A greedy MOR method for the tracking of eigensolutions to parametric elliptic PDEs
本文介绍了一种基于稀疏网格自适应加密的椭圆型偏微分方程参数问题特征解的近似算法。特别是，我们感兴趣的是检测交叉的超曲面描述的特征值作为参数的函数。先验匹配之后是后验验证，由适当定义的错误指示器驱动。在给定的细化级别上，通过使用后验指示符给出的标记，采用稀疏网格方法来构建下一级别的网格。各种数值试验证实了该方案的良好性能。
2022-10-18 cs.NA math.NA
Solving High-dimensional Parametric Elliptic Equation Using Tensor Neural Network
本研究提出基于张量神经网络的机器学习方法，利用张量积结构将高维积分降为一维积分，把计算复杂度从指数级降至多项式级，可高效求解高维参数椭圆方程，数值算例验证了其准确性与效率。
2024-01-15 cs.NA math.NA
Sparse and low-rank approximations of parametric elliptic PDEs: the best of both worlds
本文提出一种结合低秩张量逼近与稀疏多项式展开的新格式，用于高效求解参数化椭圆型PDE，并设计了保持准最优秩与最优收敛速度的自适应求解器。
2025-06-24 cs.NA math.NA
Kolmogorov widths and low-rank approximations of parametric elliptic PDEs
研究了参数椭圆扩散PDEs的Kolmogorov n-宽度和低秩近似，证明在扩散系数为分段常数时，n-宽度衰减更快，从而为减少基底或POD方法的快速收敛提供理论依据。
2015-02-10 cs.NA math.NA
Graded Parametric CutFEM and CutIGA for Elliptic Boundary Value Problems in Domains with Corners
本文提出了一种参数化割有限元方法，用于具有棱角的椭圆边界值问题，通过在边界附近控制解的高阶导数，实现最优阶的能量范数和L2范数的收敛性。
2019-04-30 cs.NA math.NA
Collocation approximation by deep neural ReLU networks for parametric elliptic PDEs with lognormal inputs
我们得到了深度ReLU神经网络对对数正态输入椭圆偏微分方程解的配置逼近的收敛速度，由非紧集$\mathbb{R}^\infty$的$\boldsymbol{y}$参数化。近似误差在Bochner空间$L_2(\mathbb{R}^\infty, V, γ)$的范数中测量，其中$γ$是$\mathbb{R}^\infty$上的无限张量积标准高斯概率测度，而$V$是能量空间。我们也得到了类似的结果的情况下，当对数正态输入参数化$\mathbb{R}^M$非常大的尺寸$M$，和近似误差测量的$\sqrt{g_M}$加权均匀范数的Bochner空间$L_\infty^{\sqrt{g}}(\mathbb{R}^M, V)$，其中$g_M$是密度函数的标准高斯概率测量$\mathbb{R}^M$。
2022-12-06 cs.NA math.NA
An overlapping domain decomposition method for the solution of parametric elliptic problems via proper generalized decomposition
提出一种非侵入式PGD与重叠DD结合的方法，通过低维边界参数和代数化Schwarz粘合，实现参数化椭圆问题的实时代理建模，数值验证其高精度与鲁棒性。
2023-09-26 cs.NA math.NA
Goal-oriented error estimation and adaptivity for elliptic PDEs with parametric or uncertain inputs
University of Birmingham（伯明翰大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文提出了一种高效的自适应算法，用于近似由具有参数或不确定输入的椭圆偏微分方程（PDEs）解导出的线性量。该算法结合了随机格子有限元方法（sGFEM）来近似依赖于可数无限多个不确定参数的原问题和对偶问题，并通过创新策略指导自适应细化，结合原问题和对偶问题的空间和参数组件的误差减少指标。理论关键在于一个新的两级后验能量误差估计，证明其可靠且高效。
2018-11-19 cs.NA math.NA
Sparse-grid polynomial interpolation approximation and integration for parametric and stochastic elliptic PDEs with lognormal inputs
本文提出稀疏网格多项式插值方法用于参数和随机椭圆偏微分方程的lognormal输入，改进了非全离散收敛率。
2026-01-03 cs.NA math.NA
Parametric elliptic reconstructions and a posteriori error estimates for parabolic partial differential equations with small randomness in a Robin boundary condition
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）
