Quantum Calogero-Moser systems: a view from infinity
本文讨论了Calogero-Moser算子的各种无限维形式与对称函数理论和基本经典李超代数表示理论的关系。这是第二作者于2009年8月在布拉格举行的第十六届国际数学物理大会上的特邀演讲的一个版本。
2009-10-28 math-ph math.MP
Low-dimensional tori in Calogero-Moser-Sutherland systems
Beijing Institute for Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（上海数学与交叉学科研究院）；Department of Mathematics, Yau Center for Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心数学系）；St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Department of Mathematics, UC Berkeley（加州大学伯克利分校数学系）
本文研究了Calogero-Moser-Sutherland系统中李群SU(n)的相空间分层结构，通过构造动量-角坐标并计算辛形式，证明了各层与特定流形的辛同胚关系。
2026-03-06 math-ph math.MP nlin.SI
Conformal mechanical treatment of Calogero-Moser model and infinite dimensional Lie algebra of conformal Galilei type
给出了束缚在谐振子势中的Calogero-Moser粒子与无限维李代数的表示理论之间的关系，该李代数是维拉索罗代数及其模的半直和.更准确地说，它是代数上Verma模中的奇异向量与模型的激发态的对应关系。这是通过模型的时间演化算子的自由场实现发现的。我们研究了Verma模，并给出了奇异向量的一些显式例子.
2019-04-01 hep-th math-ph math.MP
Integrability and separation of variables in Calogero-Coulomb-Stark and two-center Calogero-Coulomb systems
提出了N维可积Calogero-Coulomb-Stark系统和双中心Calogero-Coulomb系统，并通过Dunkl算子构造了它们的运动常数.他们的薛定谔方程在抛物和椭圆坐标系中解耦成三个微分方程组，就像库仑-斯塔克和双中心库仑问题一样。Calogero项保留了能级，但改变了它们的简并度。
2016-02-25 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Spherical Calogero model with oscillator/Coulomb potential: classical case
利用矩阵模型约化方法构造了N维球面上Calogero-oscillator模型和Calogero-Coulomb模型的哈密顿量和对称生成元。我们的方法还产生了球体上的可积Calogero-Coulomb-Stark模型，并证明了所有这些系统的自旋扩展的可积性。
2016-03-31 hep-th math-ph math.MP
Exactly solvable potentials of Calogero type for q-deformed Coxeter groups
我们建立，通过参数化的q-变形的Coxeter群的多项式不变量的一维量子系统的配置空间，它是可能的构造Calogero型的精确可解模型。我们采用以前介绍的概念，可解性，其中包括有关的哈密顿有限维表示空间的李代数。我们明确提出的$G_2^q $的情况下，我们通过适当的规范变换构造的潜力。
2004-10-08 hep-th math-ph math.MP
BC-infinity Calogero-Moser operator and super Jacobi polynomials
引入并研究了$BC$型Calogero-Moser算子的无限维形式及其相应的Jacobi对称函数，包括Pieri公式和Okounkov二项式公式的类似形式.我们用这个来描述所有的理想线性生成的Jacobi对称函数，并表明变形$BC(m,n)$ Calogero-Moser运营商，介绍了我们以前的工作，出现在这里以自然的方式作为限制的$BC_{\infty}$运营商相应的有限维子簇。作为推论，我们得到了这些量子系统的可积性和有关超雅可比多项式的所有主要公式。
2009-06-11 math-ph math.MP math.QA
