Second moments related to Poisson hyperplane tessellations
我们考虑d维欧几里得空间中平稳泊松超平面镶嵌的典型胞元。众所周知，典型胞腔的期望顶点数与超平面过程的方向分布无关。我们给这个顶点数的方差，显示，特别是最大的方差达到当且仅当该过程的分布是旋转不变的相对于一个合适的标量积的急剧界。所采用的顶点数的二阶矩的表示是为随机向量提供协方差阵的公式的特殊情况，所述随机向量的分量是典型单元的总k面内容。在各向同性情况下，这些公式首先由R.E.英里我们给出了一个更初等的证明，并将公式推广到一般的方向分布。
2015-09-19 math.PR
Geometry of iteration stable tessellations: Connection with Poisson hyperplanes
自Nagel和Weiss的开创性工作以来，迭代稳定（STIT）镶嵌作为一种自然灵活，但易于分析的分层空间单元分裂和裂纹形成过程的模型，在随机几何中引起了相当大的兴趣。在本文中，我们提供了一个基本的联系STIT镶嵌的典型特征和适当的混合物的泊松超平面镶嵌使用鞅技术和一般理论的分段确定性马尔可夫过程（PDMP）。作为应用，得到了STIT模型的新均值和新分布结果。
2014-12-24 math.PR math.ST stat.TH
Dimension reduction by random hyperplane tessellations
给定单位欧氏球面的子集K，我们估计生成K的均匀镶嵌的超平面的最小数量m = m（K），在K中分离任何对x，y的超平面的分数几乎与x和y之间的欧氏距离成比例的意义上。随机超平面被证明是这个问题的几乎理想的;它们达到了几乎最优的界限m = O（w（K）^2），其中w（K）是K的高斯平均宽度。使用将K中的x发送到关于超平面的符号向量的映射，我们得出结论，R^n的每个有界子集K嵌入到汉明立方体{-1，1}^m中，在Gromov-Haussdorf度量中具有小的失真。由于对于许多集合K，有m = m（K）<< n，这产生了欧几里得空间中集合降维的一种新的离散机制。
2013-09-26 math.FA math.PR
Random conical tessellations
我们考虑欧氏$(d-1)$ -球面通过$(d-2)$ -维大子球面的镶嵌，或者等价地，欧氏$d$ -空间通过原点的超平面的镶嵌;这些我们称之为圆锥镶嵌。对于随机多面体锥定义为典型的圆锥在圆锥镶嵌随机超平面，随机锥是对偶的分布，我们研究的期望一般类的几何泛函。它们包括组合量，例如面数，以及圆锥形内禀体积。对于各向同性圆锥镶嵌（由球对称分布的随机超平面生成的那些），我们确定了随机向量的完整协方差结构，其分量是诱导的球形随机多面体的$k$面内容。这个结果可以被认为是Roger Miles的经典结果的球面对应。
2016-04-30 math.MG math.PR
Cells with many facets in a Poisson hyperplane tessellation
令$Z$是$\mathbb{R}^d$中静态泊松超平面细分的典型单元。研究了典型单胞的$f(Z)$面数分布。它表明，在一个良好的传播条件下的方向分布，数量$n^{\frac{2}{d-1}}\sqrt[n]{\mathbb{P}(f(Z)=n)}$是有界的，从上面和下面。当$f(Z)$较大时，$Z$的等周比以高概率远离零有界。这些结果依赖于一方面的互补定理，它提供了一个精确的分解分布的$Z$，另一方面在几个几何估计有关的近似多面体多面体与较少的方面。从$f(Z)$的分布的渐近性，尾部估计为所谓的$Φ$内容的$Z$的推导以及结果的条件分布的$Z$时，其$Φ$内容是大的。
2016-08-29 math.MG math.PR
Small cells in a Poisson hyperplane tessellation
到目前为止，很少有人知道的泊松超平面镶嵌中的小细胞的性质。现有的几个结果是启发式的或仅适用于二维的情况下，非常具体的大小泛函和方向分布。本文填补了这一空白，提供了一个系统的研究小细胞在泊松超平面镶嵌的任意尺寸，任意方向分布$φ$和相对于一个任意大小的功能$Σ$。更确切地说，我们调查的典型细胞$Z$的分布，条件的事件$\{Σ(Z)<a\}$，其中$a\to0$和$Σ$是一个大小功能，即功能的凸体是连续的，不全同零，齐次$k>0$，并增加相对于集包含。我们专注于这些小细胞的小平面数量和形状。我们在各种一般设置中表明，小细胞往往会使小平面的数量最小化，并且它们具有非退化的极限形状分布，该分布取决于尺寸$Σ$和方向分布。我们还展示了一类的方向性分布的细胞与小内径不倾向于最小化的方面的数量。
