关于四元数代数在 $\mathbb{Q}_p$ 上的一些模 $p$ 表示
On some mod $p$ representations of quaternion algebra over $\mathbb{Q}_p$
AI总结：
本文证明了在满足 Taylor-Wiles 假设的模 Galois 表示下，来自 Shimura 簇模 p 上同调的四元数代数表示具有 Gelfand-Kirillov 维数 1，并由此推出 Scholze 函子二阶在超奇异表示上消失，同时给出了可约情形下像的结构定理。
摘要：
设 $F$ 是一个全实数域，其中 $p$ 不分歧，$B$ 是一个在至多一个无限位点分裂的四元数代数。设 $\overline{r}:\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)\to \mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ 是一个满足 Taylor-Wiles 假设的模 Galois 表示。假设对于某个固定位点 $v|p$，$B$ 在 $v$ 处分歧，且 $F_v$ 同构于 $\mathbb{Q}_p$，并且 $\overline{r}$ 在 $v$ 处是泛的。我们证明了来自与 $B$ 相关的 Shimura 簇的模 $p$ 上同调的 $\mathbb{Q}_p$ 上四元数代数的容许光滑表示具有 Gelfand-Kirillov 维数 $1$。作为应用，我们证明了 Scholze 函子的二阶在 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的超奇异表示上消失。我们还证明了在可约情形下 Scholze 函子像的一些更精细的结构定理。
英文摘要：
Let $F$ be a totally real field in which $p$ is unramified and $B$ be a quaternion algebra which splits at at most one infinite place. Let $\overline{r}:\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)\to \mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ be a modular Galois representation which satisfies the Taylor-Wiles hypotheses. Assume that for some fixed place $v|p$, $B$ ramifies at $v$ and $F_v$ is isomorphic to $ \mathbb{Q}_p$ and $\overline{r}$ is generic at $v$. We prove that the admissible smooth representations of the quaternion algebra over $\mathbb{Q}_p$ coming from mod $p$ cohomology of Shimura varieties associated to $B$ have Gelfand-Kirillov dimension $1$. As an application we prove that the degree two Scholze's functor vanishes on supersingular representations of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$. We also prove some finer structure theorem about the image of Scholze's functor in the reducible case.
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