Brakke Regularity for the Allen-Cahn Flow
本文证明了抛物型Allen-Cahn方程的Brakke $\varepsilon$ -正则性定理的一个类似定理。特别是，我们显示了均匀的$C^{2,α}$规则的过渡层收敛到光滑的中曲率流为$\varepsilon\rightarrow0$。证明利用艾伦-卡恩版本的单调性公式，抛物Lipschitz近似和爆破。还得到了抛物型Allen-Cahn方程整体永恒解的相应间隙定理。作为正则性定理的一个应用，我们肯定地回答了Ilmanen提出的在平均凸集上$\mathbf {BV}$收敛不存在抵消的问题.
2020-10-23 math.AP math.DG
Allen-Cahn equation and degenerate minimal hypersurface
该短注针对以退化极小超曲面为极限界面的Allen-Cahn方程，给出了解的存在性与刚性相关的新观察和例子。
2024-04-17 math.AP math.DG
Morse theory for the Allen-Cahn functional
本文运用 Morse 理论技巧，在三维球面上通过负梯度流构造 Allen-Cahn 能量泛函低能量临界子流形之间的连接轨道。
2023-10-26 math.AP math.DG
Gradient estimates for the Allen-Cahn equation on Riemannian manifolds
本文考虑完备非紧无边界黎曼流形上Allen-Cahn方程的有界正解.我们得到这些解决方案的梯度估计。作为应用，我们得到了具有非负里奇曲率的流形上的一个Liouville型定理.
2019-08-10 math.AP math.DG
A Half-Space Theorem for the Allen--Cahn Equation in All Dimensions
Research Institute of Mathematics, Seoul National University（首尔大学数学研究院）
该研究证明全维度下Allen--Cahn方程满足零集含于半空间的有界非常数整体解为一维异宿解，确立了相关半空间定理。
2026-10-27 math.AP math.DG
Convergence of Allen-Cahn equations to De Giorgi's multiphase mean curvature flow
本文给出了多相流中曲率流的具有任意位势的Allen-Cahn方程的解到De Giorgi型$ \mathrm{BV} $ -解的条件收敛结果。此外，我们证明了De Giorgi型$\mathrm{BV} $ -解是De Giorgi型变倍解，从而我们的解在弱-强意义下是唯一的.
2023-01-28 math.AP math.DG
A convergence rate of the discrepancy for Allen-Cahn type equation
本文提出了一个新的偏微分方程来建立Brakke的运动，这是一个弱的中曲率流的概念。我们称之为修正的Allen-Cahn方程，简称MAC。然后介绍了它的优点：改进了对第一能量均分的差异能量的估计。该方程是通过使Allen-Cahn方程中的参数与时间相关并增加Z变换等项而得到的。此外，我们提到的存在一个刹车的运动通过我们的MAC。
2022-08-02 math.AP math.DG
On the Entropy of Parabolic Allen-Cahn Equation
我们定义了一个（平均曲率流）熵的氡措施在$\mathbb{R}^n$或在一个紧凑的流形。此外，我们还证明了抛物型Allen-Cahn方程测度熵的单调性公式。如果环境流形是一个具有非负截面曲率和平行里奇曲率的紧致流形，这是抛物Allen-Cahn方程的一个新的单调性公式的一个结果.作为应用，我们证明了当初始数据的熵足够小（小于一维驻波能量的两倍）时，抛物型Allen-Cahn方程的极限测度在未来所有时间都具有单位密度.
