A neural network multigrid solver for the Navier-Stokes equations
我们提出了我们为非定常纳维-斯托克斯方程开发的深度神经网络多重网格求解器（DNN-MG）。DNN-MG使用几何多重网格求解器和具有记忆的递归神经网络的明智组合来提高计算效率。DNN-MG使用多重网格方法在粗层次上进行经典求解，而神经网络则在细层次上校正插值解，从而避免了必须在那里执行的越来越昂贵的计算。这导致通过DNN-MG的高度紧凑的神经网络减少计算时间。紧凑性的结果，从它的局部补丁和可用的粗多重网格解决方案，提供了一个“指南”的修正设计。具有少量参数的紧凑型神经网络还可以减少训练时间和数据。此外，网络的局部性有助于推广，并允许人们使用在一个网格域上训练的DNN-MG，也可以在不同的网格域上训练。我们证明了DNN-MG对障碍物周围二维层流变化的有效性。对于这些，我们的方法显着改善的解决方案，以及升降机和阻力泛函，而只需要大约一半的计算时间的一个完整的多重网格解决方案。我们还表明，DNN-MG训练的配置与一个障碍物可以推广到其他时间相关的问题，可以有效地解决使用几何多重网格方法。
2021-11-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
An adaptive space-time method for nonlinear poroviscoelastic flows with discontinuous porosities
针对初始孔隙率不连续、孔隙率与压力非线性相互作用的非定常多孔介质流动问题，提出结合Picard迭代与最小二乘公式的时空自适应数值方法，实现可计算误差界的收敛性，空间可变时间步长高效逼近局部孔隙率波解且时空自由度总数最优收敛。
2025-08-22 cs.NA math.NA
Reconstructed Discontinuous Approximation to Stokes Equation in A Sequential Least Squares Formulation
本文提出了一种新的最小二乘有限元法，用两步连续法求解Stokes问题。近似空间由每个元素一个未知数的面片重构构造。第一步，我们重建一个由迹为零的分段无卷多项式组成的逼近空间。在这个空间中，我们极小化一个最小二乘泛函，得到了速度梯度和压力梯度的数值近似。在第二步中，我们最小化另一个最小二乘泛函，在重建的分段无发散空间中给出速度的解。在L2范数和能量范数下，我们得到了所有未知量的误差估计。二维和三维的数值结果验证了方法的收敛速度和极大的灵活性。
2020-03-04 cs.NA math.NA
Least-squares formulations for Stokes equations with non-standard boundary conditions -- A unified approach
本文提出了一种求解具有各种非标准边界条件的斯托克斯方程的统一非协调最小二乘谱元方法。现有的最小二乘公式大多处理Dirichlet边界条件制定使用ADN理论为基础的正则性估计。然而，改变边界条件导致搜索满足补充和互补条件的参数[4]，这并不容易。在这里，我们避免了基于ADN理论的正则性估计，并提出了一个统一的方法来处理各种边界条件。讨论了稳定性估计和误差估计。显示指数精度的数值结果已经提出了各种边界条件的二维和三维的情况下。
2022-09-05 cs.NA math.NA
$P_1$-nonconforming divergence-free finite element method on square meshes for Stokes equations
Konkuk University（建国大学）
本文提出了一种基于方形网格的$P_1$-非协调无散有限元方法，用于求解斯托克斯方程中的速度场，该方法将速度场与压力场解耦，并通过求解更小的线性方程组快速获得压力解。
2018-11-25 cs.NA math.NA
Performance of nonconforming spectral element method for Stokes problems
本文研究了非协调最小二乘谱元方法求解Stokes问题的性能。研究了广义Stokes问题，并证明了该方法是指数精度的.本文改进了数值方法，采用了高阶谱元函数。速度和压力变量采用同阶谱元函数。采用预条件共轭梯度法有效地求解了最小二乘公式中的正规方程组。通过对曲线域上的Stokes问题、混合边界条件下的Stokes问题和\mathbb{R}^{3}中的广义Stokes问题的算例分析，验证了方法的正确性.
