Rigorous Asymptotics for the Lamé and Mathieu Functions and their Respective Eigenvalues with a Large Parameter
应用[Olver F. W. J.]中关于二阶线性微分方程的两个转向点的理论，Philos. Roy译。Soc. London Ser.A278（1975），137-174]，本文第一部分给出了具有大实参数的Lamé和Mathieu函数的一致渐近逼近。这些近似用抛物柱面函数表示，并且在它们各自的实开区间内一致有效。在所有情况下，都为与近似值相关的误差项提供了明确的界限。近似也得到了相应的特征值的大顺序的行为。我们只限于两项一致逼近。从理论上讲，这些近似中的更多项可以计算，但系数将非常复杂。在本文的第二部分中，我们用一种简化的方法得到了这些函数的一致渐近展开。系数只是多项式，并满足简单的递归关系。付出的代价是，这些渐近展开只在它们各自的参数变大时的收缩区间内成立;然而，这个区间包含了函数的所有有趣的振荡行为。这种简化的方法还给出了这些特征值的渐近展开中的许多项，这些项与函数展开中的系数同时导出。我们提供了严格的现实误差界截断时的函数展开和顺序估计的错误时，截断的特征值展开。本文证实了文献中的许多形式结果是正确的。
2015-11-24 math.CA
Asymptotic expansions of several series and their application
发现了序列$\sum_{k=0}^\infty ε^k(k+a)^γe^{-(k+a)^αx}$和$\sum_{k=0}^\infty ε^k(k+a)^γ/ (x(k+a)^α+1)^μ}$在$x\to+0$的幂上的渐近展开式，其中$ε=1$或$ε=-1$。利用这些展开式得到了Mathieu级数的精确不等式。关键词：渐近展开，残基，广义马蒂厄级数，不等式。
2010-01-30 math.CA math.CV
The power series expansion of Mathieu function and its integral formalism
Mathieu常微分方程具有两个正则奇点和一个非正则奇点，属于Fuchsian型。而Fuchsian型Heun方程则具有四个正则奇点。Heun方程有四种汇合形式：（1）汇合Heun（两个正则奇点和一个非正则奇点），（2）双汇合Heun（两个非正则奇点），（3）双汇合Heun（一个正则奇点和一个非正则奇点），（4）三汇合Heun方程（一个非正则奇点）.从Confluent Heun方程出发，通过改变所有系数，导出了代数形式的Mathieu方程。本文将三项递推公式[arXiv：1303.0806]应用于Mathieu方程的幂级数展开式及其包含A_n的所有高阶项的无穷级数积分形式。从计算中得到的一个有趣的观察是，一个修正的贝塞尔函数在每一个子积分形式中递归：第一个子积分形式包含A_n的零项，第二个子积分形式包含A_n的一项，第三个子积分形式包含A_n的两项，等等。第五节是Mathieu函数的另外两个例子。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章10篇中的第5篇。请参阅第6节中的所有论文系列。上一篇系列论文涉及Heun函数的渐近行为及其积分形式[arXiv：1303.0876]。该系列的下一篇论文描述了代数形式和积分形式的Lame方程的封闭形式的幂级数展开[arXiv：1303.0873]。
2014-11-05 math-ph math.CA math.MP
High-Index Asymptotics of Mathieu Spectral Gaps and Splittings
Özyeğin University（伊兹密尔经济大学）
该研究推导了马蒂厄算子在高指数n下的谱隙与分裂的渐近公式，补充了前人未得到的高阶相对修正项，并通过等谱性将结果推广到另一类势函数。
2026-10-12 math.CA math.SP
On the Equivalence of Fourier Expansion and Poisson Summation Formula for the Series Approximation of the Exponential Function
在这篇短文中，我们证明了指数函数$\exp ({-{t^2}/4})$的级数逼近的傅立叶展开和泊松求和方法的等价性。结果表明，泊松求和公式的应用可简化为傅里叶展开法的应用。
2019-04-25 math.CA
Asymptotic expansion of the modified exponential integral involving the Mittag-Leffler function
我们考虑的渐近展开的广义指数积分涉及Mittag-Leffler函数最近推出的Mainardi和Masina [{ \it分数。计算值应用分析} { \bf 21}（2018）1156--1169]。我们使用两个参数的Mittag-Leffler函数来扩展这个函数的定义。讨论了类似推广的正弦积分和余弦积分的展开式。数值例子来说明每种类型的扩展获得的精度。
2020-02-19 math.CA
Exponentially small expansions related to the parabolic cylinder function