2021-02-08 math.AP math.DG
Convergence of the Allen-Cahn equation with Neumann boundary conditions
研究了具有Neumann边界条件的Allen-Cahn方程的奇异极限问题，其初值具有一致有界的能量.证明了时间参数化的极限能量测度族是边界上具有广义直角条件的Brakke中曲率流。
2016-06-17 math.AP math.DG
Bounded solutions to the Allen-Cahn equation with level sets of any compact topology
我们利用Allen-Cahn方程无限指数解的灵活性证明了，给定R^d的任何紧致超曲面$Σ$，在$d\geq 4$的情况下，存在R^d上Allen-Cahn方程的有界整解，其零水平集具有与$Σ$的重标度同构（且任意接近）的连通分量。更一般地说，我们证明了有限个规定的拓扑结构的紧凑的连接组件在其零水平集的解决方案的存在性。
2015-06-02 math.AP math.DG
Allen-Cahn min-max on surfaces
在Guaraco的工作的启发下，我们使用Allen-Cahn能量泛函的极小极大方法来构造封闭的二维黎曼流形上的测地线。借用经典的爆破和曲率估计几何分析，以及新的Allen-Cahn曲率估计由于王伟，我们设法研究潜在的奇点在扩散水平的精细结构，并表明，问题归结为理解“整个”奇异性模型构造的del Pino-Kowalczyk-Pacard与莫尔斯指数1。这个论点是由莫尔斯指数估计这些奇异模型完成的。
2019-12-22 math.AP math.DG
Global minimizers of the Allen-Cahn equation in dimension $n\geq 8$
证明了Allen-Cahn方程在$8$及以上维数下的整体极小解的存在性.更确切地说，给定任何严格面积最小化的劳森锥，存在全局极小点，其节点集渐近于锥。作为Jerison-Monneau程序的结果，我们建立了不同于Bézerie-De Giorgi-Giusti极小图的De Giorgi猜想的许多反例的存在性。
2016-06-16 math.AP math.DG
Boundary behaviour of stable Allen-Cahn limit-interfaces in Riemannian manifolds
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；University of Warwick（华威大学）；University of Toronto（多伦多大学）
本文通过Allen-Cahn方程研究带边黎曼流形中自由边界极小子流形的极小极大理论，证明稳定解的极限界面为满足广义稳定性不等式的带边界曲率varifold，并证实边界集中例子具有无界Morse指标。
2026-10-06 math.AP math.DG
Generic nondegeneracy for solutions of the Allen-Cahn equation under a volume constraint in closed manifolds
设$M^n$是连通闭光滑流形，其中$n\geq 2$ .在这篇文章中，我们采用Micheletti和Pistoia（2009）以及Ghimenti和Micheletti（2011）中的技巧来证明$M$中体积约束下的Van der Waals-Allen-Cahn-Hilliard方程的解的通有非退化性。
2021-02-17 math.AP math.DG
Second order estimates for transition layers and a curvature estimate for the parabolic Allen-Cahn
本文证明了抛物型Allen-Cahn方程向平均曲率流改进的收敛性质（即相变水平集在$C^2$中收敛则必在$C^{2,θ}$中收敛），并以此推导出该方程的曲率估计，可视为平均曲率流Brakke和White正则性定理的扩散版本。
2023-06-27 math.AP math.DG
Solutions of the Allen-Cahn equation on closed manifolds in the presence of symmetry
证明了在无边界的紧致黎曼流形$M$中给定极小超曲面$Γ$，如果$Γ$的所有Jacobi场都由周围等距生成，那么对于充分小的节点集收敛于$Γ$的$\varepsilon>0$，我们可以在$M$上找到Allen-Cahn方程$-\varepsilon^2Δu +W'(u)=0$的解.这推广了Pacard-Ritoré的结果（在闭流形和零中曲率的情况下）。
2019-06-13 math.AP math.DG
Doubling construction for $O(m)\times O(n)$-invariant solutions to the Allen-Cahn equation
在$\mathbb{R}^{N+1}$中构造了Allen-Cahn方程Δu+u-u3=0的新的$O(m)\times O(n)$ -不变解族，其中$N\ge 7$的零水平集在无穷远处与Lawson锥几何发散.该构造基于对给定的$O(m)\times O(n)$ -不变流形上Jacobi-Toda系统的仔细研究，该系统在无穷远处渐近于Lawson锥.