Asymptotic boundary KZB operators and quantum Calogero-Moser spin chains
本文为有限中心连通实半单李群定义渐近边界 KZB 算子，证明其交换性由耦合动力学 Yang-Baxter 与反射方程控制，并引入量子 Calogero-Moser 自旋链，给出其哈密顿量与薛定谔算子显式形式。
2025-02-28 math-ph math.MP math.RT
Superintegrability of (generalized) Calogero models with oscillator or Coulomb potential
我们变形N维（欧几里德，球面和双曲）振荡器和库仑系统，取代他们的角自由度的广义理性Calogero模型。使用作用角描述，它是建立最大超可积性保持。对于具有库仑势的有理Calogero模型，我们通过矩阵模型约化给出了所有的运动常数.特别是，我们构建了类似的Runge-Lenz矢量。
2014-09-29 hep-th math-ph math.MP
Sklyanin Bracket and Deformation of the Calogero-Moser System
通过对Sklyanin代数作用的辛约化，构造了一个二维可积系统，它是有理Calogero-Moser系统的变形.我们明确地解决了各自的经典运动方程通过投影方法和投影系统。
2001-09-12 hep-th math-ph math.MP
Generalized Calogero model in arbitrary dimensions
我们定义了一个新的多物种模型Calogero型在D维调和，两体和三体相互作用。利用共形SU（1，1）代数，我们指出如何在Bargmann-Fock空间中找到完整的状态集。存在状态塔，每个塔中具有等距的能量谱。我们显式地构造了所有多项式本征态，即质心态和整体伸缩模，并找到了它们对应的本征能。我们还为这些全局集体状态构建了梯形算子。通过分析相应的Fock空间，我们发现了模型出现奇异行为的普遍临界点。上述结果对所有具有共形SU（1，1）对称性的系统都是普适的。
2004-05-14 hep-th math-ph math.MP
Matrix oscillator and Calogero-type models
研究了具有二次哈密顿量和变形对易关系的单矩阵振子。它等价于一维的多物种Calogero模型，具有反平方二体和三体相互作用。特别地，我们构造了一个新的矩阵实现的Calogero模型的全同粒子，而不使用交换算子。奇异行为发生的临界点进行了简要讨论。
2004-08-31 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Integrable and Superintegrable Extensions of the Rational Calogero-Moser Model in 3 Dimensions
我们考虑一类3自由度的Hamilton系统，具有一种特殊类型的二次积分，其中包括有理Calogero-Moser系统作为一个特殊情况。对于一般类，我们引入分离坐标来找到一般的可分（因此刘维尔可积）系统，有两个二次积分。这给出了一个耦合的Calogero-Moser系统与一大类的潜力，概括了一系列的潜力是可分离的抛物线坐标。特殊情况是{ \em superintegrable}，包括开普勒和共振振荡器。本文的初始计算涉及的是平坦（笛卡尔型）动能，但在\ref{sec:conflat-general}部分，我们引入了一个{ \em保形因子} $φ$到$H$，并将两个二次积分推广到这种情况。所有以前的结果推广到这种情况。然后，我们引入了一些二维和三维对称代数的动能（Killing向量），限制共形因子。这使我们能够减少我们的系统从3到2自由度，从而产生了许多有趣的系统，包括开普勒型和Hénon-Heiles型的潜力达布-柯尼希斯$D_2$的背景。
2021-11-30 math-ph math.MP nlin.SI
From Spinning Conformal Blocks to Matrix Calogero-Sutherland Models
本文进一步发展了含外自旋场的共形四点块与具有矩阵值势的Calogero-Sutherland量子力学之间的关系。为此，\cite{Schomerus:2016epl}的分析扩展到任意尺寸和边界两点函数的情况下。特别地，我们构造了任何一组外部张量场的势。一些由此产生的薛定谔方程显式映射到已知的Casimir方程的4维种子共形块。我们的方法将Casimir方程的解用保形群上的函数表示，并给出了任意自旋和维数的外场。这使我们能够重新解释标准的操作共形块的群论对象。特别地，我们将讨论通过作用于种子块的微分算子构造任意维的自旋块与左/右不变向量场对共形群的作用之间的关系。
2017-11-06 hep-th math-ph math.MP