本文讨论了{ \it Appl. Math. Sci.}中给出的汇合型超几何函数$M(a,b,z)$在Stokes线$\arg\,z=π$上的精细渐近展开式。{ \bf 7}（2013）6601- 6609用于推导与韦伯方程相关的二阶微分方程的偶数和奇数解的渐近展开的正确的指数小贡献。它表明，标准渐近的抛物柱面函数$U(a,z)$产生一个不正确的指数小的贡献，这些解决方案。数值结果验证了新展开式的准确性。
2019-12-30 math.CA
A complete asymptotic expansion for the semi-exponential Post-Widder operators
本文研究了与 $p(x) = x^2$ 相关的半指数 Post-Widder 算子的渐近性质，推导出针对指数增长局部光滑函数的逐点完整渐近展开及所有系数，并作为特例恢复了经典算子的展开。
2025-09-13 math.CA
Asymptotic expansions of exponentials of digamma function and identity for Bernoulli polynomials
双Γ函数的渐近展开式是推导调和和或Euler-Mascheroni常数的逼近式的出发点。通常导出对数函数值的近似式，从而导出双Γ函数的指数展开式。本文推导并详细分析了函数$\exp(pψ(x+t))$的渐近展开式，特别是对参数$p$为整数的情形.证明了$p$对整数值的性质，从而得到了伯努利多项式的一个新恒等式。所得公式用于改进已知的欧拉常数和调和数不等式。
2013-12-05 math.CA
Error bounds and exponential improvement for the asymptotic expansion of the Barnes $G$-function
本文建立了Barnes $G$ -函数的对数的已知渐近展开的余项的新的整表示。使用这些表示，我们得到明确的和数值计算的渐近级数，这是比以前得到的其他作者简单得多的误差界。我们发现，沿着虚轴，突然无穷多个指数小的条款出现在渐近展开的巴恩斯$G$ -功能。利用余项的一种表示，我们得到了Barnes $G$ -函数对数的指数改进的渐近展开，表明这些指数小项的出现实际上是光滑的，从而证明了$G$ -函数渐近级数的Berry转移性质.
2014-09-20 math.CA
An expansion for the sum of a product of an exponential and a Bessel function. II
我们研究的衰减指数（取决于非线性的总和指数）和贝塞尔函数的形式\[\sum_{n=1}^\infty e^{-an^p}\frac{J_ν(an^px)}{(an^px/2)^ν}\qquad (x>0),\]在极限$a\to0$，其中$J_ν(z)$是贝塞尔函数的第一类实阶$ν$和$a$和$p$是积极的参数。通过梅林变换的方法，我们得到了一个渐近展开，使这个总和的评价在极限$a\to 0$。当贝塞尔函数被修改的贝塞尔函数$I_ν(z)$代替时，当$x\in (0,1)$。甚至$p$的情况下是有趣的，因为扩展成为指数小的字符。我们证明了在$p=2$的情况下，一个类似于Poisson-Jacobi变换的结果存在上述总和。
2022-06-19 math.CA
An expansion for the sum of a product of an exponential and a Bessel function
我们研究收敛表示的衰减指数和贝塞尔函数的形式\[\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-an}}{(\frac{1}{2} bn)^ν}\,J_ν(bn),\]其中$J_ν(x)$是贝塞尔函数的第一类顺序$ν>-1/2$和$a$，$b$是积极的参数。通过一个双重的梅林-巴恩斯整表示我们得到了一个收敛的渐近展开，使评估这个总和在极限$a\to 0$与$b<2π$固定。当用修正的Bessel函数$K_ν(x)$代替Bessel函数时，得到了类似的结果。这些总和的交替版本也提到。
2020-02-20 math.CA
Liouville-Green expansions of exponential form, with an application to modified Bessel functions
研究了形式为$d^{2}w/dz^{2}-\left \{ {u^{2}f\left( u,z\right) +g\left( z\right) }\right\} w=0$的二阶线性微分方程，其中$\left| u\right| \rightarrow \infty $和$z$位于复有界或无界区域$\mathbf{D}$内.如果$f\left( u,z\right) $和$g\left( z\right) $在$\mathbf{D}$中是亚纯的，并且$f\left(u,z\right) $没有零点，则经典的Liouville-Green/WKBJ近似提供了涉及指数函数的渐近展开。这些展开式中的系数要么与指数相乘，要么以另一种形式出现在指数中。后者的情况下，应用到简化的转折点扩展以及某些量子力学问题，并推导出新的可计算的误差界。它示出了如何可以锐化这些界限，以提供现实的误差估计，这是说明了一个应用程序修改贝塞尔函数的复杂的参数和大的正阶。明确的可计算的误差界也来自形式$d^{2}w/dz^{2}-\left\{ {u^{2}f\left(z\right) +g\left( z\right) }\right\} w=p\left( z\right)$的非齐次方程的特定解的渐近展开。
2017-08-01 math.CA
