关于 Hilbert 概形有理上同调的生成元与关系
On Generators and Relations of the Rational Cohomology of Hilbert Schemes
AI总结：
本文研究 $\operatorname{Hilb}^d(\mathbb{C}^2)$ 的有理上同调代数，给出两组含 $\lfloor d/2\rfloor$ 个元素的极小乘法生成元，刻画最低次关系，并对小 $d$ 确定极小关系集。
摘要：
对于 $d\geq1$，我们研究分次交换 $\mathbb{Q}$-代数 $\mathcal{A}(d):=H^*(\operatorname{Hilb}^d(\mathbb{C}^2);\mathbb{Q})$；通过第一作者的工作，它也与广义 Hurwitz 空间的研究相关。这些 Hurwitz 空间又与带边界 Riemann 曲面的模空间相关。我们确定了 $\mathcal{A}(d)$ 的两组不同的、各含 $\lfloor d/2\rfloor$ 个乘法生成元的极小集合。此外，我们证明了最低次数生成关系何时出现。对于较小的 $d$，我们还确定了极小生成关系集合，这引出了关于 $\mathcal{A}(d)$ 必要生成关系的若干猜想。
英文摘要：
We consider for $d\geq 1$ the graded commutative $\mathbb{Q}$-algebra $\mathcal{A}(d):=H^*(\operatorname{Hilb}^d(\mathbb{C}^2);\mathbb{Q})$, which is also connected to the study of generalised Hurwitz spaces by work of the first author. These Hurwitz spaces are in turn related to the moduli spaces of Riemann surfaces with boundary. We determine two distinct, minimal sets of $\lfloor d/2\rfloor$ multiplicative generators of $\mathcal{A}(d)$. Additionally, we prove when the lowest degree generating relations occur. For small values of $d$ we also determine a minimal set of generating relations, which leads to several conjectures about the necessary generating relations for $\mathcal{A}(d)$.
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