针对Robin边界条件含小随机性的抛物型偏微分方程，采用摄动法转化为确定性问题，结合有限元与向后欧拉离散，引入参数椭圆重构算子得到鲁棒后验误差估计。
2026-06-25 cs.NA math.NA
Parametric holomorphy of elliptic eigenvalue problems
本文提出利用参数导数界验证参数全纯性的通用框架，并在线性与半线性椭圆特征值问题中证明基态特征对的全纯性及混合导数界，为深度神经网络和拟蒙特卡洛方法提供理论基础。
2025-02-06 cs.NA math.AP math.NA
Kernel-based Greedy Approximation of Parametric Elliptic Boundary Value Problems
University of Stuttgart（斯图加特大学）；LMU Munich（慕尼黑大学）；Ca’ Foscari University of Venice（威尼斯卡福斯卡里大学）
本文提出了一种基于核方法的贪心逼近方案，针对参数椭圆边值问题实现指数收敛，扩展了参数PDE的逼近方法，并展示了其在复杂几何参数化、移动源和高维域中的高效性。
2025-07-09 cs.NA math.NA
Linear collective collocation and Galerkin approximations for parametric and stochastic elliptic PDEs
Information Technology Institute, Vietnam National University, Hanoi（越南国立大学河内信息技术研究所）
本文研究参数椭圆问题的近似方法，探讨在不同条件下线性集体列点和伽辽金方法的收敛性，证明其在高维参数空间中不产生维度诅咒。
2017-05-11 cs.NA math.NA
Solving parametric elliptic interface problems via interfaced operator network
提出界面算子网络（IONet）求解参数化椭圆界面偏微分方程，通过划分子域、多分支与主干网络及定制物理信息损失函数，在无需内部配对数据下实现了优于现有方法的准确性与通用性。
2024-06-27 cs.NA math.NA
Sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs. Part I: affine coefficients
研究仿射参数下椭圆PDE的稀疏多项式逼近，改进了已有估计，考虑了系数的结构特性，并通过数值实验验证新界的有效性。
2016-06-23 cs.NA math.AP math.NA
Exploiting locality in sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs and application to parameterized domains
本研究针对椭圆偏微分方程的参数化问题，提出采用局部支撑函数的表示方式，通过逐点界证明泰勒系数的ℓᵖ可和性，应用于参数化域问题可获更高收敛率，且方法可推广至其他类型PDE。
2023-08-11 cs.NA math.AP math.NA
An $r$-adaptive finite element method using neural networks for parametric self-adjoint elliptic problem
本文提出一种基于神经网络的r-自适应有限元方法，以Ritz能量泛函为损失函数优化网格节点位置，用于求解参数化自伴随椭圆问题，并在参数化Poisson问题上验证了有效性。
2025-06-29 cs.NA math.NA
Multilevel quadrature for elliptic parametric partial differential equations in case of polygonal approximations of curved domains
Universität Bonn（波恩大学）；Fraunhofer Institute for Algorithms and Scientific Computing (SCAI)（弗劳恩霍夫算法与科学计算研究所）；Universität Basel（巴塞尔大学）；Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）
本文研究了在曲线域多边形近似情况下，利用多重级次求积方法高效求解椭圆参数偏微分方程的问题，通过稀疏张量积近似空间变量与参数之间的关系，提出了一种基于稀疏网格构造的反向多重级次求积方法，并分析了多边形近似对物理域的影响及双线性形式的数值近似。
2018-12-31 cs.NA math.NA
Sparsity for parametric PDEs with log-gamma random inputs and applications
Vietnam National University, Hanoi（越南国立大学河内分校）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；University of Transport and Communications（交通科技大学）
本文提出了一种新方法，用于确定参数椭圆偏微分方程在对数伽玛输入下的Laguerre广义多项式混沌展开系数的稀疏性，并推导了参数变量半离散近似方案的收敛速率。
2026-03-16 cs.NA math.NA
Cut Finite Element Methods for Elliptic Problems on Multipatch Parametric Surfaces
Umeå University（于默奥大学）
本文提出了一种用于参数曲面上拉普拉斯-贝特拉米算子的有限元方法，通过结构化网格生成张量积网格，并利用Nitsche方法和一致稳定项处理切割元素，同时给出了能量和L²范数的先验估计及数值验证。
