George Jeffreys, Siu-Cheong Lau
We formulate a mathematical setup for computational neural networks using noncommutative algebras and near-rings, in motivation of quantum automata. We study the moduli space of the corresponding framed quiver representations, and find moduli of Euclidean and non-compact types in light of uniformization.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Framed quiver moduli, cohomology, and quantum groups
框架的n阶模参数化稳定对组成的一个n阶表示和一个映射到一个固定的分次向量空间。几何性质和显式实现的框架的无定向圈的箭图，推导出，重点是它们的上同调。讨论了它们在量子群构造中的应用。
Mirror Construction for Nakajima Quiver Varieties
本文构造了Nakajima箭图簇作为Lagrangian浸入球面带框节点并集的局部化镜像，建立了从Fukaya范畴到丛复形dg范畴的镜像函子，并证明了稳定Lagrangian膜到无挠层单子复形的变换。
Wall-crossing formula for framed quiver moduli
本文研究框定箭袋表示模空间的穿墙现象，针对 A 型旗流形、仿射 Laumon 空间、Nakajima 箭袋簇及射影平面相关层模空间，建立 Euler 类积分的穿墙公式。
Quivers, Line Defects and Framed BPS Invariants
一大类N=2的量子场论可作BPS谱描述，因而对它们的BPS谱的研究可归结为一个表示论问题。在这样的理论中，线缺陷的耦合可以用框架颤动器来模拟。相关的频谱问题的特点线缺陷完全。框架BPS状态可以被认为是绑定到缺陷的BPS粒子。我们确定框架BPS退化与某些枚举不变量与稳定的BPS表示的模空间。我们开发了一个形式主义的基础上等变本地化明确计算这样的BPS不变量，为一个特定的选择的稳定性条件。我们的框架给出了这个问题的一个纯组合的解决方案。我们详细介绍了我们的形式主义与几个明确的例子。
Quiver Varieties and Framed Sheaves on Compactified Kleinian Singularities
该研究针对Kleinian奇点$\mathbb{C}^2/\Gamma$，引入带光滑栈式除子的自然紧化栈，证明其上满足特定条件的带标架层集合与一类Nakajima箭图簇相关，部分推广了此前点Hilbert概型的相关研究。
Motivated by problems in the neural networks setting, we study moduli spaces of double framed quiver representations and give both a linear algebra description and a representation theoretic description of these moduli spaces. We define a network category whose isomorphism classes of objects correspond to the orbits of quiver representations, in which neural networks map input data. We then prove that the output of a neural network depends only on the corresponding point in the moduli space. Finally, we present a different perspective on mapping neural networks with a specific activation funct…
Moduli spaces of framed sheaves and quiver varieties
本文第一部分综述了光滑射影曲面上框架层的模空间的一些基本结果。特别是，我们概述了Bruzzo和Markushevich的结果，并讨论了几个重要的例子。在$\mathbb{P}^2$上，在$\mathbb{P}^2$的多重爆破上的框架层的模空间用ADHM数据来描述，并且当这个特征可用时，作为非线性变量。第二部分详细研究了当表示模空间非空的充分必要条件的不变量达到最小值时（我们称之为"最小值情况"）Hirzebruch曲面$Σ_n$上的框架层。我们的主要结果是，在此假设下，相应的模空间同构于格拉斯曼（当$n=1$），或同构于格拉斯曼余切丛的$n-1$副本的直和（当$n\geq 2$）。最后，通过对Nakajima的一个构造的稍加推广，我们证明了这些模空间可以作为模簇来描述。
Framed moduli and Grassmannians of submodules
在这项工作中，我们研究了实现的模空间的框架表示为格拉斯曼的子模块设计的马库斯Reineke。得到了有限维结合代数和有向圈的箭图的推广。作为应用，我们得到了类$A_{n-1}^{(1)}$范畴商上模空间丛的纤维的一个显式实现。
Wall-crossing formulas for framed objects
我们证明了在ind-constructable阿贝尔范畴中框架对象模空间的运动不变量的跨壁公式。发达的技术应用在动机唐纳森-托马斯不变量的情况下，颤抖的潜力。另一个应用是一个新的证明公式的motivic不变量的光滑模型的模空间。