2021-02-11 cs.NA math.NA
A fully space-time least-squares method for the unsteady Navier-Stokes system
介绍并分析了一种适用于非定常Navier-Stokes方程的时空最小二乘方法。考虑了二维情形的弱解和三维情形的正则解。从任何初始的猜测，我们构造一个最小化序列的最小二乘功能，强收敛到一个解决方案的Navier-Stokes系统。在与粘性常数的值相关的有限次迭代之后，收敛是二次的。二维情况下的数值实验支持我们的分析。这种全局收敛的最小二乘方法与阻尼牛顿法有关，当用于通过变分公式求解Navier-Stokes系统时。
2019-09-11 cs.NA math.NA math.OC
Solving the Stokes Equations via a Least Squares Weak Galerkin Method
University of Florida（佛罗里达大学）；University of Delaware（特拉华大学）
研究在任意多边形和多面体网格上求解斯托克斯方程，提出最小二乘弱伽辽金有限元方法，利用离散弱导数适应复杂几何，绕过LBB条件转化为对称正定系统，推导最优阶误差估计，数值实验验证了收敛率。
2026-07-14 cs.NA math.NA
A stabilized Nitsche overlapping mesh method for the Stokes problem
Simula Research Laboratory（Simula 研究实验室）；Department of Mathematics, Umeå University（于默奥大学数学系）
针对重叠非匹配网格上的Stokes问题，提出一种基于Nitsche的稳定化有限元方法，通过最小二乘稳定化证明方法的稳定性、相容性和最优收敛性，并引入最小二乘项改善条件数。
2012-05-29 cs.NA math.NA
A Comparison Between Meshless Radial Basis Function Collocation Method and Finite Element Method for Solving Poisson and Stokes Problems
本文比较了有限元法与无网格径向基函数配点法求解 Poisson 和 Stokes 问题的性能，通过形状参数优化和虚拟曲面体积误差计算等技术，从精度、运行时间、条件数和实现难度等方面评估了两种方法的适用准则。
2020-12-28 cs.NA math.NA
High-Resolution Weighted Essentially Non-Oscillatory Compact Least-Squares Schemes with Implicit Time Integration for Compressible Navier-Stokes Equations on Curvilinear Grids
Ningbo University（宁波大学）；Northeast Normal University（东北师范大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文提出带隐式时间积分的高分辨率加权本质非振荡紧致最小二乘格式，用于曲线网格上可压缩Navier-Stokes方程，可高效捕获激波并在光滑区域保持高分辨率，性能优于传统格式。
2026-08-11 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Dual-Primal Isogeometric Tearing and Interconnecting methods for the Stokes problem
我们感兴趣的是一个快速求解器的线性系离散的斯托克斯问题与多补丁等几何分析。我们使用双原始等几何撕裂和互连（IETI-DP）方法。近年来，IETI-DP及其相关方法得到了广泛的研究，主要是针对Poisson问题。对于斯托克斯方程，由于相应的系统不是正定的，而是具有鞍点结构，因此出现了一些挑战。此外，具有Dirichlet边界条件的斯托克斯方程具有零空间，该零空间由常压模式组成。当考虑缩放Dirichlet预条件子时，这提出了一个挑战。我们测试了两个不同的缩放狄利克雷预条件与不同的选择原始自由度。测试是在相当简单的域（单位正方形和四分之一环）和更复杂的域（雪人足迹）上进行的。
2021-12-22 cs.NA math.NA
An $H^{-1}$ least-squares UnCut FEM on domains defined by a level set function
Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学应用数学系）
该研究针对水平集函数定义的曲边区域上的Poisson与Stokes方程，提出一种基于$H^{-1}$残差最小二乘的新型UnCut FEM，无需用户调优惩罚参数即可保证稳定性，严格证明了$H^1$范数下的最优收敛性并通过数值实验验证。
2026-08-04 cs.NA math.NA
Mean Square Temporal error estimates for the 2D stochastic Navier-Stokes equations with transport noise
