A resolution of the Gaussian hyperplane tessellation conjecture on the sphere
本文研究球面子集的高斯超平面均匀镶嵌问题，通过构造反例推翻了原猜想，证明所需超平面数量应为 $\delta^{-3}w_*(S)^2$。
2025-08-07 math.PR
Wasserstein stability of the zero cell of a Poisson hyperplane tessellation under directional perturbations
该研究分析泊松超平面镶嵌零胞在方向分布扰动下的Wasserstein稳定性，给出其局部Hölder连续性的定量界，并将结果应用于界定零胞密度估计器的期望总变差距离。
2026-08-14 math.PR
Limit theorems for functionals on the facets of stationary random tessellations
我们通过一个无限扩展的凸采样窗口$W$观察$\mathbb{R}^d$中的平稳随机镶嵌$X=\{Ξ_n\}_{n\ge1}$，并确定在$X$的$k$ -刻面上诱导的那些$(k-1)$维流形过程的总$(k-1)$ -体积（$1\le k\le d-1$）通过它们与$(d-1)$的交叉-独立和同分布运动的方面-在$X$的每个单元$Ξ_n$内生成的不变镶嵌$X_n$。$X$的情况下，无论是一个泊松超平面镶嵌或随机镶嵌与弱依赖分别处理。然而，在这两种情况下，当$W$足够大时，我们得到在$W$中测量的所有总体积近似正态分布。平均值和渐近方差的结构公式推导和明确的数值给出了平面Poisson-Voronoi曲面（PVTs）和Poisson线曲面（PLTs）。
2007-09-05 math.PR
Second moments related to Poisson hyperplane tessellations
我们考虑d维欧几里得空间中平稳泊松超平面镶嵌的典型胞元。众所周知，典型胞腔的期望顶点数与超平面过程的方向分布无关。我们给这个顶点数的方差，显示，特别是最大的方差达到当且仅当该过程的分布是旋转不变的相对于一个合适的标量积的急剧界。所采用的顶点数的二阶矩的表示是为随机向量提供协方差阵的公式的特殊情况，所述随机向量的分量是典型单元的总k面内容。在各向同性情况下，这些公式首先由R.E.英里我们给出了一个更初等的证明，并将公式推广到一般的方向分布。
2015-09-19 math.PR
Constraints on the fundamental topological parameters of spatial tessellations
使用凸多面体单元来填充空间的$R^3$的镶嵌可能极其复杂，特别是如果它们不是面到面的，即，如果单元的面不一定与该单元的邻居的面重合。在最近的一篇论文中（Weiss和Cowan，Adv.Appl.Prob. 2011），我们已经开发了一个理论，它涵盖了这些复杂的情况下，至少在他们的组合拓扑结构。这个理论需要七个参数，其中三个足以满足面到面的情况;剩下的四个参数是在一般情况下出现的笨拙的邻接概念所需要的。本文建立了适用于这七个参数的约束条件，并在其七维空间内定义了一个允许区域，我们发现这个区域是没有边界的。我们在相对简单的面到面情况下的约束也是新的。
2013-06-25 math.PR
Dimension reduction by random hyperplane tessellations
给定单位欧氏球面的子集K，我们估计生成K的均匀镶嵌的超平面的最小数量m = m（K），在K中分离任何对x，y的超平面的分数几乎与x和y之间的欧氏距离成比例的意义上。随机超平面被证明是这个问题的几乎理想的;它们达到了几乎最优的界限m = O（w（K）^2），其中w（K）是K的高斯平均宽度。使用将K中的x发送到关于超平面的符号向量的映射，我们得出结论，R^n的每个有界子集K嵌入到汉明立方体{-1，1}^m中，在Gromov-Haussdorf度量中具有小的失真。由于对于许多集合K，有m = m（K）<< n，这产生了欧几里得空间中集合降维的一种新的离散机制。
2013-09-26 math.FA math.PR
Geometry of iteration stable tessellations: Connection with Poisson hyperplanes
自Nagel和Weiss的开创性工作以来，迭代稳定（STIT）镶嵌作为一种自然灵活，但易于分析的分层空间单元分裂和裂纹形成过程的模型，在随机几何中引起了相当大的兴趣。在本文中，我们提供了一个基本的联系STIT镶嵌的典型特征和适当的混合物的泊松超平面镶嵌使用鞅技术和一般理论的分段确定性马尔可夫过程（PDMP）。作为应用，得到了STIT模型的新均值和新分布结果。
2014-12-24 math.PR math.ST stat.TH
Poisson polyhedra in high dimensions
