$L$-函数对于$\mathrm{Sp}(4)\times\mathrm{GL}(2)$的非唯一模型
$L$-function for $\mathrm{Sp}(4)\times\mathrm{GL}(2)$ via a non-unique model
AI总结：
本文通过非唯一模型方法证明了关于$\mathrm{Sp}(4)\times\mathrm{GL}(2)$的$L$-函数猜想，并探讨了其极点与周期积分的关系，以及全纯性的证明。
摘要：
本文证明了Ginzburg和Soudry关于一个积分表示的猜想，该表示对应于由$\mathrm{Sp}_4({\mathbb A})$和$\mathrm{GL}_2({\mathbb A})$上的不可约自守 cuspidal 表示对$(π, τ)$所附带的$L$-函数$L^S(s, π×τ)$，该表示源自Cai、Friedberg、Ginzburg和Kaplan的广义倍增方法。我们显示该积分展开为一个非唯一模型，并利用Piatetski-Shapiro和Rallis的新方法对其进行分析。给出了两个应用。首先，我们将$L^S(s,π×τ)$的极点存在性与某些周期积分非消失性联系起来。其次，对于某些cuspidal表示族，我们证明$L^S(s, π×τ)$是全纯的。
英文摘要：
In this paper we prove a conjecture of Ginzburg and Soudry on an integral representation for the $L$-function $L^S(s, π\times τ)$ attached to a pair $(π, τ)$ of irreducible automorphic cuspidal representations of $\mathrm{Sp}_4({\mathbb A})$ and $\mathrm{GL}_2({\mathbb A})$, which is derived from the generalized doubling method of Cai, Friedberg, Ginzburg and Kaplan. We show that the integral unfolds to a non-unique model and analyze it using the New Way method of Piatetski-Shapiro and Rallis. Two applications are given. First, we relate the existence of the poles of $L^S(s,π\timesτ)$ to the non-vanishing of certain period integrals. Second, for certain family of cuspidal representations, we prove that $L^S(s, π\times τ)$ is holomorphic.
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