In a previous paper, the first two named authors established an isomorphism between the moduli space of framed flags of sheaves on the projective plane and the moduli space of stable representations of a certain quiver. In the present note, we substitute one of the claims made, namely [5, Theorem 17], for a weaker claim regarding the existence of unobstructed points in the quiver moduli space. We also extend some of the results of the cited paper, concerning the maximal stability chamber within which the isomorphism mentioned holds, and the existence of a perfect obstruction theory for the qui…
For a finite subgroup $Γ\subset \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ and $n\geq 1$, we construct the (reduced scheme underlying the) Hilbert scheme of $n$ points on the Kleinian singularity $\mathbb{C}^2/Γ$ as a Nakajima quiver variety for the framed McKay quiver of $Γ$, taken at a specific non-generic stability parameter. We deduce that this Hilbert scheme is irreducible (a result previously due to Zheng), normal, and admits a unique symplectic resolution. More generally, we introduce a class of algebras obtained from the preprojective algebra of the framed McKay quiver by a process called cornering, a…
Geometric engineering of (framed) BPS states
从导出的复曲面Calabi-Yau三重范畴出发，通过几何工程方法导出了N=2 SU（N）规范理论的BPS箭图.虽然结果是在以前的低能量建设的协议，几何方法导致几个新的结果。一个没有墙猜想制定的所有值的N，有关的场论BPS光谱大半径D-膜束缚态。支持的证据作为显式计算的BPS简并在一些例子中。这些计算也证明了在弱耦合下存在任意高自旋和无穷多个边缘稳定壁的BPS态。此外，框架BPS状态的框架BPS模型自然来自这种形式主义，以及在motivic和上同调Donaldson-Thomas不变量方面的框架和非框架BPS简并的数学公式。我们用动力学DT不变量验证了具有“奇异”SU（2）_R量子数的BPS态的不存在.这个应用程序是特别是基于一个完整的递归算法，它确定在库仑分支上的任何一点上的非框架BPS谱的非交换唐纳森-托马斯不变量的框架的BPS表示。
Framed Rank r Torsion-free Sheaves on CP^2 and Representations of the Affine Lie Algebra \hat{gl(r)}
我们在CP ^2上框架秩r无挠的层的模空间的等变上同调上构造了r色玻色子和费米子Fock空间的几何实现。利用这些构造，我们几何上实现了仿射李代数\hat{gl(r)}的所有一级不可约表示。循环群Z_k自然地作用在层的模空间上，其不动点分支是循环Nakajima簇.我们实现了\hat{gl(r)}的k级不可约表示的等变上同调的这些类簇。
Wall-crossings for Twisted Quiver Bundles
给定一个二重二重n，利用Crawley-Boevey，Holland，Gothen和King的短正合列，研究了具有矩映射关系的扭曲n层的同调代数.然后在稳定性条件的单参数空间中，得到了光滑射影曲线上加框扭群层的阿贝尔范畴的广义Donaldson-Thomas不变量的过壁公式.为了做到这一点，我们密切关注庄、迪亚科内斯库和潘在ADHM案例中的方法，它利用了乔伊斯和宋的理论。该不变量利用矩映射关系对加框扭群层进行了虚拟计数，并直接推广了Diaconescu的ADHM不变量.
Poisson automorphisms and quiver moduli
证明了一个关于泊松代数的某些自同构的因子分解公式，它涉及到泊松表示的模空间的框架形式。这个分解公式与M的Donaldson-Thomas型不变量的跨壁公式有关。Kontsevich和Y.索贝尔曼
We develop an algebro-geometric formulation for neural networks in machine learning using the moduli space of framed quiver representations. We find natural Hermitian metrics on the universal bundles over the moduli which are compatible with the GIT quotient construction by the general linear group, and show that their Ricci curvatures give a Kähler metric on the moduli. Moreover, we use toric moment maps to construct activation functions, and prove the universal approximation theorem for the multi-variable activation function constructed from the complex projective space.
