Directed strongly walk-regular graphs
我们将强行走正则性的概念推广到有向图。如果从一个顶点到另一个顶点的长度为$\ell$的行走次数仅取决于两个顶点是相同的、相邻的还是不相邻的，则我们称一个有向图为强$\ell$ -行走正则图，其中有$\ell >1$。这也推广了研究充分的强正则有向图和霍夫曼提出的一个问题。我们的主要工具是特征值方法。邻接矩阵可对角化且仅具有实特征值的情况类似于无向情况。我们证明了一个只有实特征值且邻接矩阵不可对角化的有向图$Γ$最多有两个$\ell$值，使得$Γ$是强$\ell$ -行走正则的，并且我们构造了这样的强行走正则有向图的例子.我们还考虑了具有非实特征值的有向图。我们给出了这样的例子，并刻画了有向图$Γ$，其中有无穷多个$\ell$，其中$Γ$是强$\ell$ -行走正则的。
2017-09-12 math.CO
Spectral theory of products of digraphs
给出了一种确定与有向图相关的特定矩阵的特征值和特征向量的统一方法。矩阵研究包括距离矩阵，距离拉普拉斯算子，距离无符号拉普拉斯算子，除了邻接矩阵，拉普拉斯算子，和无符号拉普拉斯算子。引入非负矩阵的Kronecker积的各种和来模拟有向图的笛卡尔积和字典序积。若尔当典范形在谱分析和特征向量分析中有着广泛的应用。分析表明，笛卡儿积提供了一种构造传递正则有向图无限族的方法，这些图具有很少的不同距离特征值。
2020-08-03 math.CO
On the energy of digraphs
设$D$是一个具有特征值$z_1,z_2,...,z_n$的简单有向图. $D$的能量定义为$E(D)= \sum_{i=1}^n |Re(z_i)|$，是特征值$z_i$的实部。本文给出了$D$谱半径的一个下界，改进了文献\cite{G-R}，\cite{T-C}中的一些下界.这一结果使我们能够得到一个上限的能量$ D $。最后，有向图的特征在于，这个上限提高了\cite{G-R}和\cite{T-C}中给出的界限。
2019-09-16 math.CO
Spectral bound for separations in Eulerian digraphs
有向图的谱与图的谱不同，是一个相对未被探索的领域。在有向图中，分离是一对顶点X和Y的集合，使得X和Y没有弧。对于欧拉有向图的一个子类，我们给出了一个关于分离度大小的拉普拉斯矩阵特征值的界。
2015-11-10 math.CO
Variations of the spectral excess theorem for normal digraphs
已知距离正则有向图是连通正规的。一个有趣的问题是：给定的连通正规有向图何时是距离正则的？基于这个问题，我们首先给出了弱距离正则有向图的一些刻画。特别地，我们证明了给定的连通有向图是否弱距离正则仅取决于两个不变量的相等性。然后证明了具有$d+1$不同特征值的连通正规有向图$\G$是距离正则的当且仅当（在距离$d$处的顶点之间的最短路径的数目的平均值的平方与距每个顶点的距离$d$处的顶点的数目的平均值的比率，如果$d$大于直径，则为零）等于光谱过量（可以从$\G$的光谱计算的数字）。事实上，这个结果是一个新的变化（一个简单的变化）的谱过剩定理，由于Fiol和Garigga的连通正规有向图。利用这些结果，我们得到了连通正规有向图的谱过剩定理的另一个变式（加权变式）。有向图（也是图）的距离正则性一般不由它的谱决定。对于简单变分的应用，我们证明了连通正规有向图$\G$（具有$d+1$不同的特征值）的距离正则性由它的谱和不变量$δ_d$（距离每个顶点$d$的顶点数的平均值）决定.最后，作为加权变分的应用，我们证明了具有不同特征值和直径$d+1$的连通正规有向图$\G$要么是二部图，要么是广义奇图，要么最多有$\min\{2d-1,2D+1\}$奇围长，推广了van Dam和Haemers的一个结果以及Lee和Weng的一个新结果.