2018-08-13 math.MG math.PR
Central limit theorems for Poisson hyperplane tessellations
本文给出了$\mathbb{R}^d$中由平稳Poisson超平面过程诱导的凸多面体顶点数的中心极限定理。这一结果推广了Paroux [Adv. in Appl. Probab. 30（1998）640- 656]中的运动不变泊松线过程的交点。我们的证明是基于Hoeffding的分解的$U$ -统计，这似乎是更有效和足够的解决高维的情况下，比“矩的方法”中使用的[Adv.在应用。30（1998）640- 656]来治疗病例$d=2$。此外，我们还在几个方向上推广了我们的中心极限定理。首先考虑$0\le k\le d-1$的$\mathbb{R}^d$中Poisson超平面过程诱导的$k$ -平坦过程.第二，我们推导出（渐近）的置信区间，这些$k$ -平坦的过程的强度，第三，我们证明了多元中心极限定理的$d$ -维联合向量的数量的$k$ -平坦和他们的$k$ -体积，分别在一个增加的球形区域。
2006-07-05 math.PR
Large faces in Poisson hyperplane mosaics
一个著名的问题D. G. Kendall指出，在${\mathbb{R}}^d$中，一个静态Poisson超平面镶嵌的零胞，在它具有大体积的条件下，以很高的概率近似于某个确定的形状，这个形状是由底层超平面过程的方向分布决定的。该结果在这里被扩展到用于$k\in\{2,...,d-1\}$的镶嵌的典型$k$面。这就需要一个额外的条件，即面的方向是在给定方向的一个足够小的邻域内。
2010-10-12 math.PR
Random Tessellations -- An Overview of Models
本章综述随机镶嵌的建模机制，介绍其基本概念与几何特征，梳理 Voronoi、超平面、STIT 等模型类别，并讨论模拟与拟合方法。
2025-01-09 math.PR
Tessellation-valued processes that are generated by cell division
本文推广了由细胞分裂生成的随机镶嵌过程，给出存在性充分条件与构造方法，并证明在 Mondrian 分布情形下内在体积可作为细胞指数寿命分布的参数。
2023-04-04 math.PR
Poisson polyhedra in high dimensions
研究了当空间维数趋于无穷大时，依赖于距离指数和强度参数的随机超平面镶嵌的参数类的零胞。该模型包括零细胞的平稳和各向同性泊松超平面镶嵌以及典型的细胞的平稳泊松Voronoi镶嵌作为特殊情况。它表明，渐近在空间维度上，以压倒性的概率，这些细胞满足超平面猜想，如果适当选择的距离指数和强度参数的维数依赖的功能。还探讨了平均面数的高维极限，并分析了等周比的渐近行为。在背景中是新的身份链接的$f$ -矢量的零细胞的某些双重固有体积。
2015-03-02 math.MG math.PR
Conical tessellations associated with Weyl chambers
我们考虑$d$维随机向量$Y_1,\dots,Y_n$满足一个温和的一般位置假设a.s.超平面\begin{align*} (Y_i-Y_j)^\perp\;\; (1\le i<j\le n). \end{align*}生成欧几里得$d$空间的圆锥形镶嵌，其与$A_{n-1}$类型的Weyl腔室密切相关。我们确定了这个镶嵌中的圆锥体的数量，并表明它是a.s.常数对于一个随机锥均匀随机选择从这个随机镶嵌，我们计算的期望一般一系列的几何泛函。这些包括面数，以及圆锥曲线的固有体积和圆锥曲线的quermassintegrals。在$Y_1,\ldots,Y_n$上交换的附加假设下，对于具有与$Y_1-Y_2,\ldots, Y_{n-1}-Y_n$的正壳相同分布的对偶随机锥也进行同样的处理，条件是该正壳不等于$\mathbb R^d$。所有这些期望都是免费的。类似地，我们考虑由超平面\begin{align*} (Y_i+Y_j)^\perp\;\; (1 \le i<j\le n),\quad (Y_i-Y_j)^\perp\;\; (1\le i<j\le n),\quad Y_i^\perp\;\; (1\le i\le n) \end{align*}引起的圆锥镶嵌。这种镶嵌与$B_n$型的Weyl腔密切相关。我们计算这个镶嵌中的圆锥体的数量和从这个随机镶嵌中绘制的随机圆锥体的各种…