Error bounds and exponential improvements for the asymptotic expansions of the gamma function and its reciprocal
在（Boyd，Proc. R.长索克A 447（1994）609- 630），W. G. C.博伊德推导出一个复苏表示的Γ函数，利用重新制定的方法最陡下降的M。Berry和C. Howls（Berry和Howls，Proc. R. Soc. Lond. A 434（1991）657- 675）。使用这种表示法，他能够推导出Γ函数的渐近展开式的一些性质，包括明确和现实的误差界，斯托克斯不连续性的平滑过渡，以及后期系数的渐近性。本文的主要目的是修正Boyd的Rehabilitation公式，使之适用于推导Γ函数及其倒数的渐近展开的较好的误差估计。我们还证明了这些扩展的指数改进的版本完成与误差项。最后，我们提供了新的（正式的）渐近展开的系数出现在渐近级数，并比较其数值效果与早期作者的结果。
2014-03-20 math.CA
Exponential asymptotics of the Voigt functions
我们得到的渐近展开的Voigt函数$K(x,y)$和$L(x,y)$为大（实）值的变量$x$和$y$，特别注意指数小的贡献。当$x>0$固定时，会遇到$y\rightarrow+\infty$的斯托克斯现象。数值例子证明了这些新的扩展的准确性。
2014-03-31 math.CA
Resurgent aspects of applied exponential asymptotics
在许多物理问题中，重要的是捕捉指数小的影响，这些影响超出了典型的渐近展开的所有阶数;当收集时，完全展开被称为反级数。应用指数渐近已经取得了巨大的成功，在开发实用的工具，研究领先的指数的一个跨系列的扩展，通常在上下文中的奇异非线性扰动微分或积分方程。除了应用指数渐近，还有一个密切相关的发展路线，称为埃卡尔的复苏理论，它描述了trans-series和某类全纯函数之间的联系，称为复苏函数。这种联系是通过波莱尔再确认过程实现的。然而，与奇摄动问题相比，波莱尔重算和埃卡尔的复活理论主要集中在非参数渐近展开（即没有参数的微分方程）。后面这些领域与应用指数渐进性之间的关系尚未得到彻底研究，部分原因是语言和重点的差异。在这项工作中，我们探索这些连接，开发一个替代框架的阶乘过幂指数渐近分析，是以博雷尔平面为中心。我们的工作澄清了一些元素中使用的应用指数渐近，如范戴克规则的启发式使用和factorial-over-power ansatzes的普遍性。在此过程中，我们提供了一些有用的工具，用于探测已知在应用中出现的指数渐近中的更多病理问题;这包括合并奇点，嵌套边界层和更一般的后期行为的问题。
2022-08-15 math.CA
The asymptotic expansion of a generalisation of the Euler-Jacobi series
我们考虑任意有限$p>$和$w>0$的和\[S_p(a;w)=\sum_{n=1}^\infty n^{-w}\e^{-an^p}\]的渐近展开为$a\rightarrow 0$在$|\arg\,a|<π/2$中.我们的注意力主要集中在情况下，当$p$和$w$都是偶数，其中的扩展由一个{ \it有限}代数扩展以及一系列越来越次显性指数扩展。该指数小分量产生$S_p(a;w)$的变换，其类似于众所周知的用于$p=2$和$w=0$之和的Poisson-Jacobi变换。数值结果说明了所得到的展开式的精确性。
2015-03-25 math.CA
Asymptotic behavior of Heun function and its integral formalism
The Heun function generalizes all well-known special functions such as Spheroidal Wave, Lame, Mathieu, and hypergeometric functions. Heun functions are applicable to diverse areas such as theory of black holes , lattice systems in statistical mechanics , solution of the Schrodinger equation of quantum mechanics , and addition of three quantum spins. In this paper, applying three term recurrence formula, I consider asymptotic behaviors of Heun function and its integral formalism including all higher terms of A_n's. I will show how the power series expansion of Heun functions can be converted to…
2015-06-27 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics of the Mittag-Leffler function $E_a(z)$ on the negative real axis when $a\to 1$