本文针对带输运噪声的二维随机Navier-Stokes方程，利用噪声结构建立一致依概率估计，首次在均方误差意义下证明了时间离散化最高1/2阶的收敛速率，并通过数值模拟验证了该速率对数据相容性的敏感性。
2024-10-18 cs.NA math.AP math.NA
An optimal adaptive wavelet method for First Order System Least Squares
Korteweg-de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学科蒂赫-德弗里斯数学研究所）
本文展示任意良好设定的二阶偏微分方程可转化为一阶最小二乘系统，该系统通过最优计算复杂度的自适应小波求解器求解，应用于一般非齐次边界条件的二阶椭圆型PDE及稳态纳维-斯托克斯方程。
2017-11-16 cs.NA math.NA
Higher-order spectral element method for the stationary Stokes interface problem in two dimensions
本文提出一种基于最小二乘法、网格与界面对齐且使用非协调高阶谱元函数的二维稳态Stokes界面问题数值求解方法，证明了其稳定性与误差估计，并在速度和压力变量上实现了指数级精度。
2025-08-13 cs.NA math.NA
Convergence analysis and proof of acceleration for NGMRES applied to the Picard iteration for Navier-Stokes equations
University of Houston（休斯顿大学）；Clemson University（克莱姆森大学）
本文分析了NGMRES在Navier-Stokes Picard迭代中的收敛性，证明了其通过优化问题的增益加速收敛，并通过数值实验验证了收敛估计的准确性及对发散情况的改善作用。
2026-08-26 cs.NA math.NA
Mass conservation, positivity and energy identical-relation preserving scheme for the Navier-Stokes equations with variable density
College of Mathematics and Statistics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学数学科学学院）
本文提出一种针对具有变量密度纳维-斯托克斯方程的质量守恒、正性及能量恒等关系保持的数值方案，并通过数值实验验证其有效性。
2026-01-10 cs.NA math.NA
A pressure-projection formulation in a least-squares meshfree method for the incompressible Navier-Stokes equations using a staggered-variable arrangement
Institute of Science Tokyo（科学技术研究所）；Kobe University（神户大学）
本文提出一种基于局部对偶网格的无网格方法，通过引入局部对偶网格实现压力和速度变量的一致耦合，确保速度场的局部无散性，并验证了方法在不同雷诺数下的准确性。
2026-09-18 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
On single distribution lattice Boltzmann schemes for the approximation of Navier Stokes equations
该研究考察12种经典单分布格子Boltzmann格式逼近可压缩Navier Stokes方程的能力，通过泰勒展开法对比不同维度格式的二阶精度结果，发现部分情形无法精确匹配物理模型，并据此调整方程给出非平凡平衡态表达式。
2024-12-12 cs.NA math.NA
Inverse problem for the Navier-Stokes equations and identification of immersed obstacles in the Mediterranean Sea
本文针对三维Navier-Stokes方程流体中的障碍物逆问题，证明了可识别性与最小二乘泛函极小值的存在稳定性，提出基于拓扑导数的非迭代识别法，并通过地中海真实场景数值实验验证了有效性。
2025-09-04 cs.NA math.NA math.OC
A Fourth-Order Embedded Boundary Finite Volume Method for the Unsteady Stokes Equations with Complex Geometries