Generalized oscillator representations for generalized Calogero Hamiltonians
本文是前一篇论文\cite{TyuVo13}的自然延续，其中构造了具有势$V(x)=α/x^2$的Calogero Hamilton算子的广义振子表示，$α\geq-1/4$。本文给出了所有具有势$V(x)=g_{1}/x^2+g_{2}x^2$，$g_{1}\geq-1/4$，$g_{2}>0$的广义Calogero Hamilton算子的广义振子表示.这些表示通常是高度非唯一的，但存在一个最佳的表示为每个哈密顿量，表示明确确定的基态和基态能量。对于具有耦合常数$g_1<-1/4$或$g_2<0$的广义Calogero哈密顿量，广义振子表示不存在，这与相应的哈密顿量从下面没有界的事实相一致。
2013-11-15 math-ph math.MP quant-ph
Supersymmetric Extensions of Calogero--Moser--Sutherland like Models: Construction and Some Solutions
我们介绍了一类新的模型相互作用的粒子。我们的构造是基于某些超空间上径向坐标的雅可比行列式。由此产生的模型包含两个参数，确定相互作用的强度。这扩展和推广的Calogero-Moser-Sutherland型模型的相互作用粒子在普通的空间。后者作为特例包含在我们的模型中。利用我们以前对超空间中的球函数所得到的结果，我们得到了解的各种性质和一些显式形式。我们提出物理解释。我们的模型涉及两种相互作用的粒子。其中一个模型可以看作是描述一维半导体的上下能带中的相互作用电子。另一种模型是准二维的。两种粒子被限制在两个不同的空间方向，相互作用包含偶极-偶极力或张量力。
2005-10-10 math-ph math.MP
Spherical Calogero model with oscillator/Coulomb potential: quantum case
我们考虑N维球上振子或库仑势中Calogero模型的量子力学。它们的哈密顿量是通过对球上的振子/库仑系统进行适当的Dunkl变形及其对Coxeter反射对称波函数的限制而得到的。用同样的方法，我们也找到了对称生成元，并计算了它们的代数。
2016-03-31 hep-th math-ph math.MP
Inequivalent quantization of the rational Calogero model with a Coulomb type interaction
考虑了具有库仑型相互作用的$N$ -体有理Calogero模型的不等价量子化.证明了在一定的耦合常数范围内，该系统存在单参数自伴扩张族。我们分析了绑定和散射状态部门，并找到新的解决方案，这个模型。我们还找到了这个系统的梯形算子，用它可以构造出以前已知的解。
2008-08-22 hep-th math-ph math.MP
Self-adjoint extensions and spectral analysis in Calogero problem
本文对粒子在Calogero势$αx^{-2}$中的一维运动进行了严格的量子力学处理。虽然这个问题是相当古老和研究，我们相信，我们的考虑，基于一个统一的方法来构建一个正确的量子力学描述的系统与奇异的潜力和/或边界，在我们以前的工作中提出的，增加了一些新的点，它的解决方案。为了证明Calogero问题的考虑需要数学的准确性，我们讨论了一些“悖论”固有的“天真”的量子力学治疗。我们研究了所有可能的自伴算子（自伴哈密顿算子）与Calogero哈密顿算子的正式微分表达式。此外，我们还讨论了与自伴扩张相关的自发标度对称破缺。给出了所有自伴哈密顿算子的完整谱分析。
2009-03-30 hep-th math-ph math.MP
A_N-type Dunkl operators and new spin Calogero-Sutherland models
构造了一类新的保有限维多项式子空间的A_N型Dunkl算子。利用这些算符的一般二次组合和通常的Dunkl算符，得到了几类新的精确和准精确可解的量子自旋Calogero-Sutherland模型.这些包括，特别是，三个家庭的准精确可解椭圆自旋哈密顿。
2001-02-07 hep-th math-ph math.MP
Pseudo-bosons for the $D_2$ type quantum Calogero model
在本文的第一部分中，我们展示了一个简单的系统，一个二维量子谐振子，可以描述的伪玻色子变量。当系统的{ \em自然}希尔伯特空间，在这种情况下是$L^2({\bf R}^2)$，由于某种原因，不是最合适的时候，这个明显的{ \em奇怪}选择是有用的。这正是本文第二部分中考虑的$D_2$型量子Calogero模型所发生的情况，其中希尔伯特空间$L^2({\bf R}^2)$似乎是一个不适当的选择，因为相关哈密顿量的本征向量不是平方可积的。然后我们讨论了如何从模型中产生的某种交织算子可以用来固定一个不同的希尔伯特空间更{ \em有用}。