2021-06-22 math.CO math.MG math.PR
Limit theorems for functionals on the facets of stationary random tessellations
我们通过一个无限扩展的凸采样窗口$W$观察$\mathbb{R}^d$中的平稳随机镶嵌$X=\{Ξ_n\}_{n\ge1}$，并确定在$X$的$k$ -刻面上诱导的那些$(k-1)$维流形过程的总$(k-1)$ -体积（$1\le k\le d-1$）通过它们与$(d-1)$的交叉-独立和同分布运动的方面-在$X$的每个单元$Ξ_n$内生成的不变镶嵌$X_n$。$X$的情况下，无论是一个泊松超平面镶嵌或随机镶嵌与弱依赖分别处理。然而，在这两种情况下，当$W$足够大时，我们得到在$W$中测量的所有总体积近似正态分布。平均值和渐近方差的结构公式推导和明确的数值给出了平面Poisson-Voronoi曲面（PVTs）和Poisson线曲面（PLTs）。
2007-09-05 math.PR
First passage percolation in Euclidean space and on random tessellations
在$\mathbb R^d$中有多种第一通道逾渗（FPP）模型。我们想开始对这个主题进行全面的研究。为此，我们将格点$\mathbb Z^d$上的首通渗流模型推广到$\mathbb R^d$上，并利用\cite{boivin1990first}的结果证明了$\mathbb R^d$上遍历随机伪度量的形状定理.这一结果的自然应用将是随机镶嵌上的FPP研究，其中流体从零单元开始，并花费随机时间通过单元的边界进入相邻单元。我们发现，一个驯服的随机镶嵌，介绍了在配套文件\cite{ziesche2016bernoulli}，有一个积极的时间常数。这是用来推导出一个空间遍历定理的图形诱导的镶嵌。最后，我们研究了Poisson超平面的曲面细分，给出了其FPP极限形状的计算公式，并给出了相应形状定理的收敛速度界。
2016-11-07 math.PR
A new approach to weak convergence of random cones and polytopes
提出一种证明随机多面体弱收敛的新方法，并应用于随机锥形剖分，证明其重标度Schläfli随机锥轮廓弱收敛于Poisson超平面剖分的典型胞腔。
2020-03-09 math.MG math.PR
STIT Tessellations have trivial tail σ-algebra
我们考虑了\ell维欧几里得空间中的齐次STIT镶嵌Y，并证明了尾σ-代数的平凡性.这是Lachièze-Rey的混合结果的锐化。
2012-10-15 math.PR
The stochastic geometry of unconstrained one-bit data compression
提出了一种平稳随机几何模型，用于分析一比特压缩感知中的数据压缩方法。数据集是一个无约束的平稳集，例如所有的$\mathbb{R}^n$或$\mathbb{R}^n$中的平稳泊松点过程。它是压缩使用一个固定的和各向同性的泊松超平面镶嵌，假设独立的数据。该模型允许人们确定超平面的强度必须如何与维度$n$成比例，以确保不同数据被超平面充分分离以及被压缩在一起的数据足够接近。结果在压缩感知和信源编码中有直接的影响。
2018-10-14 math.PR
How many T-tessellations on $k$ lines? Existence of associated Gibbs measures on bounded convex domains
本文界定了一组固定的$k$线上的T形顶点的镶嵌的数量：镶嵌有效地编码，算法检索它们，证明注入性。这产生了完全随机的T-曲面细分的存在，如Kiên Kiêu等人所定义的，以及它的吉布斯修正。组合界限是尖锐的，但在典型情况下可能是悲观的。