Framed moduli spaces and tuples of operators
在这项工作中，我们解决的经典问题分类元组的线性算子和线性函数的有限维向量空间的基础变化。通过考虑的情况下，建设框架的模空间的箭，我们开发了一个明确的分类属于Zagliki开子集的元组。对于这样的元组，我们提供了一个有限的家庭的正常形式和程序，允许确定是否两个元组是等价的。
Cohomology of quiver moduli, functional equations, and integrality of Donaldson-Thomas type invariants
导出了一组函数方程，它将箭图稳定表示的模空间的欧拉示性数与箭图模的（Hilbert格式型）框架形式的欧拉示性数联系起来。这适用于M的Donaldson-Thomas型不变量的跨壁公式。Kontsevich和Y. Soibelman，特别是确认其完整性。
Mirror construction of Hecke correspondence between Nakajima quiver varieties
本文通过局部镜像构造方法，在Nakajima标量簇间构造Hecke对应，并证明非ADE标量簇的局部镜像functor的完全忠实性。
From brick manifolds to Grassmannians of bimodules
本文研究箭图路径代数上子双模的格拉斯曼流形，推广了砖流形，给出显式构造、光滑性证明、胞腔分解及带框模空间实现，并导出动机的递归公式。
Branes in the moduli space of framed instantons
用物理学家的话来说，超k中的膜Ahler流形是关于三个K的复流形或拉格朗日子流形环境流形的Ahler结构通过考虑某些对合的固定轨迹，我们描述了所有可能类型的Nakajima簇中的膜。然后，我们专注于射影平面上的框架无挠的层的模空间，显示如何考虑对合作用于层，并证明在某些情况下膜的存在性。
Nilpotent quiver varieties with multiplicities and symmetrisable crystals
该研究构造带重数箭图的幂零箭图簇类似物，通过开发新稳定性条件及利用与赫克对应关系的作用，将斋藤对卡茨 - 穆迪代数晶体的几何构造从对称扩展到可对称化情形。
Shifted quantum groups via critical stable envelopes
本文通过临界稳定包络构造移位量子群，并将其与临界上同调Hall代数联系起来，扩展了Nakajima有向图变体的结果到临界情形。
This is a companion paper of arXiv:1601.03586. We study Coulomb branches of unframed and framed quiver gauge theories of type $ADE$. In the unframed case they are isomorphic to the moduli space of based rational maps from ${\mathbb C}P^1$ to the flag variety. In the framed case they are slices in the affine Grassmannian and their generalization. In the appendix, written jointly with Joel Kamnitzer, Ryosuke Kodera, Ben Webster, and Alex Weekes, we identify the quantized Coulomb branch with the truncated shifted Yangian.
Moduli spaces of representations of quivers with multiplicities via non-reductive GIT
该研究利用非约化群的相对仿射GIT与新稳定性条件，构造了截断幂级数环上带重数的箭图表示模空间（含带标架模空间及Nakajima箭图簇类似物），并证明部分光滑模空间上同调纯净。
BPS State Counting in Local Obstructed Curves from Quiver Theory and Seiberg Duality
本文研究了法丛为O+O（-2）的局部阻塞曲线几何中的BPS态计数。我们发现BPS态有一个框架描述。使用这种描述与Seiberg对偶和本地化技术，我们可以计算BPS状态指数在不同的房间所规定的稳定性参数分配。这提供了一个定义良好的方法来计算广义Donaldson-Thomas不变量。该方法可推广到其它仿射ADE系统。
Exponential Networks and Representations of Quivers
本文研究了八超荷超对称理论中BPS态在适当谱曲线上的测地线网络的几何描述。我们将Gaiotto-Moore-Neitzke从规范理论中的几个构造提升和推广到了局域卡-丘三重模型和相关模型。微分在覆盖曲线上是多值的，并具有一种新的对数奇异性，以分别解释D 0-膜和非紧D4-膜。我们描述了本地规则的三路路口的BPS轨迹相对于一个特定的框架的曲线。我们再现BPS颤动的局部几何形状，并说明在几个新的例子中的有限质量的束缚态的跨壁。我们描述的第一个步骤，了解框架的BPS状态的频谱在这样的“指数网络。"
Stable quasimaps to holomorphic symplectic quotients
研究了固定光滑射影曲线到Nakajima簇的扭拟映射的模空间和具有矩映射关系的$δ$ -稳定框架扭拟丛的模空间.我们表明，他们进行对称的障碍理论，当$δ$是足够大的，他们完全重合。这些结果推广了D.E. Diaconescu关于ADHM的研究，在I. Ciocan-Fontanine，D.莫里克和作者
Perverse coherent sheaves on blow-up. I. a quiver description
这是第一个两篇论文研究模空间的某一类相干层，我们称之为{ \it稳定的反常相干层}，对爆破的投影表面。它们用于联系曲面上稳定层的通常模空间及其爆破。在第一部分中，我们给出了射影平面上框架反常凝聚层的模空间的一个近似（或ADHM）描述。
Moduli of super-representations of quivers
该研究将King的几何不变量理论框架扩展到超情形，构造箭图超表示的模空间，还实现了超格拉斯曼流形等作为几何商，为超表示研究提供了模空间框架。
Virasoro constraints and representations for quiver moduli spaces
本文利用Joyce顶点代数研究带关系的箭图表示模空间的Virasoro约束，在光滑假设下构造了Virasoro代数的表示，并通过例外簇将其应用于del Pezzo曲面层模空间及Grassmannian。
