马蒂厄谱隙与分裂的高指数渐近行为
High-Index Asymptotics of Mathieu Spectral Gaps and Splittings
AI总结：
该研究推导了马蒂厄算子在高指数n下的谱隙与分裂的渐近公式，补充了前人未得到的高阶相对修正项，并通过等谱性将结果推广到另一类势函数。
摘要：
考虑固定复数a∈ℂ\{0}的马蒂厄算子L=-d²/dx²+2a cos(2x)。对于足够大的n，区间[0,π]上的周期问题（n为偶数）或反周期问题（n为奇数）在圆盘|λ-n²|<1内恰好有两个代数简单特征值λₙ⁻、λₙ⁺。我们证明，当n→∞时，λₙ⁺-λₙ⁻=±8(a/4)ⁿ/[(n-1)!]²·exp[-a²(n+2)/(4(n²-1)²)-15a⁴/(128n⁷)+O(n⁻⁸)]，符号取决于标记方式。对于满足λₙ⁻<λₙ⁺的实数a，该差值为第n个谱隙的长度。展开指数项可确定阶数从n⁻⁴到n⁻⁷的相对修正项，超出了Anahtarci与Djakov（2012）得到的修正项-a²/(4n³)（其相对余项为O(n⁻⁴)）。根据等谱性，该公式对满足a²=cd≠0的势ce⁻²ⁱˣ+de²ⁱˣ同样成立。
英文摘要：
Consider the Mathieu operator $L=-d^2/dx^2+2a\cos(2x)$ for fixed $a\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. For large enough $n$, the periodic ($n$ even) or anti-periodic ($n$ odd) problem on $[0,π]$ has exactly two algebraically simple eigenvalues $λ_n^-,λ_n^+$ in the disc $|λ-n^2|<1$. We prove that, as $n\to\infty$, $λ_n^+-λ_n^-=\pm\frac{8(a/4)^n}{[(n-1)!]^2}\exp\left[-\frac{a^2(n+2)}{4(n^2-1)^2}-\frac{15a^4}{128n^7}+O(n^{-8})\right]$, where the sign depends on the labelling. For real $a$ with $λ_n^-<λ_n^+$, this difference is the length of the $n$th spectral gap. Expanding the exponential determines the relative corrections of orders $n^{-4}$ to $n^{-7}$, beyond the correction $-a^2/(4n^3)$ obtained by Anahtarci and Djakov (2012) with a relative $O(n^{-4})$ remainder. By isospectrality, the same formula holds for the potential $ce^{-2ix}+de^{2ix}$ with $a^2=cd\ne0$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
