$-Ordered Algebraic Branching Programs
在本文中，我们研究了代数分支程序（ABP）的顺序和变量的读取次数的限制。给定$n$变量的置换$π$，对于$π$排序的ABP（$π$-OABP），对于从源到宿的任何有向路径$p$，变量可以在$p$上最多出现一次，并且变量在$p$上出现的顺序必须遵守$π$。如果任何变量在$A$中最多出现$r$次，则ABP $A$被称为读$r$。我们的主要结果涉及到身份测试问题。在任何字段$F$和黑盒模型中，即只给出对多项式的查询访问，我们有以下结果：读取$r$ $π$ -OABP可计算多项式可以在$\DTIME[2^{O(r\log r \cdot \log^2 n \log\log n)}]$中测试。我们的下一组结果研究了OABP的计算限制。它表明，任何OABP计算行列式或永久需要大小$Ω(2^n/n)$和读取$Ω(2^n/n^2)$。我们给出了一个多线性多项式$p$在$2n+1$变量在一些特定的选择领域$G$，使任何OABP计算$p$必须读取一些变量至少$2^n$倍。我们表明，在$n$变量的程度$r$的基本对称多项式可以计算的大小$O(rn)$读取$r$ OABP，但不是由读取$(r-1)$ OABP，任何$0 < 2r-1 \leq n$。最后，我们给出了一个多项式$p$和两个变量阶数$π\neq π'$的例子，使得$p$可以由一次读取的$π$-OABP计算，但是其中任何计算$p$的$π'$-O…
2010-02-07 cs.CC
A Lower Bound for Read-Once Parity Branching Programs
Efi Arazi School of Computer Science, Reichman University（埃菲·阿拉齐计算机科学学院，雷希曼大学）
研究计算n个变量显式布尔函数的一次读取奇偶分支程序的下界，通过简化问题到代数电路复杂度的下界，得到\(\tilde{\Omega}(n^2)\)的下界，优于之前的\(\tilde{\Omega}(n^{1.5})\)。
2026-07-08 cs.CC
On Closure Properties of Read-Once Oblivious Algebraic Branching Programs
本文研究了只读一次非代数分支程序（roABPs）在因式分解、幂运算和对称复合下的非闭包性质，通过基于扩展图构造困难多项式等方法，揭示了其与代数电路等已知模型在闭包性上的差异。
2025-09-12 cs.CC cs.DM
On Efficient Noncommutative Polynomial Factorization via Higman Linearization
本文提出一种随机多项式时间算法，利用Higman线性化将非交换代数分支程序转换为线性矩阵，进而实现非交换多项式的因式分解，输出各不可约因子。
2025-05-24 cs.CC
Circuit Lower Bounds, Help Functions, and the Remote Point Problem
我们调查的权力代数分支程序（ABP）增强帮助多项式，和恒定深度的布尔电路增强帮助功能。我们将这两个模型中证明显式下界的问题与远程点问题（由Alon、Panigrahy和Yekhanin（RANDOM '09）引入）联系起来。更确切地说，证明下界的ABP与帮助多项式有关的远程点问题w.r.t.的秩度量，并为帮助功能的恒定深度电路，它是有关的远程点问题w.r.t.海明度量。对于代数分支程序的帮助多项式与一定程度的限制，我们显示指数大小的下界显式多项式。
2009-11-23 cs.CC
VP, VNP and Algebraic Branching Programs over Min-Plus Semirings
IIT Gandhinagar（印度理工学院甘地纳加尔分校）；IIT Madras（印度理工学院马德拉斯分校）
本文研究了最小-加半环上电路的计算能力与限制，定义了VNP类，并展示了常宽ABP在计算最小权2边匹配时的局限性及与VNP的关系。
2026-05-10 cs.CC
On Explicit Branching Programs for the Rectangular Determinant and Permanent Polynomials