2020-09-29 math.AP math.DG
Nodal set comparison for Allen--Cahn solutions with conical asymptotics
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Konkuk University（建国大学）
本文研究了具有锥形渐近性的Allen-Cahn解的节点集比较，证明正相的包含决定了解的全局顺序，并展示了节点集的不相交性。
2026-01-08 math.AP math.DG
On stable solutions to the Allen-Cahn equation with bounded energy density in $\mathbb{R}^4$
本研究证明$\rm \bb R^4$中具有有界能量密度（三次能量增长）的Allen-Cahn方程稳定解是一维的，该结论可推出稳定相变鲁棒曲率估计、Marques-Neves相关猜想等重要几何结果。
2025-09-02 math.AP math.DG
Rigidity of low index solutions on $S^3$ via a Frankel theorem for the Allen-Cahn equation
证明了三球面上Allen-Cahn方程的Urbano刚性定理：Morse指数为5的临界点是Clifford环面上为零的对称函数.此外，他们实现了第五宽度的最小-最大频谱的艾伦-卡恩功能。我们通过分析这些临界点的零性和对称性来解决这个问题。然后，我们证明了一个合适的Frankel型定理的节点集，一般有效的流形与积极的里奇曲率。这在建立结论中起着关键作用，并进一步使我们能够推导出更大尺寸的球体的辅助刚度结果。
2020-07-17 math.AP math.DG
Two-end solutions to the Allen-Cahn equation in $\mathbb{R}^{3}$
本文考虑Allen-Cahn方程$$ -Δu = u-u^3 \ \mbox{in} \ {\mathbb R}^3 $$，证明了对于每个$$ -Δu = u-u^3 \ \mbox{in} \ {\mathbb R}^3 $$，方程都存在一个具有增长率$k$的解，即$$ \| u-H(\cdot -k \ln r + c_k) \|_{L^\infty} \to 0$$。我们的证明的主要内容包括：（1）具有增长率的解的紧性$k$，（2）形式维数为1的解析簇的模空间理论。
2015-02-20 math.AP math.DG
Convergence of a vector-valued Allen-Cahn system to Brakke's multiphase mean curvature flow
Heidelberg University（海德堡大学）；Kyoto University（京都大学）
该研究首次证明耦合Allen-Cahn方程系统全局无条件收敛到Brakke意义下的多相平均曲率流，解决了该领域长期存在的重大开放问题。
2026-09-09 math.AP math.DG
Allen--Cahn and mean curvature flows from Clifford hypersurfaces to equators
University of Macau（澳门大学）
该研究借助OpenAI对Solomon--Yau猜想的解决，将与Pedro Gaspar的合作成果推广至n≥2的所有维度，在S^{n+1}上构造了连接Clifford超曲面近似值与赤道球面的永恒Allen--Cahn流及无穷多永恒积分Brakke流。
2026-10-14 math.AP math.DG
Mean curvature flow and low energy solutions of the parabolic Allen-Cahn equation on the three-sphere
在这篇文章中，我们研究永恒的解决方案的Allen-Cahn方程在3-球，鉴于相关的能量泛函的梯度流之间的联系，和中曲率流。我们构建永恒的积分Brakke流连接Clifford环面赤道领域，并研究了一个家庭这样的流量，特别是他们的对称性。我们的方法是基于由中曲率作为Allen-Cahn梯度流的奇异极限的Brakke运动的实现，正如Ilmanen和Tonegawa所研究的那样，并且它使用了由K. Choi和C. Mantoulidis，以及F.希斯迈尔
2021-07-24 math.AP math.DG
Minimal surfaces and the Allen-Cahn equation on 3-manifolds: index, multiplicity, and curvature estimates
