从球面到欧几里得空间映射的多重点
The multiple points of maps from sphere to Euclidean space
AI总结：
本文研究了从球面到欧几里得空间映射的多重点问题，利用理想值指标理论，证明了在特定条件下存在多个线性相关的点，且推广了 Hopf 定理，指出在 $m > d$ 时存在正交点对和反点对。
摘要：
本文获得了一些保证从 $S^m$ 到 $\mathbb{R}^d$ 的映射存在多重点的充分条件。我们的主要工具是 E. Fadell 和 S. Husseini 定义的 $G$-空间的理想值指标。我们获得了更详细的多重点相对位置关系。证明了对于连续实值函数 $f: S^m\rightarrow \mathbb{R}$ 满足 $f(-p)=-f(p)$，如果 $m+1$ 是 2 的幂，则存在 $m+1$ 个点 $p_1, \ldots, p_{m+1}$ 在 $S^m$ 中，使得 $f(p_1)=\cdots=f(p_{m+1})$，其中 $p_1, \ldots, p_{m+1}$ 线性相关，且任意 $m$ 个点 $p_1, \ldots, p_{m+1}$ 线性无关。作为 Hopf 定理的推广，我们还证明了对于任何连续映射 $f: S^m\rightarrow \mathbb{R}^d$，如果 $m> d$，则存在一对互为正交点且在图像上相同，此外还有反点对。
英文摘要：
In this paper, we obtain some sufficient conditions to guarantee the existence of multiple points of maps from $S^m$ to $\mathbb{R}^d$. Our main tool is the ideal-valued index of $G$-space defined by E. Fadell and S. Husseini. We obtain more detailed relative positional relationship of multiple points. It is proved that for a continuous real value function $f: S^m\rightarrow \mathbb{R}$ such that $f(-p)=-f(p)$, if $m+1$ is a power of $2$, then there are $m+1$ points $p_1, \ldots, p_{m+1}$ in $S^m$ such that $f(p_1)=\cdots=f(p_{m+1})$, where $p_1, \ldots, p_{m+1}$ are linearly dependent and any $m$ points of $p_1, \ldots, p_{m+1}$ are linearly independent. As a generalization of Hopf's theorem, we also prove that for any continuous map $f: S^m\rightarrow \mathbb{R}^d$, if $m> d$, then there exists a pair of mutually orthogonal points having the same image in addition to the antipodal points.
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