研究了当空间维数趋于无穷大时，依赖于距离指数和强度参数的随机超平面镶嵌的参数类的零胞。该模型包括零细胞的平稳和各向同性泊松超平面镶嵌以及典型的细胞的平稳泊松Voronoi镶嵌作为特殊情况。它表明，渐近在空间维度上，以压倒性的概率，这些细胞满足超平面猜想，如果适当选择的距离指数和强度参数的维数依赖的功能。还探讨了平均面数的高维极限，并分析了等周比的渐近行为。在背景中是新的身份链接的$f$ -矢量的零细胞的某些双重固有体积。
2015-03-02 math.MG math.PR
Non-Gaussian Hyperplane Tessellations and Robust One-Bit Compressed Sensing
我们表明，由少量的随机仿射超平面生成的镶嵌可以用来近似任意有界集$T$中任意两点之间的欧氏距离，其中随机超平面由亚高斯或重尾法向量和均匀分布的移位生成。我们推导出定量界的超平面的数量需要构建这样的镶嵌在自然度量复杂性措施的$T$和所需的近似误差。我们的工作在这个方向上显着扩展以前的结果，这是有限的高斯超平面镶嵌的子集的欧几里德单位球。作为应用，我们在非高斯测量矩阵的无记忆一位压缩感知中获得了新的重构结果。我们表明，通过在均匀分布的阈值量化，它是可以准确地重建低复杂度的信号，从少量的一位量化测量，即使测量矢量是从一个重尾分布。我们的重建结果是统一的性质和鲁棒性的存在下的预量化噪声的模拟测量，以及对抗性的比特损坏的量化过程中。此外，我们表明，如果测量矩阵是亚高斯，那么准确的恢复可以通过一个凸规划实现。
2018-08-13 cs.IT math.IT math.PR
On Point Processes Defined by Angular Conditions on Delaunay Neighbors in the Poisson-Voronoi Tessellation
考虑欧几里得平面的齐次Poisson点过程及其Voronoi细分。本文讨论了与后者有关的两个依赖于参数$θ$的平稳点过程的性质。第一个是属于Voronoi镶嵌的某个一维小平面的点集，并且使得它们看到定义小平面的两个核的角度为$θ$。对第一个点过程感兴趣的主要问题是它的强度。第二点过程是所述镶嵌与具有随机取向的直线的交点的过程。其强度是众所周知的。交点几乎肯定属于一维小平面。这里的主要问题是关于第二个点过程的点看到与小平面相关的两个核的角度的Palm分布。本说明回答了这两个问题，并简要讨论了其实际动机。它还讨论了三维的自然扩张。
2020-10-30 math.PR
Continuum Line-of-Sight Percolation on Poisson-Voronoi Tessellations
在这项工作中，我们研究了一个新的模型，连续视线渗流在随机环境驱动的泊松Voronoi镶嵌在$d$维欧几里得空间。该镶嵌的边（一维小平面，或简称为1-小平面）是Cox点过程的支持，而顶点（零维小平面或简称为0-小平面）是Bernoulli点过程的支持。取这两个过程的叠加$Z$，当且仅当$Z$的两个点足够接近并且位于支持镶嵌的相同边缘（1-面）上时，它们通过边缘连接。我们研究了由这种结构产生的随机图的渗流，并证明了在一般假设下存在0-1定律、亚临界相和超临界相。我们的证明是基于一个粗粒度的参数与一些概念的稳定性和渐近本质连通性，以调查连续渗流Cox点过程。我们还给出了数值估计的临界参数的模型在平面的情况下，我们的模型是为了代表电信网络在一个随机的环境中的信号传播的障碍性条件。
2020-11-08 math.PR
On the Number of Faces and Radii of Cells Induced by Gaussian Spherical Tessellations
研究了$\mathbb{R}^{d}$中与球面超平面镶嵌有关的一个几何性质。我们首先考虑一个固定的$x$上的欧几里德球和镶嵌与$M \gg d$超平面通过原点具有法向量分布根据高斯分布。我们表明，有很高的概率存在一个子集的超平面，其基数是$d\log(d)\log(M)$的顺序，使半径的细胞包含$x$诱导这些超平面是有界的以上，直到常数，$d\log(d)\log(M)/M$。我们将这一结果扩展到具有高概率的镶嵌中的所有细胞。直到对数项，该上界与Goyal等人先前建立的下界相匹配。通知。Theory 44（1）：16-31，1998）。
2021-08-30 cs.IT math.IT math.PR
Central limit theorems for Poisson hyperplane tessellations
本文给出了$\mathbb{R}^d$中由平稳Poisson超平面过程诱导的凸多面体顶点数的中心极限定理。这一结果推广了Paroux [Adv. in Appl. Probab. 30（1998）640- 656]中的运动不变泊松线过程的交点。我们的证明是基于Hoeffding的分解的$U$ -统计，这似乎是更有效和足够的解决高维的情况下，比“矩的方法”中使用的[Adv.在应用。30（1998）640- 656]来治疗病例$d=2$。此外，我们还在几个方向上推广了我们的中心极限定理。首先考虑$0\le k\le d-1$的$\mathbb{R}^d$中Poisson超平面过程诱导的$k$ -平坦过程.第二，我们推导出（渐近）的置信区间，这些$k$ -平坦的过程的强度，第三，我们证明了多元中心极限定理的$d$ -维联合向量的数量的$k$ -平坦和他们的$k$ -体积，分别在一个增加的球形区域。