本文从参数化复杂度的角度研究了一些著名多项式族的运算电路复杂性。我们主要研究了\emph{rectangular}符号矩阵的行列式和永久多项式在交换和非交换条件下的显式代数分支程序（ABP）的构造.有以下主要結果: 1.本文给出了$k\times n$符号矩阵的非交换永久多项式的一个显式$O^{*}({n\choose {\downarrow k/2}})$大小的ABP构造.我们通过一个显式的ABP构造得到了$S_{n,k}^*$的大小为$O^{*}({n\choose {\downarrow k/2}})$，它是初等对称多项式$S_{n,k}$的非交换对称化版本。2.我们得到了$k\times n$符号矩阵的可交换矩形行列式多项式的一个显式$O^{*}(2^k)$ -规模ABP构造. 3.相反，我们证明了计算有理矩阵上的矩形非交换行列式是$W[1]$ -hard的。
2019-08-22 cs.CC
An Unconditional Barrier for Proving Multilinear Algebraic Branching Program Lower Bounds
本文证明了多线性代数分支程序下界证明中min-partition rank方法的局限性，指出需要新的技术来区分mVBP与多线性层次中的更高类。
2026-05-11 cs.CC math.CO math.PR
Arithmetic Circuits and the Hadamard Product of Polynomials
受矩阵的Hadamard积的启发，本文定义了多元多项式的Hadamard积，并研究了它的运算电路和分支程序的复杂性。我们还提供了多项式身份测试的应用程序和连接。我们的主要结果如下。1.我们表明，非交换多项式身份测试代数分支程序的有理数是完整的对数空间计数类$\ceql$，并在领域的特征$p$的问题是在$\ModpL/\Poly$。2.给出了Raz-Yehudayoff多项式表示为两个单调多线性多项式的Hadamard积的指数下界。相比之下，恒量可以表示为两个二次型单调多线性公式的Hadamard乘积。
2009-07-23 cs.CC
Algebraic Pseudorandomness in $VNC^0$
本文研究 $VNC^0$ 可计算的击中集生成器，给出无条件及条件构造以击中常数深度算术电路、算术公式和算术分支程序，并由此推导出几何理想证明系统子系统的下界，核心创新在于用电路复杂度下界替代次数下界来保证正确性。
2025-05-15 cs.CC
A primer on the closure of algebraic complexity classes under factoring
University of Regensburg（雷根斯堡大学）；IIT Kanpur（坎普尔印度理工学院）；ITU Copenhagen（哥本哈根工业大学）
本文综述多项式因式分解中Hensel提升、牛顿迭代和拉格朗日反演等关键技术，分析VP、VNP等代数复杂度类在因式分解下的封闭性，并指出未解决问题。
2026-06-11 cs.CC
Subexponential Size Hitting Sets for Bounded Depth Multilinear Formulas
本文给出了有界深度多重线性算术公式的次指数大小的碰集。利用已知的黑盒PIT和下界之间的关系，我们得到这些模型的下界。对于深度为3的多重线性公式，给出了一个大小为$\exp(n^δ)$的碰集.这意味着深度为3的多重线性公式的$\exp(\tildeΩ(n^{1/2}))$的一个下界，对于某些显式多项式。对于深度为4的多重线性公式，给出了一个大小为$\exp(n^δ)$的碰集.这意味着对于某些显式多项式，深度为4的多线性公式的$\exp(\tildeΩ(n^{1/4}))$的下界。常规公式由交替的$+,\times$栅极层组成，其中层$i$上的所有栅极具有相同的扇入。对于大小为$\exp(n^δ)$的正则深度- $d$多线性公式，我们给出了一个大小（大致）为$\exp\left(n^{1- δ} \right)$的碰集，其中$δ= O(\frac{1}{\sqrt{5}^d})$ .该结果意味着对于这样的公式，下限大致为$\exp(\tildeΩ(n^{\frac{1}{\sqrt{5}^d}}))$。我们注意到，这些模型有更好的下界，但这些下界都不是通过构造击中集来实现的。此外，没有下限，这意味着这样的PIT结果，即使在白盒模型，目前已知的。我们的结果本质上是组合的，并且依赖于减少基础公式，首先是深度4公式，然后是只读代数分支程序（从深度3公式我们直接到只读代数分支程序）。
2014-11-27 cs.CC
Lower Bounds for Special Cases of Syntactic Multilinear ABPs