Allen-Cahn方程是一个半线性偏微分方程，它通过奇异极限与极小超曲面理论紧密相连。本文在王伟最近工作的基础上，证明了三维流形上Allen-Cahn方程稳定解的曲率估计和强片分离估计。使用这些，我们能够显示3-流形上的通用度量，极小曲面所产生的Allen-Cahn解决方案与有界能量和有界Morse指数是双边的，并发生与重数1和预期的Morse指数。这证实了，在艾伦-卡恩设置，一个强大的形式的重数1猜想和指数下界猜想的3维马克-内维斯关于最小-最大的建设极小曲面。Allen-Cahn最小-最大构造最近由Guaraco和Gaspar-Guaraco进行。我们对重数1和指数下界图的解析表明，这些构造可以用来对具有一般度量的3-流形中的无穷多个极小曲面上的Yau猜想给出一个新的证明（最近由Irie-Marques-Neves证明），并得到新的几何结论.也就是说，我们证明了具有一般度量的3-流形包含，对于每个$p$ = 1，2，3，.，由Marques-Neves证明的具有Morse指数$p$和面积$p^{1/3}$的双侧嵌入极小曲面。
2019-08-29 math.AP math.DG
Quantitative stratification for the fractional Allen-Cahn equation and stationary nonlocal minimal surface
本研究将Naber和Valtorta的定量分层原理应用于s∈(0,1/2)、n≥2的分数阶Allen-Cahn方程，得到过渡集最优定量估计，改进了相关势能估计并给出精确形式，同时推广了稳态非局部极小曲面的周长估计结果。
2025-03-21 math.AP math.DG
A varifold formulation of mean curvature flow with Dirichlet or dynamic boundary conditions
本文研究了Allen-Cahn方程在Dirichlet边界条件或动态边界条件下的锐界面极限，给出了其极限的变倍刻划，即在Dirichlet边界条件或动态边界条件下的中曲率流.为了证明极限的存在性，我们利用相场方法在边界上消失和偏差测度有界的条件下证明了极限的存在性。为此，我们推广了通常的Brakke流在这些边界条件下的一阶变分为varifolds在边界上。
2020-12-28 math.AP math.DG
Bifurcation of Solutions to the Allen-Cahn Equation
利用Morse同调研究了Allen-Cahn方程解集的分支。
2013-11-10 math.AP
Lawson cones and the Allen-Cahn equation
本文研究了渐近于Lawson锥的特殊极小超曲面的非退化性与稳定性，并利用这些超曲面构造了在$\R^{N+1}$中具有$k\ge 2$个连通分支零水平集及无穷Morse指标的Allen-Cahn方程解。
2025-01-27 math.AP math.DG
Catenoidal layers for the Allen-Cahn equation in bounded domains
本文给出了奇摄动Allen-Cahn方程$α^2 Δu + u(1-u^2)=0, \quad \hbox{in }Ω\subset \R^N $的一族新的解，其中$N=3$，$Ω$是光滑有界区域，$\A>0$是小参数.我们提供的渐近行为表明，作为$α\to 0$，水平集的解决方案崩溃到一个完整的嵌入式极小曲面的有界部分，有限的全曲率正交相交的域的$\partial Ω$，这是非退化方面的$Ω$。我们提供了明确的例子，我们的结果适用于表面。
2015-04-21 math.AP math.DG
Symmetry of Traveling Wave Solutions to the Allen-Cahn Equation in $\Er^2$
本文证明了平衡Allen-Cahn方程的单调行波解在全平面上的偶对称性。对非平衡Allen-Cahn方程的有关结果也作了讨论。
2011-02-19 math.AP
A Liouville theorem for minimizers with finite potential energy for the vectorial Allen-Cahn equation
我们证明了如果向量Allen-Cahn方程的全局极小解具有有限的势能，那么它是一个常数。
2014-02-18 math.AP
A small remark on the derivation of the plateau angle conditions for the vector-valued Allen-Cahn equation
我们澄清了arXiv：1210.0231中关于向量值Allen-Cahn方程的平台角条件的推导的一点
2013-09-05 math.AP