2006-07-05 math.PR
The combinatorial structure of spatial STIT tessellations
考虑了三维欧几里得空间中在迭代（嵌套）下稳定的空间均匀随机镶嵌，即所谓的STIT镶嵌。它们是随后细胞分裂的时空过程的结果，因此它们不是面对面的。本文的目的是开发一个详细的分析这种镶嵌的组合结构，并确定一些新的几何平均值，例如典型顶点的邻域。结果的核心是基于其端点的类型或与其他类型的线段的相等关系对细分边进行精细分类。在背景的证据是微妙的空间STIT镶嵌分布特性。
2011-11-02 math.CO math.PR
Large faces in Poisson hyperplane mosaics
一个著名的问题D. G. Kendall指出，在${\mathbb{R}}^d$中，一个静态Poisson超平面镶嵌的零胞，在它具有大体积的条件下，以很高的概率近似于某个确定的形状，这个形状是由底层超平面过程的方向分布决定的。该结果在这里被扩展到用于$k\in\{2,...,d-1\}$的镶嵌的典型$k$面。这就需要一个额外的条件，即面的方向是在给定方向的一个足够小的邻域内。
2010-10-12 math.PR
Tessellation-valued processes that are generated by cell division
本文推广了由细胞分裂生成的随机镶嵌过程，给出存在性充分条件与构造方法，并证明在 Mondrian 分布情形下内在体积可作为细胞指数寿命分布的参数。
2023-04-04 math.PR
A new approach to weak convergence of random cones and polytopes
提出一种证明随机多面体弱收敛的新方法，并应用于随机锥形剖分，证明其重标度Schläfli随机锥轮廓弱收敛于Poisson超平面剖分的典型胞腔。
2020-03-09 math.MG math.PR
First passage percolation in Euclidean space and on random tessellations
在$\mathbb R^d$中有多种第一通道逾渗（FPP）模型。我们想开始对这个主题进行全面的研究。为此，我们将格点$\mathbb Z^d$上的首通渗流模型推广到$\mathbb R^d$上，并利用\cite{boivin1990first}的结果证明了$\mathbb R^d$上遍历随机伪度量的形状定理.这一结果的自然应用将是随机镶嵌上的FPP研究，其中流体从零单元开始，并花费随机时间通过单元的边界进入相邻单元。我们发现，一个驯服的随机镶嵌，介绍了在配套文件\cite{ziesche2016bernoulli}，有一个积极的时间常数。这是用来推导出一个空间遍历定理的图形诱导的镶嵌。最后，我们研究了Poisson超平面的曲面细分，给出了其FPP极限形状的计算公式，并给出了相应形状定理的收敛速度界。
2016-11-07 math.PR
Typical Geometry, Second-Order Properties and Central Limit Theory for Iteration Stable Tessellations
由于开创性的工作Mecke，Nagel和Weiss，迭代稳定（STIT）镶嵌吸引了相当大的兴趣在随机几何作为一个自然的和灵活的，但分析易处理的模型分层空间细胞分裂和裂纹形成过程。本文的目的是描述$\mathbb{R}^d$中STIT网格的大规模渐近几何，以及更一般的非定常迭代无限可分网格的渐近几何。我们研究了几个方面的典型的一阶几何形状的这种镶嵌诉诸鞅技术，提供了一个直接的联系之间的典型特征的STIT镶嵌和适当的混合物的泊松超平面镶嵌。此外，我们还考虑了二阶属性STIT和迭代无限可分的镶嵌，如凸观察窗口内的细胞边界的总表面积的方差。我们的技术，依靠鞅理论和工具，从积分几何，使我们能够得到明确的和渐近公式。基于这些结果，我们建立了STIT镶嵌诱导的长度/表面增量过程的泛函中心极限定理。我们得出了一个总棱长/小平面的中心极限定理，在平面的情况下，正常的极限分布和非正常的所有高维。
2010-03-29 math.PR
A Note on the Existence of Gibbs Marked Point Processes with Applications in Stochastic Geometry
本文推广了最近关于无限体积标记Gibbs点过程的一个存在性结果。我们尝试使用随机几何中的两个模型的存在性定理。首先，我们证明了在具有排斥作用的$\mathbb{R}^d$中存在Gibbs小面过程。我们还证明了具有吸引力的相互作用的有限体积吉布斯刻面过程不需要存在。然后，我们研究了$\mathbb{R}^2$的Gibbs-Laguerre曲面。上面提到的存在性结果不能使用，因为它的一个假设对镶嵌不满足，但是我们能够证明具有特定能量函数的无限体积吉布斯-拉盖尔过程的存在性，假设我们几乎肯定看到一个点。
2023-03-20 math.PR
Beta polytopes and Poisson polyhedra: $f$-vectors and angles