2013-10-28 math.CO
On the $A_α$ spectral radius and $A_α$ energy of digraphs
设$G$是一个有向图，它的邻接矩阵为$A(G)$，对角矩阵为$D(G)$ .对于任何实数$α\in[0,1]$，有向图$G$的$A_α$矩阵$A_α(G)$定义为$A_α(G)=αD(G)+(1-α)A(G)$。具有最大模量的$A_α(G)$的本征值称为$G$的$A_α$谱半径。本文首先给出了有向图的$A_α$谱半径的一些上界，并刻画了达到这些上界的极有向图。此外，我们定义了有向图$G$的$A_α$能量为$E^{A_α}(G)=\sum\limits_{i=1}^n(λ^α_i(G))^2$，其中$n$是顶点数，$λ^α_i(G)$ $(i=1,2,\ldots,n)$是$A_α(G)$的特征值.我们得到了$E^{A_α}(G)$的一个公式，给出了$E^{A_α}(G)$的一个上下界，并刻画了达到上下界的极有向图.最后，我们在所有有向树和单圈有向图中分别刻画了具有最大和最小$A_α$能量的极有向图。
2021-07-14 math.CO
Hermitian adjacency matrix of digraphs and mixed graphs
本文利用有向图的厄米邻接矩阵，对有向图的谱进行了深入的研究。该矩阵由有向图的顶点索引，并且如果不存在反向弧$yx$，则对应于从$x$到$y$的弧的条目等于复数单位$i$（并且其对称条目是$-i$）。我们还允许两个方向上的弧和无方向的边，在这种情况下，我们使用$1$作为条目。这允许将该定义也用于混合图。这个矩阵有许多好的性质;它有实特征值，并且交织定理对有向图和它的导出子有向图成立。除了讨论基本性质外，我们还讨论了与无向图特征值性质的许多不同之处，并发展了基本理论。主要的新结果包括以下几个方面。几个令人惊讶的事实被发现的光谱半径;一些后果的交错财产获得;操作，保持频谱进行了讨论-他们产生了令人难以置信的数量的cospectral有向图;为每一个$0\leα\le\sqrt{3}$，所有有向图的频谱包含在间隔$(-α,α)$确定。
2015-05-06 math.CO
The spectra of lifted digraphs
我们提出了一种方法来获得的提升$Γ^α$的基本有向图$Γ$，电压分配（有限）组$G$的完整谱。该方法是基于分配给$Γ$一个类似于矩阵的元素的群代数$\mathbb{C}[G]$，它完全表示$Γ^α$的元素。这使我们能够根据基有向图和$G$的不可约特征标导出提升的特征向量和特征值。因此，我们的主要定理推广了Lováz和Babai关于Cayley有向图的谱的一些结果。
2017-07-14 math.CO
Eigenvalues of Cayley graphs
本文综述了Cayley图特征值的一些已知结果及其应用，以及Cayley图特征值的相关结果和Cayley图的推广。
2022-04-22 math.CO
The negative tetrahedron and the first infinite family of connected digraphs that are strongly determined by the Hermitian spectrum
到目前为止，由厄米特谱唯一确定的有向图已经被证明是难以捉摸的。相反，研究人员已经转向光谱确定类的开关等价的有向图，而不是个人的有向图。在本文中，我们考虑的传统概念：一个有向图（或混合图）被称为是强确定的埃尔米特谱（简称SHDS），如果它是同构的每一个有向图，它是共谱。令人信服的数字证据来支持这种属性是极其罕见的说法。尽管如此，还是构造了第一个无限族连通有向图，即SHS。这个族是通过在负四面体结构中引入孪生顶点而得到的。这个特殊的有向图，表现出极端的谱行为，包含在令人惊讶的小集合的所有有向图正好有一个负特征值，这是确定为一个中间结果。
2020-02-17 math.CO
On the $A_α$ spectral radius and $A_α$ energy of non-strongly connected digraphs
令$A_α(G)$为有向图$G$的$A_α$ -矩阵，而$λ_{α1}, λ_{α2}, \ldots, λ_{αn}$为$A_α(G)$的特征值。令$ρ_α(G)$为$G$的$A_α$谱半径，$E_α(G)=\sum_{i=1}^n λ_{αi}^2$为$G$的$A_α$能量。设$\mathcal{G}_n^m$是阶为$n$的非强连通有向图的集合，它包含唯一的阶为$m$的强分支和一些挂在强分支每个顶点上的有向树.本文刻画了$\mathcal{G}_n^m$中具有最大$A_α$谱半径和最大（最小）$A_α$能量的有向图.
