离散立方体上的加性能量
Additive energies on discrete cubes
AI总结：
本文证明了离散立方体子集的k阶高能量和加性能量的上界，并确定最佳指数，同时讨论了推广到一般离散立方体的问题。
摘要：
我们证明，对于 $d\geq 0$ 和 $k\geq 2$，对离散立方体 $\{0,1\}^d$ 的任意子集 $A$，$A$ 的 $k$ 阶高能量（即 $A^{2k}$ 中满足 $a_1-a_2=a_3-a_4=\dots=a_{2k-1}-a_{2k}$ 的 $2k$ 元组 $(a_1,a_2,\dots,a_{2k})$ 的个数）至多为 $|A|^{\log_{2}(2^k+2)}$，且 $\log_{2}(2^k+2)$ 是最佳可能的指数。我们还证明，若 $d\geq 0$ 且 $2\leq k\leq 10$，对离散立方体 $\{0,1\}^d$ 的任意子集 $A$，$A$ 的 $k$ 阶加性能量（即 $A^{2k}$ 中满足 $a_1+a_2+\dots+a_k=a_{k+1}+a_{k+2}+\dots+a_{2k}$ 的 $2k$ 元组 $(a_1,a_2,\dots,a_{2k})$ 的个数）至多为 $|A|^{\log_2{ \binom{2k}{k}}}$，且 $\log_2{ \binom{2k}{k}}$ 是最佳可能的指数。我们讨论了对于 $n\geq 2$ 的集合 $\{0,1,\dots,n\}^d$ 的类似问题。
英文摘要：
We prove that for $d\geq 0$ and $k\geq 2$, for any subset $A$ of a discrete cube $\{0,1\}^d$, the $k-$higher energy of $A$ (the number of $2k-$tuples $(a_1,a_2,\dots,a_{2k})$ in $A^{2k}$ with $a_1-a_2=a_3-a_4=\dots=a_{2k-1}-a_{2k}$) is at most $|A|^{\log_{2}(2^k+2)}$, and $\log_{2}(2^k+2)$ is the best possible exponent. We also show that if $d\geq 0$ and $2\leq k\leq 10$, for any subset $A$ of a discrete cube $\{0,1\}^d$, the $k-$additive energy of $A$ (the number of $2k-$tuples $(a_1,a_2,\dots,a_{2k})$ in $A^{2k}$ with $a_1+a_2+\dots+a_k=a_{k+1}+a_{k+2}+\dots+a_{2k}$) is at most $|A|^{\log_2{ \binom{2k}{k}}}$, and $\log_2{ \binom{2k}{k}}$ is the best possible exponent. We discuss the analogous problems for the sets $\{0,1,\dots,n\}^d$ for $n\geq 2$.
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