我们考虑单参数Mittag-Leffler函数$E_a(-x)$对$x\to+\infty$的渐近展开式作为参数$a\to1$ . $0<a<1$时的主要扩展由$O(x^{-1})$的代数扩展（当$a=1$时消失）以及接近$e^{-x}$的指数小贡献（作为$a\to 1$）组成。在这里，我们集中在$a$接近值1时的这种指数小扩展的形式。数值例子来说明这样得到的扩展的准确性。
2021-08-06 math.CA
Necessary conditions for the existence of exponential-polynomial expansions for solutions of certain differential equations
MIPT, FPMI（莫斯科物理科学与技术学院，数学物理与信息学系）
研究形如 u''u - (u')^2 = e^{-x}P(u) - 1 的常微分方程，其中 P 为多项式，寻找解族在 Re x → +∞ 时具有指数-多项式展开的必要条件，发现对 P 的约束，数值实验表明条件充分且展开为级数表示，并提出系数非负性猜想。
2026-06-23 math.CA
Sufficient conditions for the existence of exponential-polynomial expansions for solutions of certain differential equations
MIPT, FPMI（莫斯科物理技术学院，理论与应用力学与计算机科学系）
本文证明对于形如 u''u - (u')^2 = e^{-x}P(u) - 1 的常微分方程，条件 P(0)=0 且 P'(0)=½P''(0) 也是解具有特定指数-多项式渐近展开的充分条件，并应用于退化 Painlevé III 超越函数。
2026-06-24 math.CA
Exponentially-improved asymptotics and numerics for the (un)perturbed first Painlevé equation
扰动的第一Painlevé方程$y"=6y^2-x^μ$，$μ>-4$的解唯一地由自由常数$C$乘以完全大$x$渐近展开中的指数小项确定。完整的细节，包括非线性斯托克斯现象，和相关的斯托克斯乘子的计算。我们推导出渐近近似，根据$C$，出现在这些指数改进的渐近展开的有效性部门的边界上的奇点的位置。几个数值例子说明的权力的近似。对于未扰动的第一Painlevé方程的tri-tronquée解决方案，我们给出了高精度的数值在原点和零和极点的位置。
2022-05-26 math.CA
Simplified uniform asymptotic expansions for associated Legendre and conical functions
本文为参数较大时的连带勒让德函数与锥形函数构造了在含奇点 z=1 的无界复区域上一致有效的简化渐近展开，系数显式易求，可高精度计算。
2025-07-02 math.CA
Asymptotic expansions with exponential, power, and logarithmic functions for non-autonomous nonlinear differential equations
本文进一步系统地发展了Foias和Saut在[11]中提出的渐近展开理论。研究了一类具有时衰强迫函数的非线性常微分方程耗散系统的长时间动力学。非线性项可以是，但不限于，任何光滑的向量场，连同其一阶导数，在原点消失。当时间趋于无穷大时，强迫函数可以近似为一系列函数，这些函数是指数函数、幂函数和迭代对数函数的相干组合。我们证明了任何衰减的解决方案承认一个渐近展开，随着时间趋于无穷大，相应的渐近结构的强制功能。此外，这些扩展可以由两个以上的基函数产生，并超越了在以前的工作中施加的多项式制定。
2020-09-17 math.CA math.DS
The analytic solution for the power series expansion of Heun function
Heun函数推广了所有著名的特殊函数，如球面波、Lame、Mathieu和超几何_2F_1、_1F_1和_0F_1函数。Heun函数适用于不同的领域，如黑洞理论，统计力学中的晶格系统，量子力学中薛定谔方程的解，以及三个量子自旋的添加。本文将应用三项递推公式（Choun，Y.S.，arXiv：1303.0806.，2013）推广到Heun函数（无穷级数和多项式）的封闭形式的幂级数展开，其中包含A_n的所有高阶项。第三部分是对Heun函数幂级数展开式在一篇论文中的应用的分析。（R.S. Maier，Math.Comp.33，2007）由于篇幅限制，192个Heun函数的最终方程未包含在本文中，但请随时与我联系以获得最终解决方案。第四节给出了Heun函数幂级数展开式的两个应用实例。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章10篇中的第3篇。请参阅第5节中的所有论文系列。本文讨论了三项递推公式（3TRF）。下一篇文章在该系列描述积分形式的Heun函数及其渐近行为的分析。
2014-11-04 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics of parameterized exponential integrals given by Brownian motion on globally subanalytic sets
考虑全局次解析集上布朗运动概率分布随时间演化的参数化指数积分。我们建立了可定义性结果和渐近展开。
2017-10-19 math.CA math.CV math.LO