2021-09-01 math.CO
On the Adjacency spectra of alternating-oriented $n$-gonal staircase digraphs
National Institute of Technology, Tokyo College（东京工业高等专门学校）；School of Computing, Institute of Science Tokyo（东京科学大学计算学院）
研究了交替定向n边阶梯有向图的邻接谱，通过分析其邻接矩阵的结构和性质，确定了非零特征值的分布和重数，并与Padovan螺旋数相关联。
2026-03-04 math.CO
Extremal Laplacian energy of $\overrightarrow{C_{k+1}}$-free digraphs
School of Science, Xi’an University of Posts & Telecommunications（西安邮电大学理学院）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
本文研究了无向图 $\overrightarrow{C_{k+1}}$-free 有向图的最大拉普拉斯能量，并确定了极值图的结构。
2026-03-11 math.CO
On the $A_α$ spectral radius of strongly connected digraphs
设$G$是一个具有邻接矩阵$A(G)$的有向图。设$D(G)$是$G$的顶点度为out的对角矩阵。Nikiforov \cite{Niki}提出研究无向图的度的邻接矩阵和对角矩阵的凸组合。Liu等人的\cite{LWCL}将该定义扩展到了有向图。对于任何实数$α\in[0,1]$，有向图$G$的矩阵$A_α(G)$定义为$$A_α(G)=αD(G)+(1-α)A(G).$$。$A_α(G)$的特征值的最大模称为$G$的$A_α$谱半径，记为$λ_α(G)$。本文证明了关于谱半径$λ_α(G)$的一些极值结果，推广了以前关于$λ_0(G)$和$λ_{\frac{1}{2}}(G)$的结果.特别地，我们刻画了$n$顶点上的所有$\widetilde{\infty}$ -有向图和$\widetildeθ$ -有向图中具有最大（或最小）$A_α$谱半径的极有向图.此外，我们确定了强连通双圈有向图中具有第二和第三小$A_α$谱半径的有向图。对于$0\leqα\leq\frac{1}{2}$，我们还确定了在$n$顶点上的所有强连通有向图中具有第二、第三和第四最小$A_α$谱半径的有向图。最后，我们刻画了在所有含有完全二部子有向图的强连通二部有向图中具有最小$A_α$谱半径的有向图。
2021-05-23 math.CO
The generalized distance matrix of digraphs
设$D(G)$和$D^Q(G)= Diag(Tr) + D(G)$分别是简单强连通有向图$G$的距离矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵，其中$Diag(Tr)=\textrm{diag}(D_1,D_2,$ $\ldots,D_n)$是有向图$G$的带点传递的对角矩阵.为了跟踪$D(G)$到$D^Q(G)$的渐变过程，本文提出研究由$$D_α(G)=αDiag(Tr)+(1-α)D(G), \ \ 0\leq α\leq1.$$定义的$D(G)$和$Diag(Tr)$的凸组合。具有$D_α(G)$的最大模的本征值称为$G$的$D_α$谱半径，用$μ_α(G)$表示。在所有强连通有向图中，确定了达到最大（或最小）$D_α$谱半径的有向图。此外，我们还确定了在给定的参数，如二色数，点连通度或弧连通度的强连通有向图中，达到最小$D_α$谱半径的有向图。
2018-11-19 math.CO
On Spectra of $\mathbb{T}$-Gain Digraphs
BITS Pilani K K Birla Goa Campus（比拉尼理工学院戈亚校区）
该研究发展了$\boldsymbol{\top}$-增益有向图的增益邻接、拉普拉斯等矩阵的谱理论，扩展了相关经典结果，确定了单圈有向图的谱，并刻画了圈平衡等性质。
2026-08-26 math.CO
Nut digraphs
本文将nut图推广并分类为多种nut有向图，证明ambi-nut有向图的结构性质，并给出无限族及系统构造方法。
2025-03-13 math.CO
Normally Regular Digraphs
参数为$(v,k,λ,μ)$的正则有向图是$v$顶点上的有向图，其邻接矩阵$A$满足方程$AA^t=k I+λ(A+A^t)+μ(J-I-A-A^t)$。这意味着每个顶点具有出度$k$，一对不相邻的顶点具有$μ$公共外邻居，由一个方向上的边连接的一对顶点具有$λ$公共外邻居，并且由两个方向上的边连接的一对顶点具有$2λ-μ$公共外邻居。我们经常假设两个顶点不能在两个方向上连接。证明了正规正则有向图的邻接矩阵是正规的。具有正规邻接矩阵的连通$k$-正则有向图是正规正则有向图当且仅当除$k$之外的所有特征值都在复平面的一个圆上。我们证明了几个不存在的结果，结构特征，和正常正则有向图的建设。在许多情况下，这些图是凯莱图的阿贝尔群和建设，然后根据一个概括的差集。我们还展示了与其他组合对象的连接：强正则图，对称2-设计和关联方案。
2014-10-30 math.CO
Generalized Sharp Bounds on the Spectral Radius of Digraphs
有向图G的谱半径ρ（G）是它的邻接矩阵的特征值的最大模。我们提出的ρ（G）的界限，往往是更严格的，适用于更大的一类有向图比以前报道的界限。计算最终的边界对特别适合于稀疏有向图。对于强连通有向图，我们得到了与有向图的出度正则性有关的界的等式条件。我们还证明了只有当ρ（G）是一个整数的r次根时，它们的界才相等，其中r整除G的幂指数.