An inverse problem for the fractional Allen-Cahn equation
本文研究分数阶Allen-Cahn方程的反问题，利用分数阶方程的渐近性质和唯一延拓性质建立问题的表述与论证。
2025-08-15 math.AP
Stable solutions of the Allen-Cahn equation in dimension 8 and minimal cones
本文研究了定义在欧几里得空间中的Allen-Cahn方程的有界整体解，其零点集渐近于给定的极小锥.特别地，在维数大于或等于8时，我们证明了零集不是超平面的Allen-Cahn方程稳定解的存在性。
2011-02-16 math.AP
Traveling wave solutions to the Allen-Cahn equation
对于Allen-Cahn方程，我们知道存在一个单调驻波与势的平衡阱相连。本文研究了无限长通道上Allen-Cahn方程行波解的存在性。这样的行波解具有大量的振荡，他们得到的援助变分论点。
2020-03-18 math.AP
Allen-Cahn equation for the truncated Laplacian: unusual phenomena
我们研究了Allen-Cahn型方程的全部黏性解，截断Laplacian是一维或径向的，为了揭示一些可能的扩展的Gibbons猜想在这个退化的椭圆设置。
2020-02-11 math.AP
On the second inner variation of the Allen-Cahn Functional and its applications
本文研究了Allen-Cahn泛函的第二类内变分与其Gamma极限--面积泛函之间的关系。我们的结果意味着Allen-Cahn泛函只能很好地逼近一阶面积泛函。然而，作为我们的结果的应用，我们证明，假设的极限能量的单重性，Allen-Cahn泛函的临界点的Morse指标是有界的极限极小超曲面的Morse指标从下。
2010-09-28 math.AP
Long-range phase coexistence models: recent progress on the fractional Allen-Cahn equation
在这组笔记中，我们介绍了分数Allen-Cahn方程$$ (-Δ)^s u = u-u^3,$$的一些最新进展，特别注意$Γ$ -收敛结果，能量和密度估计，水平集的收敛性，Hamilton估计，刚性和对称性的结果。
2018-03-21 math.AP
Solution of the fractional Allen-Cahn equation which are invariant under screw motion
建立了分数阶Allen-Cahn方程在$\mathbb R^3$中整体解的存在性和不存在性结果，这些解在螺旋面上为零，在螺旋运动下不变.另外，我们证明了螺旋面是非局部中曲率为零的曲面。
2015-09-02 math.AP
On the asymptotic behavior of symmetric solutions of the Allen-Cahn equation in unbounded domains in ${\bf R}^2$
考虑Allen-Cahn方程在光滑区域$Ω\subset {\bf R}^n.$上的狄利克雷问题，在适当的假设下，证明了对称解的存在性和一致指数估计.在维数n=2的一个额外的渐近结果。这些结果是基于局部极小的艾伦-卡恩能量的逐点估计。
2014-05-07 math.AP
Optimal energy growth lower bounds for a class of solutions to the vectorial Allen-Cahn equation
我们证明了最佳的下界的增长的能量球的最小向量艾伦-卡恩能量在两个空间维度，半径趋于无穷大。在径向对称解的情况下，我们可以在所有维度上证明一个更强的结果。
2014-02-18 math.AP
Multiplicity of critical points for the fractional Allen-Cahn energy
本文研究了有界区域中Allen-Cahn能量的分数模拟，证明了它存在若干临界点，当扰动参数趋于零时，这些临界点趋于无穷大.
2016-05-16 math.AP
Some remarks on the structure of finite Morse index solutions to the Allen-Cahn equation in $\mathbb{R}^2$
对于Allen-Cahn方程在$\mathbb{R}^2$中的一个解，在自然线性增长能量的约束下，我们证明了吹落极限是唯一的.此外，若解的Morse指数有限，则其爆破极限满足重一性质.