提出了一种求解非定常斯托克斯方程的四阶有限体积嵌入边界（EB）方法。该算法表示复杂的几何形状上的笛卡尔网格使用EB，采用一种技术，以减轻“小切细胞”的问题，没有网格修改，细胞合并，或状态重新分配。空间离散化是基于加权最小二乘技术，已扩展到四阶算子和边界条件，包括近似投影，以执行无发散约束。解决方案是先进的时间使用四阶添加剂隐式-显式龙格-库塔法，粘性和源项隐式和显式处理，分别。形式的准确性的方法证明了几个网格收敛性的研究，结果显示一个复杂的生物启发材料的应用程序。所开发的方法达到四阶精度，是稳定的，尽管普遍的小细胞所产生的复杂的几何形状。
2022-09-06 cs.NA math.NA
A virtual element generalization on polygonal meshes of the Scott-Vogelius finite element method for the 2-D Stokes problem
虚元法是将有限元法推广到多面体网格的伽辽金近似方法。在本文中，我们提出了一个符合制定推广的Scott-Vogelius有限元方法的数值逼近的斯托克斯问题的多边形网格的框架中的虚元法。特别是，我们考虑一个简单的应用程序的标量椭圆问题的虚元近似空间的矢量情况下，通过不连续多项式近似的压力变量。我们评估的有效性的数值逼近通过调查的收敛性制造的解决方案的问题和一组有代表性的多边形网格。我们数值计算表明，除了最低阶的情况下，三角形网格，该方法符合$P_1-P_0$斯科特-Vogelius计划，并在方形网格，这是众所周知的是不稳定的情况下，该配方是收敛的最佳收敛速度。
2021-12-25 cs.NA math.NA
A posteriori error analysis and adaptivity for a VEM discretization of the Navier-Stokes equations
我们考虑由Beirão da Veiga，Lovadina和Vacca在2016年引入的用于数值解定常不可压缩Navier-斯托克斯方程的虚拟单元法（VEM）;该方法具有任意阶$k \geq 2$并保证无发散速度。对于这样的离散化，我们开发了一个残差为基础的后验误差估计，这是一个标准的条款在VEM分析（残差项，数据振荡，VEM稳定）的组合，加上一些其他条款起源于非线性对流项的VEM离散化。我们表明，速度和压力误差的线性组合是由估计（可靠性）的多个上限。我们还建立了一些效率的结果，涉及误差的下界。一些数值测试说明了估计器及其组件的性能，同时均匀地细化网格，产生预期的衰减率。最后，我们将一种自适应网格加密策略应用于低雷诺数下管道内方柱绕流的计算。
2022-12-29 cs.NA math.NA
Least-squares driven stabilised finite element solution of advection-dominated flow problems
在这篇文章中，我们解决的解决方案的平流占主导地位的流动问题的稳定化的方法，通过最小二乘计算的稳定化系数。作为主要的方法学工具，我们引入了一个数据驱动的离线/在线策略来计算它们，具有较低的计算成本。我们比较的误差提供的最小二乘稳定系数的对流扩散和Navier-Stokes流的解决方案内提供的几个先前建立的稳定系数，结构化和非结构化网格，与拉格朗日有限元到第三度插值。在所有的测试流的最小二乘稳定系数提供准最优误差。我们的结论是，最小二乘程序是一个有益的程序，值得应用于一般流问题的一般稳定的解决方案。
2022-07-27 cs.NA math.NA
VPVnet: a velocity-pressure-vorticity neural network method for the Stokes' equations under reduced regularity
我们提出了VPVnet，一种用于简化正则性下Stokes方程的深度神经网络方法。与最近提出的基于PDE原始形式的深度学习方法[40，51]不同，VPVnet使用一阶速度-压力-涡度（VPV）公式（[30]）的最小二乘泛函作为损失函数。因此，在损失函数中仅需要一阶导数，因此该方法适用于更大类别的问题，例如具有非光滑解的问题。尽管最近已经提出了几种方法来降低正则性要求，通过将原问题转化为相应的变分形式，而对于Stokes方程，速度和压力的近似空间的选择必须满足LBB条件。这里，通过使用VPV公式，实现了较低的规则性要求，而无需考虑LBB条件。收敛性和误差估计已建立所提出的方法。值得强调的是，VPVnet方法是无发散和压力鲁棒的，而经典的Inf-Super稳定混合有限元的Stokes'方程是不压力鲁棒的。各种数值实验，包括2D和3D盖驱动腔测试情况下进行，以证明其效率和精度。
2021-12-14 cs.NA math.NA
Sharp inf-sup estimate for the Stokes equation in tight domains with periodic pillars and some numerical implications
School of Science and Engineering, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学深圳校区理学院）；Shenzhen International Center for Industrial and Applied Mathematics, Shenzhen Research Institute of Big Data（深圳大数据研究院工业与应用数学国际中心）；Shenzhen Loop Area Institute（深圳河套学院）；Applied Mathematics and Computational Sciences, CEMSE Division, King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学CEMSE学院应用数学与计算科学系）