2013-03-04 math.CO math.RA
Eigenvalues of the Hodge Laplacian on digraphs
针对有向图上 Hodge Laplacian 特征值的计算问题，提出利用归一化 Hodge 算子的乘积法则、Künneth 公式及与 $\mathcal{L}_{p}$ 的谱关系，得到 $n$-立方体和 $n$-环面上的完整谱。
2024-06-14 math.AT math.CO
The nature of the spectrum of generalized Paley graphs and weak Waring numbers over finite fields
Universidad Nacional de Córdoba（科尔多瓦国立大学）；FaMAF – CIEM (CONICET)（FaMAF – CIEM（阿根廷国家科学研究委员会））
本文研究了广义佩利图的谱性质，证明了其谱为实数当且仅当图无向，并利用 cyclotomic多项式构造了积分广义佩利图。同时探讨了有向广义佩利图的周期性和弱瓦ring数的计算方法。
2026-04-07 math.CO
Unit gain graphs with two distinct eigenvalue and systems of lines in complex space
自从有向图的厄米邻接矩阵被引入以来，人们对所谓的复单位增益图的兴趣激增。在这项工作中，我们考虑增益图的频谱包含两个不同的特征值的最小数量。类似于具有很少不同特征值的图，增益图需要大量的结构对称性才能达到这个最小值。这使我们能够通过与单位范数紧框架的自然对应，与复杂空间中研究得很好的线性系统画出令人惊讶的平行线。我们提供了一个完整的分类度至多为$4$，或多重性至多为$3$的两个特征值增益图。中间的结果包括广泛的审查各种相关概念的复杂空间中的线，包括SIC-POVMs，MUB和几何形状，如Coxeter-Todd格，和许多例子获得的诱导子图通过采用一种技术平行于拆除的关联计划。最后，我们触及模拟退火的一个创新应用，通过计算机来寻找例子。
2021-05-19 math.CO
Eigenvalues and factors: a survey
本文从特征值角度综述图的因子相关研究，涵盖历史综述、刻画方法及最新进展。
2023-12-26 math.CO
On the spectra of nonsymmetric Laplacian matrices
拉普拉斯矩阵是具有非正非对角元素和零行和的正方形实矩阵。作为与加权有向图相联系的矩阵，它推广了普通图的拉普拉斯矩阵。标准化拉普拉斯矩阵是非对角项的绝对值不超过1/n的拉普拉斯矩阵，其中n是矩阵的阶。研究了Laplacian矩阵的谱以及Laplacian矩阵与随机阵的关系。本文证明了标准化Laplacian矩阵是收敛的。标准化拉普拉斯矩阵的特征值0和1的重数分别等于相应有向图的森林维数和互补有向图的森林维数之小于。这些特征值是半单的。标准化拉普拉斯矩阵的谱属于两个闭合圆盘的交点，一个以1/n为中心，另一个以1-1/n为中心，每个圆盘的半径为1- 1/n，还有两个闭合角，一个以从1画出的两条半直线为界，另一个以从0画出的两条半直线为界，通过某些点。本征值的虚部由1/（2n）cot（pi/2n）限定;当n趋于无穷大时，这个最大值收敛到1/pi。关键词：Laplacian矩阵;图的Laplacian图谱;加权有向图;有向图的森林维数;随机阵
2005-08-10 math.CO math.SP
Ordering digraphs with maximum outdegrees by their $A_α$ spectral radius
本文研究强连通有向图的 $A_α$ 谱半径排序，通过给出两个上界，证明在最大出度满足特定条件时，具有更大最大出度的有向图具有更大的 $A_α$ 谱半径（或相差不超过 $\frac{1}{4}$）。
2025-01-18 math.CO
Rationality conditions for the eigenvalues of normal finite Cayley graphs
给定一个有限群G，我们说G的一个子集C是幂闭的，如果对于C中的每个x和具有=的y<x><x><y>，我们有y位于C中。本文研究了G上具有连通集C的有限Cayley有向图Cay（G，C），其中C是G的共轭类的并.我们证明了Cay（G，C）的每个特征值都是积分的当且仅当C是幂闭的.这个结果将从Cay（G，C）的特征值的一些更一般的合理性条件的讨论中得出。
2014-02-22 math.CO math.GR
Digraph Laplacian spectra: The 2005 polygon conjecture fails for all orders above four