2013-05-02 math-ph math.MP
Calogero-Moser-Sutherland systems
本文综述一维 Calogero-Moser-Sutherland 型可积多体系统，涵盖经典与量子、非相对论与相对论情形，重点讨论可积性、显式解、作用-角变量与双谱对偶性及其历史与联系。
2024-08-09 math-ph math.MP nlin.SI
Soliton solutions of Calogero model in harmonic potential
已知外调和势中的经典Calogero模型对任意数量的粒子都是可积的。我们认为在这里减少发挥作用的“孤子”解决方案的模型。我们得到这些解决方案的模型与有限数量的粒子和流体动力学限制。在后者的限制，该模型是由流体动力学方程的连续密度和速度场。在这种情况下，孤子解是流体动力学模型的有限维简化，描述了非平凡背景中密度和速度块的传播。
2011-03-31 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Hermite and Laguerre Symmetric Functions Associated with Operators of Calogero-Moser-Sutherland Type
我们介绍和研究自然推广的Hermite和Laguerre多项式在环的对称函数作为本征函数的无限维类似物的部分微分算子的Calogero-Moser-Sutherland（CMS）型。特别是，我们得到的生成函数，对偶关系，从Jacobi对称函数的极限转移，和Pieri公式，以及相应的运营商的可积性。我们还确定了由Hermite或Laguerre对称函数所张成的对称函数环中的所有理想，并通过将相应的无限维CMS算子限制到由这些理想所给出的商环上，我们得到了所谓的变形CMS算子。由于这种限制程序，我们推导出，特别是，无限套的多项式本征函数，我们将被称为超级厄米和超级拉盖尔多项式，以及可积性，这些变形CMS运营商。我们还介绍和研究一系列的广义超几何类型，在对称函数和“超级”多项式的背景下。
2012-08-03 math-ph math.MP math.QA
Interacting families of Calogero-type particles and SU(1,1) algebra
本文研究了一类具有F相互作用的Calogero型粒子的一维模型。该模型包括谐波，两体和三体相互作用。我们强调了模型的普遍SU（1，1）结构。我们证明了整个系统的SU（1，1）生成元是如何由任意子系统的SU（1，1）生成元构成的。我们找到了对应于F族模型的一类精确本征态的精确本征能。通过引入三体相互作用的条件，我们发现了耦合常数与三体相互作用的关系。最后，我们建立了包含F族Calogero型粒子的两个系统之间的一些等价关系。
2004-05-14 hep-th math-ph math.MP
Turbulent Threshold for Continuum Calogero-Moser Models
本文确定了聚焦连续 Calogero-Moser 模型 Sobolev 范数增长的精确质量阈值为 $2\pi$，证明了质量超过该阈值时存在解在最大寿命端点发生范数无穷发散，并给出了孤子轨道稳定性与色散衰减界。
2024-01-29 math-ph math.AP math.MP
One-parameter discrete-time Calogero-Moser system
本文提出单参数离散时间Calogero-Moser系统，通过带参数Lax对、离散Lagrangian闭合关系及与Ruijsenaars-Schneider系统的联系证明其可积性，并在参数趋于零时恢复标准CM系统。
2023-05-30 math-ph math.MP nlin.SI
A multispecies Calogero model
本文研究了具有二体和三体相互作用的多种群一维Calogero模型。使用代数方法（福克空间分析），我们构造阶梯算子，并找到无穷多个，但不是所有的，精确的本征态的模型哈密顿量。除了基态能量外，我们还推导了激发态的能量。结果表明，光谱在量子数上是线性的，并且较高的能级是简并的。负责简并的动力学对称性是SU（2）。我们还发现了普遍的临界点，在该模型表现出奇异行为。最后，我们联系了文献中提到的一些特殊情况。
2004-05-14 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
On the Calogero-Moser solution by root-type Lax pair