针对密集微流控装置中Stokes方程求解困难，证明LBB常数随柱密度m^{-1}衰减，提出自适应增广拉格朗日稳定化策略，数值实验验证了理论界并显著减少迭代次数。
2026-05-23 cs.NA math.NA
Numerical solution of BVP for the incompressible Navier-Stokes equations at large Reynolds numbers
本文针对大雷诺数下不可压缩 Navier-Stokes 方程定常解不稳定且可能不唯一的问题，采用压力—速度有限元方法和多种对流线性化迭代算法，在半椭圆空腔中发现超过临界雷诺数时存在两个解。
2024-10-29 cs.NA math.NA
Unconditional energy stable hybrid IEQ-FEMs for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations
Anhui Normal University（安徽师范大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；The University of Texas at El Paso（埃尔帕索德克萨斯大学）
本文提出一种混合IEQ-FEMs，结合两种方案的优势，实现计算效率和无条件能量稳定性，通过理论证明和数值实验验证了方法的准确性和稳定性。
2026-04-23 cs.NA math.NA
Numerical approximation of statistical solutions of the incompressible Navier-Stokes Equations
统计解是平方可积函数空间上的时间参数化概率测度，已被建立为不可压缩Navier-斯托克斯方程（NSE）全局解的合适框架。我们计算了具有非周期边界条件的二维区域上NSE统计解的数值逼近，并实证研究了这些近似的收敛性及其观测值。对于数值求解器，我们使用蒙特卡洛采样与H（div）-FEM基于确定性求解器。我们对高雷诺数湍流的数值实验表明，近似的统计和可观的收敛。我们还开发了一种新的算法来计算非结构网格上的结构函数。
2021-07-13 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Correct energy evolution of stabilized formulations: The relation between VMS, SUPG and GLS via dynamic orthogonal small-scales and isogeometric analysis. II: The incompressible Navier-Stokes equations
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
本文提出了一种针对不可压缩纳维-斯托克斯方程的正确能量稳定化有限元方法。该方法框架和正确能量概念在前文的对流-扩散情境中已提出。本文扩展了前文的思想，构建了在变分多尺度（VMS）设定下的稳定化方法，表现出正确的能量行为。与对流-扩散情况类似，关键要素是微小尺度的正确动态和正交行为，这对正确能量行为至关重要，并将VMS框架与流线-上游皮尔-加勒金（SUPG）方法和伽辽金/最小二乘方法（GLS）联系起来。
2018-10-02 cs.NA math.NA
Stabilized reduced basis methods for parametrized steady Stokes and Navier-Stokes equations
针对参数化稳态Stokes和Navier-Stokes方程降阶基逼近中Galerkin投影无法保证inf-sup稳定性的问题，提出基于残差的离线或离线-在线稳定化方法，在无需supremizer丰富速度空间的同时获得更小的降阶基空间并保持修正的inf-sup稳定性。
2020-01-03 cs.NA math.NA
A unified integral equation scheme for doubly-periodic Laplace and Stokes boundary value problems in two dimensions
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Center for Computational Biology, Flatiron Institute（Flatiron研究所计算生物学中心）；University of Michigan（密歇根大学）；INTECH, Princeton, NJ（普林斯顿 INTECH）
