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射影空间中的一般线与Koszul性质

Generic Lines in Projective Space and the Koszul Property

Joshua A. Rice

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摘要：

本文研究了$\mathbb{P}^n$中一般直线集的齐次坐标环和$\mathbb{P}^n.$中一般线性位置上的直线集的齐次坐标环的Koszul性质，证明了如果$\mathcal{M}$是$\mathbb{P}^n$中一般线性位置上的$m$直线集，且$2m \leq n+1$和$R$是$\mathcal{M},$的坐标环，则$R$是Koszul.此外，如果$\mathcal{M}$是$\mathbb{P}^n$中的$m$行的通用集合，并且$R$是$\mathcal{M}$的坐标环，其中$m$是偶数，并且$m +1\leq n$或$m$是奇数，并且$m +2\leq n,$，则$R$是Koszul。最后，我们表明，如果$\mathcal{M}$是一个通用的集合的$m$行，使\[ m > \frac{1}{72}\left(3(n^2+10n+13)+\sqrt{3(n-1)^3(3n+5)}\right),\]，然后$R$不是Koszul。给出了$n \leq 6$或$m \leq 6$的一组通用线的坐标环的Koszul性质的完整刻画。我们还确定了一般直线集的坐标环的Castelnuovo-Mumford正则性和一般线性位置的直线集的坐标环的投影维数。

英文摘要：

In this paper, we study the Koszul property of the homogeneous coordinate ring of a generic collection of lines in $\mathbb{P}^n$ and the homogeneous coordinate ring of a collection of lines in general linear position in $\mathbb{P}^n.$ We show that if $\mathcal{M}$ is a collection of $m$ lines in general linear position in $\mathbb{P}^n$ with $2m \leq n+1$ and $R$ is the coordinate ring of $\mathcal{M},$ then $R$ is Koszul. Further, if $\mathcal{M}$ is a generic collection of $m$ lines in $\mathbb{P}^n$ and $R$ is the coordinate ring of $\mathcal{M}$ with $m$ even and $m +1\leq n$ or $m$ is odd and $m +2\leq n,$ then $R$ is Koszul. Lastly, we show if $\mathcal{M}$ is a generic collection of $m$ lines such that \[ m > \frac{1}{72}\left(3(n^2+10n+13)+\sqrt{3(n-1)^3(3n+5)}\right),\] then $R$ is not Koszul. We give a complete characterization of the Koszul property of the coordinate ring of a generic collection of lines for $n \leq 6$ or $m \leq 6$. We also determine the Castelnuovo-Mumford regularity of the coordinate ring for a generic collection of lines and the projective dimension of the coordinate ring of collection of lines in general linear position.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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