2014-04-23 math.PR
On strongly rigid hyperfluctuating random measures
与以前的信念相反，我们提供了平稳遍历随机措施的例子，这是超波动和强刚性。因此，我们研究由Poisson超平面镶嵌顶点构成的超平面交过程。已知这些HIP是超波动的，也就是说，有界观察窗口中的点的数量的方差比窗口的大小增长得更快。在这里，我们表明，HIP表现出特别强的刚性属性。对于任何有界博雷尔集$B$，指数小（有界）停止集足以重建$B$中所有点的位置，事实上，所有与$B$相交的超平面。因此，由任意（但固定）维度的超平面交点支持的随机测度也是超波动的。我们的例子有助于寻找相关性，密度波动和刚性属性之间的关系。
2020-08-25 math.PR
One-bit compressed sensing by linear programming
我们给出了一位压缩感知问题的第一个计算上易于处理且几乎是最优的解决方案，展示了如何从x的O（s log^2（n/s））随机线性测量的符号中准确地恢复R^n中的s-稀疏向量x。回收率是通过一个简单的线性规划。这个结果扩展到近似稀疏向量x。我们的结果是普遍的意义上说，以高概率，一个测量方案将成功地恢复所有稀疏向量同时。该论点是基于解决一个等价的几何问题随机超平面镶嵌。
2012-03-16 cs.IT math.IT math.PR
Minimax Rates for High-Dimensional Random Tessellation Forests
本文证明一大类采用一般分裂方向的随机森林（包括 STIT forests 和 Poisson 超平面镶嵌导出的森林）在任意维度上都能达到极小极大最优收敛速率，首次表明斜向分裂随机森林变体具有极小极大最优性。
2023-10-29 math.PR math.ST stat.ML
Intrinsic Volumes of the Maximal Polytope Process in Higher Dimensional STIT Tessellations
平稳和各向同性迭代稳定的随机镶嵌被认为是，它可以通过一个随机过程的细胞分裂。最大多面体的集合在一个固定的时间$t$内的凸窗口$W\subset{\Bbb R}^d$被认为是和公式的平均值，方差，以及某些协方差措施的特征证明。重点是$d\geq 3$的情况下，这是不同于平面的，在\cite{ST2}单独处理。此外，一个多元极限定理的向量适当重新缩放的内在体积的建立，导致在每个组件-在鲜明对比的情况下，在平面-一个非高斯限制。
2011-01-04 math.PR
Sharp rate for the dual quantization problem
在本文中，我们建立了最佳对偶量化问题的锐率。对偶量化的概念最近在论文[8]中引入，其中表明，至少在欧几里得设置中，对偶量化器基于Delaunay三角剖分，“常规”量化所依赖的Voronoi镶嵌的对偶对应物。此外，这种新的方法具有内在的平稳性，这使得它非常有价值的数值应用。本文建立了著名的Zador定理的对偶量化的对应物，该定理描述了量化器大小趋于无穷大时量化误差的尖锐渐近性。这个定理的证明依赖于通过随机量化参数对所谓的皮尔斯引理的扩展。
2015-01-25 math.PR
Facial structure of strongly convex sets generated by random samples
紧集$A\subset\mathbb{R}^d$的$K$ -壳，其中$K\subset \mathbb{R}^d$是固定的紧凸体，是包含$A$的所有$K$的平移的交集。一个集合称为$K$ -强凸的，如果它与它的$K$ -壳重合。我们提出了一个一般的方法来分析的$K$ -强凸集的面部结构，类似于发达的理论多面体，通过引入的概念$k$ -维的脸，所有$k=0,\dots,d-1$。然后，我们应用我们的理论的情况下，当$A=Ξ_n$是一个样本的$n$点均匀随机从$K$。我们表明，在这种情况下，一组$x\in\mathbb{R}^d$，使$x+K$包含样本$Ξ_n$，乘以$n$，收敛于分布的零细胞的某个泊松超平面细分。从这个结果中，我们推导出相应的$f$ -矢量的$K$ -壳的$Ξ_n$到一个特定的限制随机矢量的分布收敛，没有任何规范化，也收敛的所有时刻的$f$ -矢量。
2021-10-05 math.MG math.PR
