arXiv 2203.015922022-03math.PR

连续时间青蛙模型的爆炸与非爆炸

Explosion and non-explosion for the continuous-time frog model

Viktor Bezborodov, Luca Di Persio, Peter Kuchling

备注：: Further examples and discussion are added; the proofs in section 5 are expanded significantly; minor changes, fixes, corrections, and improvements

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AI总结：

本文研究 $\mathbb{Z}$ 上连续时间青蛙模型的爆炸判据，通过与完全非对称离散非齐次 Boolean 渗流比较，给出保证爆炸与非爆炸的初始粒子数分布条件。

摘要：

我们考虑 $\mathbb{Z}$ 上的连续时间青蛙模型。在时刻 $t=0$，每个 $x\in\mathbb{Z}$ 处有 $η(x)$ 个粒子，每个粒子由一个随机变量表示。具体而言，$(η(x))_{x\in\mathbb{Z}}$ 是一族独立随机变量，具有共同分布 $μ$，且 $μ(\mathbb{Z}_+)=1$。原点处的粒子是活跃的，其他所有粒子均被假定为休眠或睡眠状态。活跃粒子在 $\mathbb{Z}$ 上执行简单对称连续时间随机游走（即跳跃时刻服从 $\exp(1)$ 分布，并以概率 $1/2$ 分别跳跃 $-1$ 和 $1$ 的随机游走），且独立于所有其他粒子。睡眠粒子保持静止，直到活跃粒子首次到达其位置；一旦有活跃粒子到达，它们就变为活跃状态，并开始自身的简单随机游走。本文给出了不同的条件集合，分别保证连续时间青蛙模型发生爆炸与不发生爆炸。我们的结果特别表明，如果 $μ$ 是 $e^{Y\ln Y}$ 的分布，其中 $Y$ 为非负随机变量且满足 $\mathbb{E}Y<\infty$，则几乎必然不发生爆炸。另一方面，如果 $a\in(0,1)$，且 $μ$ 是 $e^X$ 的分布，其中对 $t\geq1$ 有 $\mathbb{P}\{X\geq t\}=t^{-a}$，则几乎必然发生爆炸。证明依赖于与一种渗流模型的某种比较，我们将该模型称为完全非对称离散非齐次 Boolean 渗流。

英文摘要：

We consider the continuous-time frog model on $\mathbb{Z}$. At time $t = 0$, there are $η(x)$ particles at $x\in \mathbb{Z}$, each of which is represented by a random variable. In particular, $(η(x))_{x \in \mathbb{Z} }$ is a collection of independent random variables with a common distribution $μ$, $μ(\mathbb{Z}_+) = 1$. The particles at the origin are active, all other ones being assumed as dormant, or sleeping. Active particles perform a simple symmetric continuous-time random walk in $\mathbb{Z} $ (that is, a random walk with $\exp(1)$-distributed jump times and jumps $-1$ and $1$, each with probability $1/2$), independently of all other particles. Sleeping particles stay still until the first arrival of an active particle to their location; upon arrival they become active and start their own simple random walks. Different sets of conditions are given ensuring explosion, respectively non-explosion, of the continuous-time frog model. Our results show in particular that if $μ$ is the distribution of $e^{Y \ln Y}$ with a non-negative random variable $Y$ satisfying $\mathbb{E} Y < \infty$, then a.s. no explosion occurs. On the other hand, if $a \in (0,1)$ and $μ$ is the distribution of $e^X$, where $\mathbb{P} \{X \geq t \} = t^{-a}$, $t \geq 1$, then explosion occurs a.s. The proof relies on a certain type of comparison to a percolation model which we call totally asymmetric discrete inhomogeneous Boolean percolation.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

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