Technion—Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
针对有向图拉普拉斯谱，通过构造特定有向图，证明2005年多边形猜想不成立，得到了该猜想的反例。
2026-10-30 math.CO math.RA math.SP
Cayley Digraphs of Matrix Rings over Finite Fields
利用矩阵环上的\emph{unit-graphs}和\emph{special unit-digraphs}证明了当$n>1$时，$\Bbb F_q$上的每个$n \times n$非零矩阵都可以表示为两个$\operatorname{SL}_n$ -矩阵之和.我们计算这些图的Kloosterman和的特征值，并研究其谱性质，并证明，如果$X$是$\operatorname{Mat}_2 (\Bbb F_q)$的大小为$|X| > \frac{2 q^3 \sqrt{q}}{q - 1}$的子集，那么$X$包含至少两个不同的矩阵，其差异有行列式$α$任何$α\in \Bbb F_q^{\ast}$。利用这个结果，我们还证明了一个和积型结果：如果$A,B,C,D \subseteq \Bbb F_q$满足$\sqrt[4]{|A||B||C||D|}= Ω(q^{0.75})$为$q \rightarrow \infty$，则$(A - B)(C - D)$等于$\Bbb F_q$的全部.特别地，如果$A$是具有基数$|A| > \frac{3} {2} q^{\frac{3}{4}}$的$\Bbb F_q$的子集，则子集$(A - A) (A - A)$等于全部$\Bbb F_q$。我们还恢复了一个经典的结果：任何奇数阶的有限环中的每个元素都可以写成两个单位的和。
2017-10-24 math.CO math.RA math.SP
The Iterated Local Directed Transitivity Model for Social Networks
我们引入了一个新的有向图模型的社交网络，基于三元组的传递性。在迭代局部有向传递性（ILDT）模型中，新节点在离散时间步上产生，并继承其父结点的链接结构。ILDT模型可以被看作是\cite{ilt}中引入的无向图的ILT模型的有向模拟。我们研究了ILDT有向图的网络科学和图论性质。我们证明了ILDT模型具有致密化幂律，因此模型生成的有向图随时间而致密化。研究了有向三元组的个数，给出了有向3-圈和传递$3$ -圈的个数. ILDT模型产生了更多的传递3-圈，如在现实世界中发现的，在线社交网络。在所选初始有向图的许多实例中，该模型最终生成具有哈密尔顿有向圈的图。最后，我们讨论了ILDT有向图的邻接矩阵的特征值，并提供了进一步的方向。
2020-04-05 cs.SI math.CO
Seidel switching for weighted multi-digraphs and its quantum perspective
具有相等特征值的图（共谱图）的构造是谱图论中一个有趣的问题。Seidel切换是用于生成共谱图的众所周知的方法。从矩阵理论的角度来看，赛德尔切换是图上的一些酉操作的组合动作。最近的工作[1]和[2]表明了图和量子信息论之间的重要联系。对应于任何图的拉普拉斯矩阵，都有量子计算中有用的量子态。从这个角度来看，图论问题在量子信息的背景下是有意义的。这项工作描述了赛德尔开关从量子的角度来看。在这里，我们将Seidel切换推广到加权有向图。我们用它来构造图具有相等的拉普拉斯谱和无符号的拉普拉斯谱，并考虑对应于它们的密度矩阵。因此，赛德尔开关是一种生成共谱密度矩阵的技术。其次，我们证明了在Seidel切换中使用的所有酉算子都是全局酉算子。整体酉算子可以用来产生量子纠缠，这是量子信息处理中的一个基准现象。
2016-08-28 math-ph math.CO math.MP
Spectrum of the Unit-Graph on $\mathrm{Mat}_3(\mathbb{F}_q)$
本文研究了有限域上3×3矩阵环的单位图的谱，通过特征理论证明该图有四个不同特征值及其重数。
2026-07-16 math.CO
On the spectrum of complex unit gain graph
本文研究复单位增益图的谱性质，建立图是树的谱等价条件，刻画一类连通图上谱半径的界，并给出谱半径等于最大顶点度的增益图特征，推广了有向图 Hermitian 邻接矩阵的相关结果。
2023-04-17 math.CO
On the second eigenvalue of random bipartite biregular graphs
本文研究随机二部双正则图邻接矩阵的第二特征值，利用尺寸偏置耦合和新切换操作证明其谱隙为 $O(\sqrt{d_1})$，并推广到随机正则有向图的第二奇异值估计。
2022-07-15 math.CO math.PR