本文提出一种谱精度方案，将单单元几何的椭圆PDE边界积分公式转换为完全周期性问题的公式。方法通过小的最小二乘求解应用周期性，无需处理周期格林函数。该方案适用于计算复合介质的有效渗透率和微流体芯片设计，具有高精度和高效性。
2016-11-24 cs.NA math.NA
Space-time adaptive methods for parabolic evolution equations
本文提出了一种基于积分方程的自适应求解器，用于高效求解二维抛物型演化方程，通过时空自适应细化与粗化技术提升计算效率。
2025-11-27 cs.NA math.NA
Variants of the Finite Element Method for the Parabolic Heat Equation: Comparative Numerical Study
本文采用加权残差有限元法的不同变形，求解了抛物型热方程，该热方程被认为是稳态Navier-斯托克斯方程的模型方程。结果表明，配置变量和最小二乘变量更适用于一阶系统。结果还表明，Galerkin/最小二乘方法比其他方法更具扩散性，因此在很宽的Péclet数范围内都能得到稳定的解。
2020-05-24 cs.NA math.NA
High Order Hermite Finite Difference Method for Euler/Navier-Stokes Equations in 2D Unstructured Meshes
本文提出了一种非结构网格的高精度有限差分法，用于模拟有/无间断的可压缩无粘/粘性流动。该方法以强形式方程为基础，利用高阶最小二乘法直接由附近的通量计算出各顶点上通量的散度。为了捕捉间断，高阶精度的数值通量计算的每一个边缘，并作为支持数据的最小二乘计算的散度。数值通量的高精度依赖于各边的高阶WENO插值。为了降低计算成本和复杂性，曲线模板组装的每一个边缘，使经济的一维WENO插值可以应用。通过引入导数，在曲线模板上进行二维Hermite插值，以保持模板的紧凑性，避免使用大量的支撑点。在光滑区域，直接采用5节点的二维Hermite最小二乘插值，达到5阶精度。在不连续点附近，通过3个节点的最小二乘二维插值获得的三个值被加权以获得二阶精度的一个值。在得到边缘中点两侧的流态后，可以计算出沿边缘的高阶精度的数值通量。对于无粘通量，分别采用顶点上的解析通量和沿边界的数值通量计算散度。而对于粘性通量，仅使用顶点上的解析粘性通量。每个顶点上的通量及其导数的发散被用来更新的保守变量及其导数与显式Runger-Kutta时间格式。数值算例验证了该方法的精度和激波捕捉能力。
2021-09-07 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Robust Augmented Mixed Finite Element Methods for Stoke Interface Problems with Discontinuous Viscosity in Multiple Subdomains
本文针对多子域中具有不连续粘性的Stokes界面问题，提出一种超弱增广混合有限元方法，通过Galerkin最小二乘法摆脱对inf-sup条件的依赖，并利用能量范数与全范数导出鲁棒先验误差估计，首次引入Kellogg型精确解算例进行数值验证。
2025-07-21 cs.NA math.NA
Least-squares finite elements for distributed optimal control problems
本文提出了基于最小二乘有限元方法的分布最优控制问题数值逼近框架，该方法同时求解状态和伴随方程，对任意共形离散空间均具稳定性，并推导了后验误差估计子，适用于无约束与带约束问题及多种PDE。
2023-08-02 cs.NA math.NA
On augmented finite element formulation for the Navier--Stokes equations with vorticity and variable viscosity
本文提出一种增广混合有限元方法求解含变黏性和无滑移条件的纳维-斯托克斯方程，通过最小二乘增广和不动点策略保证解的存在唯一性，并给出最优误差估计及二维三维数值验证。
2022-08-19 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Approximation of deterministic and stochastic Navier-Stokes equations in vorticity-velocity formulation
Ural Federal University（乌拉尔联邦大学）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文研究了纳维-斯托克斯方程在涡量-速度形式中的时间离散化方法，通过冻结速度在时间子区间内得到线性抛物方程，证明了近似的无散性和一阶精度，并扩展到带有加性噪声的二维随机纳维-斯托克斯方程，证明了涡量近似的均方收敛阶。
2019-04-02 cs.NA math.NA math.PR
A convergence proof for a finite element discretization of Chorin's projection method of the incompressible Navier-Stokes equations