有理Calogero-Moser系统的“根型拉克斯对”对于任何单根系都不能给出路径q（t）的解，而是给出内积（α，q（t））的值的解，其中α的范围是根系的所有根。但是，它并没有告诉我们哪一个内积的值对应于哪一个根。我们表明，解决方案确实是唯一的这些值（根系统自同构）在几乎所有的时间。我们通过反例证明了两个不同的q值有可能产生相同的内积（α，q）值集。由根系自同构引入的不确定性引起了路径何时穿过基本域的边界的问题。我们提出了一个代数方法来构建一个包含这些信息的指示函数。
2011-11-30 hep-th math-ph math.DS
New spin Calogero-Sutherland models related to B_N-type Dunkl operators
本文构造了几类新的具有内自由度的精确可解和拟精确可解的BC_N型Calogero-Sutherland模型。我们的方法是基于引入两个新的B_N型Dunkl算子族，它们与原来的B_N型Dunkl算子一起，被证明是保持某些有限维多项式子空间的。我们证明了一个广泛的二次组合，涉及这三套Dunkl算子总是产生一个自旋Calogero-Sutherland模型，这是（准）精确可解的建设。我们表明，所有的自旋Calogero-Sutherland模型可以在这个框架内得到的Weierstrass P函数与适当的半周期，可以表示在一个统一的方式。这为Olshanetsky和Perelomov提出的BC_N型标量完全可积势的一般公式提供了一个自然的自旋对应。作为我们方法的一个例子，我们精确地计算了自旋为1/2的两个和三个粒子的椭圆型准精确可解势的几个能级及其相应的波函数。
2001-04-18 hep-th math-ph math.MP
Generalised Calogero-Moser models and universal Lax pair operators
Calogero-Moser模型可以推广到所有的有限反射群。这些模型包括基于非晶体学根系的模型，即有限反射群H_3，H_4和二面体群I_2（m）的根系，除了众所周知的基于晶体学根系的模型，即那些与李代数相关的模型。通用的拉克斯对运营商的所有广义Calogero-Moser模型和任何选择的潜力被构造为线性组合的反射运营商。一致性条件被简化为拉克斯对中反射算子的系数函数的函数方程。对应于二维子根系的这类函数方程只有A_2、B_2、G_2和I_2（m）四类。在我们以前的论文中导出的根型和最小型拉克斯对作为最简单的表示。拉克斯对算符与Dunkl算符有很强的相似性，而Dunkl算符是求解量子Calogero-Moser模型的有力工具。
1999-05-03 cond-mat hep-th math-ph
Inequivalent quantizations of the three-particle Calogero model constructed by separation of variables
我们通过分离薛定谔方程，遵循Calogero的经典工作，但允许角向和径向哈密顿量的所有可能的自伴边界条件，来求解具有谐波和平方对反势的一维三体问题。取耦合常数的平方反比为$g=2ν(ν-1)$与${1/2} <ν< {3/2}$，然后证明角哈密顿量允许与其势项$9 ν(ν-1)/\sin^2 3ϕ$的二面角$D_6$对称性相容的2参数族不等价量子化。这些参数化的矩阵$U\in U(2)$满足$σ_1 U σ_1 = U$，并在所有情况下，我们描述的角本征值的定性特征和分类的本征态下的$D_6$对称性和$S_3$子组产生的粒子交换。角本征值$λ$通过势$(λ-{1/4})/r^2$进入径向哈密顿量，如果$λ<1$，则允许在$r=0$处的1参数族自伴边界条件。对于$0<λ<1$，我们对径向薛定谔方程的分析与以前关于可能的能谱的结果是一致的，而对于$λ<0$，它表明能量从下面不受限制，拒绝了那些$U$承认的物理上不允许的本征值。允许的自伴角哈密尔顿算子包括，例如，情况$U=\pm {\bf 1}_2, \pm σ_1$，这是明确可解的，并详细介绍。选择$U=-{\bf 1}_2$再现Calogero的量化，而对于选择$U=σ_1$，系统在极限$ν\to 1$中平滑地连接到谐振子。
2005-05-02 hep-th math-ph math.MP
Some connections between the Classical Calogero-Moser model and the Log Gas
本文讨论了一维$N$粒子与排斥性平方反比势相互作用并被限制在谐振势中的系统（Calogero-Moser模型）与随机矩阵理论中出现的对数气体模型之间的联系。这两种模型具有相同的最小能量配置，粒子位置由Hermite多项式的零点给出。此外，描述平衡点附近的小振荡的海森也相关的两个模型。Calogero-Moser模型的Hessian矩阵是对数气体的Hessian矩阵的平方。我们通过蒙特卡罗模拟研究这两种模型的有限温度平衡性质，进一步探索这种联系。特别地，我们研究了对数气体中单个粒子的分布和边界粒子的边缘分布，它们分别由Wigner半圆和Tracy-Widom分布给出。对于粒子的散装，其中典型的波动是高斯，我们发现，从小振荡理论得到的数值结果是非常好的协议与蒙特卡罗模拟结果的两个模型。对于对数气体，我们的研究结果同意严格的随机矩阵理论的结果。