2017-06-22 cs.NA math.NA
Fully discrete approximation of parametric and stochastic elliptic PDEs
本文研究了参数和随机椭圆偏微分方程的完全离散近似，通过结合空间和参数近似性，利用Taylor、Jacobi和Hermite展开，获得收敛率与总自由度相关的近似结果。
2017-07-09 cs.NA math.AP math.NA
Analysis of the Decoder Width for Parametric Partial Differential Equations
本文对求解参数化偏微分方程的降阶模型 Meta-Auto-Decoder (MAD) 的解码器宽度进行理论分析，估计了多类方程解集的解码器宽度上界，证明了其快速衰减率及解决复杂问题的潜力。
2023-06-26 cs.NA math.NA
Nonlinear elliptic homogenization with the parametric Deep Ritz method
Smead Aerospace Engineering Sciences（斯米德航空航天工程科学学院）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出参数化深度Ritz方法求解非线性椭圆均匀化中的参数化单元问题，提供连续可微的单元响应表示，显著加速宏观尺度求解。
2026-09-09 cs.LG cs.NA math.NA
Spectral element methods for boundary-value problems of functional differential equations
University of Udine（乌迪内大学）；University of Exeter（埃克塞特大学）
本文证明谱元方法对泛函微分方程周期边值问题收敛，解析解时误差指数衰减，并引入扩展局部 Lipschitz 连续性处理状态依赖延迟情形。
2026-09-17 cs.NA math.NA
Error analysis for finite element operator learning methods for solving parametric second-order elliptic PDEs
KAIST（韩国科学技术院）；Inha University（仁荷大学）；Chung-Ang University（中央大学）
本文对有限元算子网络（FEONet）求解参数化二阶椭圆型偏微分方程进行了理论误差分析，建立了收敛性结果和自伴情形的显式误差估计，并通过数值实验验证了有限元矩阵条件数对收敛性的影响。
2024-04-27 cs.LG cs.NA math.NA
Multi-level higher order QMC Galerkin discretization for affine parametric operator equations
University of New South Wales（新南威尔士大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出一种结合高阶准蒙特卡洛求积与一般Petrov-Galerkin离散化的多级算法，分析其收敛性，适用于椭圆和抛物型参数算子方程，探讨高阶导数对收敛结果的影响，并通过数值实验验证理论结果。
2015-08-09 cs.NA math.NA
$\varepsilon$-dimension in infinite dimensional hyperbolic cross approximation and application to parametric elliptic PDEs
Vietnam National University, Hanoi（越南国家大学河内分校）；Bonn University（波恩大学）；Fraunhofer Institute for Algorithms and Scientific Computing SCAI（弗劳恩霍夫算法与科学计算研究所 SCAI）；College of Science, Vietnam National University, Hanoi（越南国家大学河内分校理学院）
本文研究了在Hilbert空间张量积中的逼近问题，通过$\varepsilon$-维度分析，得出了Sobolev-分析型函数类的精确界，展示了无限维分析逼近问题的成本主要由有限维Sobolev逼近问题决定。
2017-03-01 cs.NA math.NA
Sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs. Part II: lognormal coefficients
研究对数正态形式扩散系数的椭圆PDEs的Hermite多项式展开的ℓ^p求和性质，改进了最佳n项截断Hermite展开的逼近率估计。
2015-09-23 cs.NA math.AP math.NA
Physics-informed low-rank neural operators with application to parametric elliptic PDEs
提出物理信息低秩神经算子PILNO，结合低秩核近似与编码器-解码器架构，在点云上高效逼近PDE解算子，通过物理信息惩罚训练确保约束满足，适用于多种参数化椭圆型PDE问题。
2025-09-09 cs.NA math.NA physics.comp-ph
The Gevrey class implicit mapping theorem with application to UQ of semilinear elliptic PDEs
本文建立 Gevrey 类隐映射定理，证明残差的 $s$-Gevrey 正则性可推出局部数据到解映射 Fréchet 导数的 $s$-Gevrey 界，并用于半线性椭圆型 PDE 的不确定性量化。