2015-10-29 math.AP
One-dimensional symmetry for solutions of Allen Cahn fully nonlinear equations
本文给出了Allen-Cahn型完全非线性椭圆型方程整体解的一些定性结果。精确地说，在对强迫项的一些附加假设下，如果解是有界的，并且在无穷远处沿固定方向一致收敛到其极值，那么解只依赖于一个变量。
2010-02-10 math.AP
Reductions of the Navier-Stokes-Allen-Cahn and the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard equations
本文研究了两个著名的恒温两相流体流动模型，等温Navier-Stokes-Allen-Cahn方程和等温Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程，这两个方程都由流体（总）密度ρ、（质量平均）速度u和（其中一相）浓度c的方程组成。假设在任何一种情况下，这两个阶段是不可压缩的不同的密度，每个模型被证明是减少到一个系统的发展方程在ρ和u单独。在Navier-Stokes-Allen-Cahn模型的情况下，该简化系统是经典的Navier-Stokes-Korteweg模型。从Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程得到的约化系统是一个新的“积分”-微分系统，其中一个非局部算子作用于速度的发散。
2013-11-01 math.AP
On the Allen-Cahn equation in the Grushin plane: a monotone entire solution that is not one-dimensional
我们考虑解决方案的Allen-Cahn方程在整个Grushin平面，我们表明，如果他们是单调的垂直方向，那么他们是稳定的，他们满足一个很好的能量估计。然而，正如反例所示，它们不一定是一维的。
2008-06-25 math.AP
A new proof of Savin's theorem on Allen-Cahn equations
本文对Allen-Cahn方程建立了一个改进的倾斜-过剩衰减估计，并利用它给出了Savin关于平坦水平集的一致$C^{1,α}$正则性定理的一个新的证明，从而暗示了$n\leq 7$的$\mathbb{R}^n$中极小元的一维对称性.这将Allard的$\varepsilon$ -正则性定理推广到Allen-Cahn方程的情形。
2015-12-01 math.AP
Even Symmetry of Some Entire Solutions to the Allen-Cahn Equation in Two Dimensions
本文证明了半平面上Allen-Cahn方程某些解的偶对称性和单调性。我们还证明了具有{ \it有限Morse指标}和{ \it四个端点}的整体解必须关于两个正交轴均匀对称。利用能量量化方法，给出了具有{ \it有限Morse指标}的一般整解的分类方案.
2011-02-19 math.AP
On the validity of formal asymptotic expansions in Allen-Cahn equation and FitzHugh-Nagumo system with generic initial data
形式渐近展开长期以来被用于研究奇摄动Allen-Cahn型方程和反应扩散方程组，特别是FitzHugh-Nagumo方程组.尽管他们的成功的作用，它一直在很大程度上不清楚是否真的这样的扩展代表的解决方案，而一般的初始数据的实际概况。结合我们的结果和已知的Allen-Cahn方程永恒解的性质，我们证明了形式展开式主项对于一类大的解的有效性.
2011-11-15 math.AP
Axially symmetric solutions of Allen-Cahn equation with finite Morse index
本文研究了具有有限Morse指标的Allen-Cahn方程的轴对称解。结果表明，在$4$和$10$之间的维数上不存在这样的解.在$3$维上，我们证明了这些解有多个端点.此外，如果解的Morse指数等于$1$，则解正好有两个端点。
2019-01-31 math.AP
Generation, motion and thickness of transition layers for a nonlocal Allen-Cahn equation
研究了非局部Allen-Cahn方程在小参数趋于零时的行为。在较一般的初始数据下，对界面的产生和运动进行了严格的分析，得到了界面厚度的新估计。极限问题涉及运动的中曲率连同非局部效应（这允许的可能性，非平凡的静止状态）。
2009-06-07 math.AP
An Allen-Cahn tumor growth model with temperature
本文提出非等温Allen-Cahn肿瘤生长模型，用微力方法推导，并证明其局部与全局时间解的存在唯一性。
2025-10-15 math.AP
Convergence rates of the Allen-Cahn equation to mean curvature flow: A short proof based on relative entropies
我们给出了一个简短的和自包含的证明艾伦-卡恩方程的收敛速度对中曲率流，假设一个经典的（光滑）解决方案，后者存在，并从精心准备的初始数据。我们的方法是基于一个相对熵技术。特别是，它不需要对线性化的Allen-Cahn算子进行稳定性分析。由于我们的分析也不依赖于比较原理，我们希望它适用于更复杂的方程和系统。
2020-08-18 math.AP