We study quantum geometry of Nakajima quiver varieties of two different types - framed A-type quivers and ADHM quivers. While these spaces look completely different we find a surprising connection between equivariant K-theories thereof with a nontrivial match between their equivariant parameters. In particular, we demonstrate that quantum equivariant K-theory of $A_n$ quiver varieties in a certain $n\to\infty$ limit reproduces equivariant K-theory of the Hilbert scheme of points on $\mathbb{C}^2$. We analyze the correspondence from the point of view of enumerative geometry, representation theo…
On the noncommutative Donaldson-Thomas invariants arising from brane tilings
给定一个膜平铺，即环面上的一个二部图，我们可以将它与一个二分势和一个二分势代数联系起来。在一定的一致性条件下，证明了相应的位势代数上框架循环模模空间的Donaldson-Thomas型不变量的一个公式.我们将这个公式与计数的完美匹配的周期平面平铺对应的膜平铺。我们证明了相同的相容性条件意味着该位势代数是一个3-Calabi-Yau代数。我们还制定了合理性猜想的唐纳森-托马斯型不变量的生成函数。
A supersymmetric quantum mechanical model is constructed for BPS states bound to surface operators in five dimensional SU(r) gauge theories using D-brane engineering. This model represents the effective action of a certain D2-brane configuration, and is naturally obtained by dimensional reduction of a quiver $(0,2)$ gauged linear sigma model. In a special stability chamber, the resulting moduli space of quiver representations is shown to be virtually smooth and isomorphic to a moduli space of framed quotients on the projective plane. A precise conjecture relating a K-theoretic partition functi…
Quiver Varieties and Branching
Braverman和Finkelberg最近提出了仿射Kac-Moody群$G_\aff$的几何Satake对应[Braverman A.，Finkelberg M.，arXiv：0711.2083]。他们猜想，在$\R^4/\Z_r$上的$G_{\mathrm{cpt}}$ -瞬子的框架模空间的Uhlenbeck紧化上的交上同调层对应于在$r$上的朗兰兹对偶群$G_\aff^\vee$的表示的权空间。当$G = \SL(l)$时，Uhlenbeck紧化是$\algsl(r)_\aff$型的簇，并且他们的猜想是由作者的早期结果和I. Frenkel的level-rank duality。他们进一步引入了卷积图，该卷积图从理论上给出了张量积的多重性[Braverman A.，Finkelberg M.，私人来文，2008年]。在本文中，我们发展了簇的分枝理论，并对$G=\SL(l)$检验了这一猜想。
Hilbert schemes of points of $\mathcal O_{\mathbb P^1}(-n)$ as quiver varieties
在前一篇文章中，给出了Hirzebruch曲面上框架无挠层的模空间的单子实现。我们建立在该结果上，以构造$\mathbb P^1$上的线丛$\mathcal O(-n)$的全空间的点的希尔伯特方案的ADHM数据，对于$n \ge 1$，即，$\frac1n(1,1)$类型奇点的解析。基本上通过实现一个版本的特殊麦凯对应，这ADHM描述反过来又被用来实现这些希尔伯特计划的不可约连接组件的mills品种。我们以这种方式获得的新的例子，不属于Nakajima类型的变种。
Instanton counting and wall-crossing for orbifold quivers
阿贝尔轨道折叠奇点的非对易Donaldson-Thomas不变量可以通过在六维非对易N=2规范理论中计数瞬子解来研究;这种构造基于广义McKay对应，并将瞬子计数与自然地与奇点几何相关联的子的框架表示的计数等同起来。我们扩展这些建设计算BPS配分函数的高阶精炼和motivic非交换Donaldson-Thomas不变量的库仑分支的规范理论变量和orbifold数据。我们引入虚瞬子的概念，与自然的辛电荷晶格，其中管理的量子跨壁行为的BPS状态在这种情况下。McKay对应自然地将我们的形式主义与基于量子单值算子和簇代数的其他穿墙方法联系起来。
Moduli of ADHM Sheaves and Local Donaldson-Thomas Theory
ADHM构造建立了射影平面上的框架无挠的层与复向量空间范畴中关系的稳定框架表示之间的一一对应。本文研究光滑复射影曲线$X$上凝聚层的阿贝尔范畴中具有关系的同一群表示的模空间的几何。特别地，证明了该模空间实际上是光滑的，并且通过相对Beilinson谱序列与通过稳定的Pandharipande和Thomas对的曲线计数构造相关联.这产生了一个新的构造局部Donaldson-Thomas曲线理论以及一个自然的高阶推广。
Noncommutative projective partial resolutions and quiver varieties
本文引入一类由有限子群不可约表示索引的射影非交换曲面，证明其上带标架的无挠层同构类与Nakajima箭图簇闭点存在典范双射，从而利用非交换几何为箭图簇提供了几何解释。