2023-10-02 cs.NA math.AP math.NA
Analysis of a high order unfitted finite element method for elliptic interface problems
University of Göttingen（哥廷根大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本文提出一种高阶非适应有限元方法，用于解决由光滑水平集函数隐式描述的领域问题，通过参数映射实现高阶几何近似，并通过先验误差分析验证了方法的最优收敛性。
2017-06-25 cs.NA math.NA
Finite Element Operator Network for Solving Elliptic-type parametric PDEs
Inha University（仁荷大学）；Chung-Ang University（中央大学）
本文提出融合深度学习与有限元法的FEONet，在无需成对训练数据的情况下求解椭圆型参数化PDEs，并通过基准实验和收敛分析验证其精度、泛化性与计算灵活性。
2025-02-19 cs.AI cs.LG cs.NA
A locally conservative reduced flux reconstruction for elliptic problems
Mathematics Münster（明斯特大学数学系）
本文提出了一种在参数椭圆问题降阶建模中重建符合通量的方法，该方法在底层有限元网格上局部保守，且各组件独立于参数，适用于离线/在线分解计算，如后验误差估计或流体问题。
2019-03-21 cs.NA math.NA
On the convergence of adaptive stochastic collocation for elliptic partial differential equations with affine diffusion
证明了有限维仿射系数定常参数扩散方程的自适应配置法的收敛性。自适应算法依赖于最近推出的残差为基础的可靠的后验误差估计。对于收敛性证明，最近使用的一个策略随机Galerkin方法与分层误差估计转移到配置设置。扩展到自适应配置法的其他变体（包括T. Gerstner和M.葛里贝尔）进行了探索。
2021-06-16 cs.NA math.NA
Neural Shape Operator Surrogates -- Expression Rate Bounds
Christoph Schwab, Seminar for Applied Mathematics, ETH Z\"urich, R\"amistrasse 101, 8092 Z\"urich, Switzerland
本文研究了偏微分方程和边界积分方程解算子的近似算子的误差界，通过仿射参数化形状编码将PDE映射到参考域，证明了参数化解族的well-posed性，并构建了神经和谱算子近似。
2026-04-20 cs.LG cs.NA math.NA
Uniform shift estimates for transmission problems and optimal rates of convergence for the parametric Finite Element Method
Wayne State University（韦恩州立大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Shaanxi Normal University（陕西师范大学）
针对参数化椭圆边值/传输问题，建立了在破碎加权Sobolev空间中的均匀移位定理，并由此导出了基于多项式混沌展开的Galerkin近似的h^m-拟最优收敛速率。
2012-12-27 cs.NA math.AP math.NA
Multi-level quasi-Monte Carlo finite element methods for a class of elliptic partial differential equations with random coefficients
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）；Seminar for Applied Mathematics, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院应用数学研究所）
针对随机系数椭圆型PDE的期望值计算，提出结合多层有限元离散与拟蒙特卡洛采样的算法，通过层级依赖的维度截断和POD权重实现误差O(h^2)或O(N^{-1+δ})，总工作量接近一次细网格PDE求解。
2014-05-15 cs.NA math.AP math.NA
Hierarchical model reduction driven by machine learning for parametric advection-diffusion-reaction problems in the presence of noisy data
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）
我们提出了一种新的方法来产生一个可靠的降阶模型的参数椭圆问题，在存在噪声的数据。参考模型降阶过程是定向HiPOD方法，该方法根据离线/在线范例将分层模型降阶与标准本征正交分解相结合。在本文中，我们表明，定向HiPOD损失的准确性时，问题数据受到噪声的影响。这是由于插值驱动在线阶段，因为它复制了噪声趋势。为了克服这一限制，我们用机器学习拟合模型代替插值，更好地区分数据中的相关物理特征和不相关的非结构化噪声。数值评估虽然是初步的，但证实了新方法的潜力。
2022-04-01 cs.LG cs.NA math.NA