2019-03-22 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Quantum-classical duality for Gaudin magnets with boundary
本文建立了带边界的量子Gaudin模型与经典李代数（B，C，D）的根系统所对应的Calogero-Moser型多体可积系统之间的显著关系.我们表明，根据识别的谱的Gaudin哈密顿量$H_j^{\rm G}$与粒子速度$\dot q_j$的经典模型的所有积分的运动，后者取零值。这是先前在具有周期边界条件的Gaudin模型和与A型根系统相关的Calogero-Moser模型中观察到的量子经典对偶性的推广。
2020-01-24 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Deformed Calogero--Moser operators and ideals of rational Cherednik algebras
Cornell University（康奈尔大学）；University of Leeds（利兹大学）
本文研究了一类超平面排列，构造了Calogero-Moser型的二阶偏微分算子，并证明其完全可积性，同时探讨了Cherednik代数中的位移算子与理想，提出了新的BC型算子例子。
2022-01-10 math-ph math.MP math.RA
Calogero-Moser Systems as a Diffusion-Scaling Transform of Dunkl Processes on the Line
Calogero-Moser系统是一系列一维相互作用的粒子系统，它们在经典和量子力学上都是可积的。它们的可积性是通过使用Dunkl算子（一系列微分-差分算子，取决于抽象向量集或根系的选择）建立的。同时，Dunkl算子被用来定义一族随机过程，称为Dunkl过程。我们在以前的文章中指出，当对称Dunkl过程在根系A（N-1）上的相互作用的耦合常数趋于无穷大（冻结区）时，其最终构型与Hermite多项式的根成正比。还已知的是，具有粒子交换的Calogero-Moser系统的粒子的位置在冻结状态中固定在Hermite多项式的根处。虽然这两个系统都呈现出依赖于厄米多项式的根的冻结行为，但这种相似性的原因到目前为止一直是一个悬而未决的问题。在目前的工作中，我们引入了一种新的类型的相似性变换称为扩散-尺度变换，其中一个新的空间变量是由一个扩散-尺度变量使用原始的空间和时间变量构造。我们证明了任意根系上的抽象Calogero-Moser系统是同一根系上Dunkl过程的扩散标度变换。由此证明了A（N-1）上两个系统相似的冻结行为源于它们相似的数学结构。
2012-11-28 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Generating QES potentials supporting zero energy normalizable states for an extended class of truncated Calogero Sutherland model
本研究针对有理扩展多体截断Calogero-Sutherland模型，基于带$so(2,1)$结构的势群方法与点正则变换，得到三类同本征值的准精确可解势，证明其存在零能量可归一化束缚态。
2024-10-07 hep-th math-ph math.CA
Parent Hamiltonians of Jastrow Wavefunctions
我们找到了基态为Jastrow形式的多体量子哈密顿量的完整族，它涉及任意空间维度上对函数的两两乘积。母哈密顿量通常包括两体成对势和三体势。因此，我们推广的Calogero-Marchioro建设的三维情况下，任意空间维度。由此产生的家庭的模型进一步扩展到包括一个单一的长期代表的外部潜力，这引起了一个额外的远程两体相互作用。使用这个框架，我们提供了推广到任意空间维度的知名系统，如Calogero-Sutherland和Calogero-Moser模型。我们还引入了新的模型，将麦奎尔多体量子亮孤立子解推广到更高维度，并考虑基态，其中涉及例如，多项式、高斯、指数和双曲对函数。最后，我们展示了如何对函数进行反向工程，以构建具有给定势（例如成对汤川势）的模型，并识别仅由三体相互作用控制的模型。
2021-09-26 cond-mat.str-el hep-th math-ph