本文证明Chorin投影法结合有限元空间离散化生成的数值逼近（在子序列意义下）收敛到不可压缩Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解，仅需平方可积初始数据，无需额外正则性假设。
2025-09-26 cs.NA math.AP math.NA
On the zeroth law of turbulence for the stochastically forced Navier-Stokes equations
本文考虑三维随机强迫Navier-斯托克斯方程在无边界条件下的时间白强迫（空间色强迫）。时均能量耗散率$\mathbb{E} [\langle\varepsilon \rangle] $的平均值的上限和下限，直接从方程推导。首先，我们证明了对于随机强迫Navier-斯托克斯方程的弱（鞅）解，有\[ \mathbb{E} [\langle\varepsilon \rangle] \leq G^2 + (2+ \frac{1}{Re})\frac{U^3}{L},\]，其中$G^2$是随机力提供的总能量率，$U$是均方根速度，$L$是所施加的强迫函数中最长的长度尺度，$Re$是雷诺数。在附加的能量相等的假设下，我们还导出了一个下界，如果由随机力给出的能量率在$G^2 > 2 F U$的意义上主导了流动的确定性行为，其中$F$是确定性力的振幅。特别地，在这样的假设下，我们得到了在没有确定性力的情况下湍流的第零定律，\[\frac{1}{3} G^2 - \frac{1}{3} (2+ \frac{1}{Re})\frac{U^3}{L} \leq \mathbb{E} [\langle\varepsilon \rangle] \leq G^2 + (2+ \frac{1}{Re})\frac{U^3}{L}\,.\]此外，我们还得到了模型耗散率的方差估计。
2020-04-18 cs.NA math.AP math.NA
Parallel implementation of a compatible high-order meshless method for the Stokes' equations
在这项工作中，提出了一种并行实现的兼容离散计划的稳态Stokes问题。该方案使用广义移动最小二乘生成微分算子并施加边界条件。这种无网格格式允许速度和压力的高阶收敛，同时还采用了有限差分式稀疏离散。此外，该方法具有固有的可扩展性：模板生成过程需要服从GPU加速的矩阵的局部求逆，并且速度的无发散处理用服从代数多重网格的椭圆对角块取代了全局系统的传统鞍点结构。在这项工作中的实现使用各种Trilinos包利用这种本地和全局并行性，并提供了表现出高阶收敛性和弱可扩展性的基准。
2021-04-29 cs.DC cs.MS cs.NA
Machine Learning enhanced parametric Reynolds-averaged Navier-Stokes equations at the full- and reduced-order levels
SISSA（的里雅斯特国际高等研究学校）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本研究将机器学习与RANS模型融合，用$\nu_t$-向量基神经网络生成FOM快照，对比PODG与PODNN，发现PODNN在湍流方管流预测中性能更优。
2026-08-11 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Concentration of Stationary Measures onto Large Scales in the Fast-Advection Limit of the Stochastically Forced Two-Dimensional Navier-Stokes Equations
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究随机强迫二维Navier-Stokes方程在快速平流极限下，平稳测度向最低傅里叶模态集中，且极限值可能不依赖强迫，$B_1/B_0$仅影响收敛速率。
2026-09-24 cs.NA math-ph math.MP
Meshfree Methods on Manifolds for Hydrodynamic Flows on Curved Surfaces: A Generalized Moving Least-Squares (GMLS) Approach
我们利用广义移动最小二乘（GMLS）开发无网格技术离散流体动力学流动问题的流形。我们使用外部演算制定不可压缩的流体动力学方程在斯托克斯政权和处理的发散自由约束通过广义矢量势。这提供了更少的坐标为中心的描述，并使开发有效的数值方法和分裂计划的四阶控制方程的二阶椭圆算子系统。使用霍奇分解，我们开发的方法具有球形拓扑流形。我们展示的方法表现出高阶收敛速度求解曲面上的流体动力学流动。该方法还提供了一般的高阶近似的度量，曲率，和其他几何量的流形和相关的外部演算运营商。该方法也可用于流形上其他标量值和向量值问题的高阶求解。
2020-01-18 cond-mat.soft cs.CE cs.CG