Quasi-BPS categories for symmetric quivers with potential
该研究针对对称带势箭图构造拟BPS范畴，给出其矩阵分解范畴的半正交分解，证明壁穿等价等性质，引入预投射代数的约化拟BPS范畴，推广三圈箭图结果并包含K3曲面局部模型。
Flags of sheaves, quivers and symmetric polynomials
本文研究了嵌套瞬子箭图的表示理论，证明了其稳定表示的模空间为嵌套Hilbert概形和层旗提供了类似ADHM的构造，并利用等变局部化计算了拓扑不变量，猜想其全纯欧拉示性数的生成函数与Macdonald多项式相关。
Universal Virasoro constraints for quivers with relations
本文提出箭图表示模空间 Virasoro 约束的通用方法，证明其对任意带关系、含冻结顶点且无环的有限箭图成立，并借助导出等价给出射影平面及双射影线上 Gieseker 半稳定层 Virasoro 约束的独立证明，进而独立证明任意曲面上秩 1 情形。
Cohomological gauge theory, quiver matrix models and Donaldson-Thomas theory
本文研究了Calabi-Yau三重的Donaldson-Thomas理论与六维拓扑Yang-Mills理论之间的关系。我们的主要例子是拓扑U（N）规范理论在平坦空间的库仑分支。为了计算它的配分函数，我们在它的非对易变形上使用等变局部化技术。因此，规范理论局限于非对易瞬子，而这些瞬子可以用N色三维杨氏图来分类。我们给这些非对易瞬子的几何描述中的某些稳定的框架相干层的射影空间，通过使用更高的维推广的ADHM形式主义。从这个形式主义，我们构建了一个拓扑矩阵量子力学计算指数的BPS状态，并提供了一个替代的方法，六维规范理论。
We introduce a derived representation scheme associated with a quiver, which may be thought of as a derived version of a Nakajima variety. We exhibit an explicit model for the derived representation scheme as a Koszul complex and by doing so we show that it has vanishing higher homology if and only if the moment map defining the corresponding Nakajima variety is flat. In this case we prove a comparison theorem relating isotypical components of the representation scheme to equivariant K-theoretic classes of tautological bundles on the Nakajima variety. As a corollary of this result we obtain so…
AGT relations for abelian quiver gauge theories on ALE spaces
在$A_{k-1}$环面奇点$\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k$的最小分解$X_k$的轨道紧化上，构造了仿射Kac-Moody代数$\widehat{\mathfrak{gl}}_k$在秩为1的框架层模空间的等变上同调群上的一级优势表示.我们证明了这些模空间的基本类的直和是$\widehat{\mathfrak{gl}}_k$的Whittaker向量，从而证明了纯$\mathcal{N}=2$ $U(1)$规范理论在$\widehat{\mathfrak{gl}}_k$上的AGT对应.考虑模空间乘积上的Carlsson-Okounkov型Ext-丛，并利用它们的Euler类定义顶点算子.在分解$\widehat{\mathfrak{gl}}_k\simeq \mathfrak{h}\oplus \widehat{\mathfrak{sl}}_k$下，这些顶点算子分解为与海森堡代数$\mathfrak{h}$相关的玻色指数和$\widehat{\mathfrak{sl}}_k$的初等域的乘积。我们利用这些算子证明了$X_k$上$\mathcal{N}=2$超共形阿贝尔规范理论的AGT对应。
Seiberg-Witten Geometry of Four-Dimensional $\mathcal N=2$ Quiver Gauge Theories
本研究确定了四维质量形变$\mathcal N=2$超共形ADE箭袋规范理论的Seiberg-Witten几何，求解极限形状方程，将真空空间与椭圆曲线上全纯丛模空间的零亏格全纯拟映射模空间对应，并识别了特殊几何背后的可积系统。
For a finite subgroup $Γ\subset \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ and for $n\geq 1$, we use variation of GIT quotient for Nakajima quiver varieties to study the birational geometry of the Hilbert scheme of $n$ points on the minimal resolution $S$ of the Kleinian singularity $\mathbb{C}^2/Γ$. It is well known that $X:=\mathrm{Hilb}^{[n]}(S)$ is a projective, crepant resolution of the symplectic singularity $\mathbb{C}^{2n}/Γ_n$, where $Γ_n=Γ\wr\mathfrak{S}_n$ is the wreath product. We prove that every projective, crepant resolution of $\mathbb{C}^{2n}/Γ_n$ can be realised as the fine moduli space of $…
The geometry of Nekrasov's gauge origami theory
本文提出通过代数几何方法定义折纸配分函数，并探讨其在非微扰Dyson-Schwinger方程中的应用
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