代数分支程序（ABP）是计算多项式的标准模型。句法多线性ABP（smABP）是ABP的限制，其中每个变量被允许在从开始到结束节点的每条路径中最多出现一次。在代数复杂性理论中，证明句法多线性ABPs的下界一直是一个具有挑战性的问题。目前最知名的界限只有二次[Alon-Kumar-Volk，ECCC 2017]。在这篇文章中，我们开发了一种新的方法上界的语法多线性ABP的偏导矩阵的秩：转换ABP的语法多线性公式与超多项式的大小爆破，然后利用所得到的公式的结构限制，以获得一个秩上界。使用这种方法，我们证明指数下界的特殊情况下的smABP和电路-即不经意的只读一次ABP，r-通过多线性ABP和稀疏ROABP的总和。同时，我们还证明了一类特殊的句法多线性算术电路的超多项式下界。
2018-04-24 cs.CC
Discovering the roots: Uniform closure results for algebraic classes under factoring
牛顿迭代（NI）是一个有着近350年历史的递归公式，它可以非常快速地近似多项式的简单根。我们将其推广到同时逼近所有根的矩阵递归（allRootsNI）。在这种形式中，当根$r$的数量很小但多重性指数很大时，该过程产生更好的电路复杂度。我们的方法在$r$未知数中建立一个线性系统，并迭代地将根建立为形式幂级数。对于一个代数电路$f(x_1,\ldots,x_n)$的大小$s$，我们证明了每个因素的大小最多一个多项式：$s$和程度的平方部分$f$。因此，如果$f_1$是一个$2^{Ω(n)}$ -硬多项式，那么任何非零的多个$\prod_{i} f_i^{e_i}$对于任意正的$e_i$都是同样硬的，假设$\sum_i \text{deg}(f_i)$至多是$2^{O(n)}$ .这是一个古老的开放性问题，无论是聚（$n$）大小的公式类（分别。代数分支程序）在因子分解下是封闭的。我们证明了给定一个次数为$n^{O(1)}$的多项式$f$和公式（分别为. ABP）大小$n^{O(\log n)}$我们可以找到一个类似的大小公式（分别为。随机聚（$n^{\log n}$）-时间中的ABP）因子。因此，如果行列式需要$n^{Ω(\log n)}$大小公式，那么它的任何非零倍数也可以这样说。作为我们的证明的一部分，我们确定了多元多项式分解的一个新的属性。我们表明，在随机线性变换$τ$，$f(τ\…
2017-10-09 cs.CC
Lower Bounds for Set-Multilinear Branching Programs
本文针对有序集合多重线性代数分支程序之和模型，在低次情形下证明了首个超多项式下界，并在多项式次数下证明了指数下界，推广了Nisan的经典结果并推进了相关研究。
2024-02-19 cs.CC
Proof Complexity Lower Bounds from Algebraic Circuit Complexity
我们给上和下界的子系统的电源的理想证明系统（IPS），代数证明系统最近提出的Grochow和Pitassi，其中的电路，包括证明来自各种限制代数电路类。这模仿了一个既定的研究方向，在布尔设置子系统的扩展弗雷格证明，证明线是电路从限制布尔电路类。除了一个，本文考虑的所有子系统都可以模拟研究充分的零星证明系统，在此之前，没有已知的下限时，测量证明大小的多项式的代数复杂性（除了相对于度，或稀疏性）。我们给出了两个一般的方法转换某些代数下界证明复杂性。我们的方法需要更强的概念下界，下界多项式以及整个家庭的多项式定义。我们的技术让人想起现有的方法转换成相关的证明复杂性的结果，如可行的插值布尔电路下界。我们获得了各种类别（稀疏多项式，深度3幂公式，只读一次遗忘代数分支程序和多线性公式）的相关类型的下界，并推断出相关的证明复杂性结果。我们补充我们的下限给出简短的反驳以前研究的子集和公理使用IPS子系统，使我们能够得出结论，这些子系统之间的严格分离。
2016-06-16 cs.CC cs.LO math.LO
Near-Optimal Bootstrapping of Hitting Sets for Algebraic Models
本文证明代数电路、公式和代数分支程序的 PIT 只需常数元情形下微小非平凡击中集改进，即可自助提升到近完全去随机化。
2024-12-05 cs.CC
Simple Linear Loops: Algebraic Invariants and Applications
本文提出一种多项式空间算法计算简单线性循环的最强代数不变量，并探讨了其在不变量验证与循环综合中的应用及复杂度。
2024-11-13 cs.CC math.AG