我们研究随机多面体的形式$[X_1,\ldots,X_n]$定义为凸包的独立和同分布的随机点$X_1,\ldots,X_n$在$\mathbb{R}^d$以下密度之一：$$ f_{d,β} (x) = c_{d,β} (1-\|x\|^2)^β, \qquad \|x\| < 1, \quad \text{(beta distribution, $β>-1$)} $$或$$ \tilde f_{d,β} (x) = \tilde{c}_{d,β} (1+\|x\|^2)^{-β}, \qquad x\in\mathbb{R}^d, \quad \text{(beta' distribution, $β>d/2$)}. $$这种设置还包括均匀分布的单位球和标准正态分布的极限情况。对于任意$k\in\{0,1,\ldots,d-1\}$，我们导出了$[X_1,\ldots,X_n]$的$k$ -面的期望个数的精确和渐近公式.我们证明，对于任何这样的$k$，这个预期的数字是严格单调递增的$n$。此外，我们计算预期的内部和外部的角度，这些多面体在每一个维度的面，更一般地说，预期的圆锥曲线的切线锥的内在体积。通过传递到beta'情形下的大$n$极限，我们计算了具有幂律强度函数的Poisson点过程凸包的期望$f$ -向量。利用凸对偶，我们得到了$\mathbb R^d$中一类各向同性Pois…
2020-02-02 math.MG math.PR
Critical Poisson hyperplane percolation in hyperbolic space has no unbounded cells
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；University of Münster（明斯特大学）；University of Oxford（牛津大学）
该研究证明在双曲空间中，临界强度下泊松超平面渗流不存在无界单元，揭示了该模型的基本相变特性。
2025-12-22 math.PR
Regenerative processes for Poisson zero polytopes
Universidad de Chile（智利大学）；Friedrich-Schiller-Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）
本文研究了泊松零多面体的再生过程，证明其为伯努利流，并探讨了其在STIT划分过程中的应用。
2017-08-29 math.PR
On strongly rigid hyperfluctuating random measures
与以前的信念相反，我们提供了平稳遍历随机措施的例子，这是超波动和强刚性。因此，我们研究由Poisson超平面镶嵌顶点构成的超平面交过程。已知这些HIP是超波动的，也就是说，有界观察窗口中的点的数量的方差比窗口的大小增长得更快。在这里，我们表明，HIP表现出特别强的刚性属性。对于任何有界博雷尔集$B$，指数小（有界）停止集足以重建$B$中所有点的位置，事实上，所有与$B$相交的超平面。因此，由任意（但固定）维度的超平面交点支持的随机测度也是超波动的。我们的例子有助于寻找相关性，密度波动和刚性属性之间的关系。
2020-08-25 math.PR
Random hyperbolic polyhedra in horoballs
TU Wien（维也纳工业大学）；University of Münster（明斯特大学）；Ruhr University Bochum（鲁尔大学波鸿分校）
本文研究双曲空间中水平球内泊松点过程的测地凸包，将其边界投影为对偶泊松-拉盖尔镶嵌，证明临界状态下收敛于泊松-德劳内镶嵌，并给出体积、表面积及顶点强度的精确渐近结果。
2026-09-10 math.MG math.PR
Degrees in the $β$- and $β'$-Delaunay graphs
Bernoulli Institute, University of Groningen（格罗宁根大学伯努利研究所）；CogniGron, University of Groningen（格罗宁根大学认知科学中心）
研究β-和β'-型维布恩图的典型单元，推导出互补定理，揭示典型单元的Φ内容分布及与形状无关性，并推导出分布的积分表示，进而得出面数分布的界，利用对偶性得出β-和β'-型德劳内三角剖分的典型度数界。
2026-06-29 math.PR
Face numbers of high-dimensional Poisson zero cells
令$\mathcal Z_d$是$d$维、各向同性和稳态泊松超平面镶嵌的零单元。本文研究了$\mathcal Z_d$的$k$维面的期望数的渐近行为，即$d\to\infty$ .例如，我们证明了$\mathcal Z_d$的超面的期望数目渐近等价于$\sqrt{2π/3}\, d^{3/2}$，作为$d\to\infty$。证明了$\mathbb R^{d}$中单位上半球面上独立均匀分布的$d$个随机向量所张成的随机锥的期望立体角渐近于$\sqrt 3 π^{-d}$，为$d\to\infty$ .
