构造幂等子环上极小投射分解的一种方法
A method for constructing minimal projective resolutions over idempotent subrings
AI总结：
本文提出在模范畴内构造幂等子环上极小投射分解的方法，并证明当整体维数和投射维数有限时，满足特定条件的简单模自正交，且推广到夹层幂等子环情形。
摘要：
我们展示了如何通过 $\mathsf{mod} R$ 内的构造，获得半完全诺特基本环 $R$ 的幂等子环 $\Gamma_e := (1-e)R(1-e)$ 上有限生成模的极小投射分解。随后，在 $R/\langle 1-e\rangle$ 为右阿廷环的假设下，将此方法应用于研究幂等子环 $\Gamma_e$ 的同调性质。特别地，我们证明了 Ingalls 和 Paquette 的猜想：当 $\operatorname{gl} R$ 和 $\operatorname{pdim} eR(1-e)_{\Gamma_e}$ 有限时，满足 $\operatorname{Ext}_R^1(S_e,S_e) = 0$ 的简单模 $S_e := eR /\operatorname{rad} eR$ 是自正交的，即对所有 $k \geq 1$，$\operatorname{Ext}^k_R(S_e,S_e)$ 消失。事实上，我们建立了一个更一般的结果，适用于夹层幂等子环：设 $e \in R$ 是幂等元，使得所有夹在 $\Gamma_e$ 与 $R$ 之间的幂等子环 $\Gamma$（即 $\Gamma_e \subset \Gamma \subset R$）都具有有限整体维数。那么 $S_e$ 的简单直和项可以编号为 $S_1, \dots, S_n$，使得对所有 $1 \leq j \leq i \leq n$ 和所有 $k > 0$，有 $\operatorname{Ext}_R^k(S_i, S_j) = 0$。
英文摘要：
We show how to obtain minimal projective resolutions of finitely generated modules over an idempotent subring $Γ_e := (1-e)R(1-e)$ of a semiperfect noetherian basic ring $R$ by a construction inside $\mathsf{mod} R$. This is then applied to investigate homological properties of idempotent subrings $Γ_e$ under the assumption of $R/\langle 1-e\rangle$ being a right artinian ring. In particular, we prove the conjecture by Ingalls and Paquette that a simple module $S_e := eR /\operatorname{rad} eR$ with $\operatorname{Ext}_R^1(S_e,S_e) = 0$ is self-orthogonal, that is $\operatorname{Ext}^k_R(S_e,S_e)$ vanishes for all $k \geq 1$, whenever $\operatorname{gl} R$ and $\operatorname{pdim} eR(1-e)_{Γ_e}$ are finite. Indeed, a slightly more general result is established, which applies to sandwiched idempotent subrings: Suppose $e \in R$ is an idempotent such that all idempotent subrings $Γ$ sandwiched between $Γ_e$ and $R$, that is $Γ_e \subset Γ\subset R$, have finite global dimension. Then the simple summands of $S_e$ can be numbered $S_1, \dots, S_n$ such that $\operatorname{Ext}_R^k(S_i, S_j) = 0$ for $1 \leq j \leq i \leq n$ and all $k > 0$.
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