2022-03-18 math.PR
A general class of mosaic random fields
我们提出了一个拓扑空间$M$上的随机场模型，它统一了众所周知的模型，如泊松超平面细分模型，随机令牌模型和枯叶模型。除了将这些子模型从$\mathbb{R}^d$推广到其他空间，如$d$维单位球$\mathbb{S}^d$，我们的构造还扩展了经典模型本身，例如，通过用任意离散分布代替泊松分布。此外，构造方法直接产生精确和快速的模拟过程。通过研究一般模型的协方差结构，我们恢复了$\mathbb{R}^d$和$\mathbb{S}^d$上的各种显式相关函数，并得到了几个新的相关函数。
2017-09-05 math.PR
Improved bounds for the expected number of $k$-sets
给定一个有限的点集$S\subset\mathbb{R}^d$，$S$的$k$ -集是一个大小为$k$的子集$A \subset S$，它可以通过一个超平面与$S \setminus A $严格分离。类似地，点集$S$在一般位置上的$k$ -刻面是大小为$d$的子集$Δ\subset S$，使得由$Δ$跨越的超平面在一侧具有来自$S$的$k$点。对于概率分布$P$在$\mathbb{R}^d$上，我们研究了$E_P(k,n)$，$k$随机点样本的期望$k$ -刻面数。当$P$是$\mathbb{R}^2$上的一个分布，使得每条线的测度为0时，我们证明了$E_P(k,n) = O(n(k+1)^{1/4})$。我们的论证是基于Bárány和Steiger的一种技术。我们研究它是如何可能的，以提高这一界限使用连续版本的多项式分割定理。这激发了一个问题有关的交点的代数曲线和$k$ -边图的一组点。我们还研究了$k$ -集问题的一个变化的集合系统的范围组成的所有平移的一些严格凸体在平面上。其动机是表明，该技术由Bárány和Steiger是紧的一个自然家庭的设置系统。对于任何这样的一组系统，我们确定的预期数量的$k$ -集是紧对数因子的界限。
2022-03-21 math.CO math.MG math.PR
Angles of Random Simplices and Face Numbers of Random Polytopes
在$\mathbb R^d$中的单位球面上随机均匀拾取$d+1$点。这些点所张成的单形的角和的期望值是多少？在$d$维球中随机均匀选择$n$点。他们的凸包的期望面数是多少？我们回答这些和一些相关的问题随机几何。为此，我们计算随机单形的期望内角，其顶点是从以下$d$维分布之一采样的独立随机点：（i）密度与$(1-\|x\|^2)^β$成比例的β分布，其中$x$属于$\mathbb R^d$中的单位球;（ii）密度与$(1+\|x\|^2)^{-β}$成比例的β '分布，其中$x\in\mathbb{R}^{d}$。这些结果意味着以下随机多面体的期望面数的显式公式：（a）典型的Poisson-Voronoi胞;（b）Poisson超平面镶嵌的零胞;（c）定义为i.i.d.凸包的beta和beta'多面体。从相应的分布样本。
2020-03-03 math.CO math.MG math.PR
Exact Scale--Shape Factorization of the Typical Poisson--Voronoi Cell Volume in Arbitrary Dimension
Sun Yat-sen University（中山大学）
研究欧几里得空间中平稳泊松 - 沃罗诺伊镶嵌的典型胞体体积，通过推导精确尺度 - 形状分解，得出沃罗诺伊花体积性质，得到相关恒等式和界，简化下尾问题并推导渐近，模拟验证结果。
2026-08-18 cs.IT math.IT math.PR
The volume of hyperbolic Poisson zero cells: critical divergence and exact second moment
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Ruhr University Bochum（波鸿鲁尔大学）
研究超几何泊松分割中零细胞体积的第二矩临界发散及精确计算，揭示超临界与临界情况下的体积矩行为，通过调和分析工具推导出Meijer G函数表达式。
2026-04-07 math.PR
