Families of Sets in Bishop Set Theory
Iosif Petrakis
我们开发的理论集索引家庭的集合和子集内的非正式主教集合论BST，重建主教的理论集。
We develop the theory of set-indexed families of sets and subsets within the informal Bishop Set Theory BST, a reconstruction of Bishop's theory of sets.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sets completely separated by functions in Bishop Set Theory
在主教集合论，重建主教的理论集，我们研究了所谓的完全分离集，即集配备了一个积极的概念的一个不等式，诱导一组给定的实值函数。我们引入了指数完全分离集上的完全分离集的全局族的概念，并描述了它的Sigma-和Pi-集。给出了给定集合上的自由完全分离集.给出了经典Stone-Čech定理和完全正则空间的Tychonoff嵌入定理的集合论版本，用函数空间代替拓扑空间，用完全分离集代替完全正则空间。
Families of Sets in Constructive Measure Theory
我们提出的第一个步骤的建设性主教-程测度论的预测重建。工作在一个半正式的阐述主教的集合论和调用的概念集索引家庭的子集（一个给定的集合），我们到达的概念，一个前集成空间和一个前测度空间。然后构造了与预测度空间相关联的简单函数的预积分空间和预积分空间的$L^1$ -完备化。与Bishop-Cheng测度论的标准表述不同，我们的发展完全是预测性的，避免了可数选择公理。
Constructivist and Structuralist Foundations: Bishop's and Lawvere's Theories of Sets
毕晓普的非正式集合论进行了简要的讨论和比较Lawvere的基本理论的集范畴（ETCS）。然后，我们提出了一个建设性和预测版本的ETCS，其标准模型是基于马丁-洛夫的建设性类型理论。该理论，CETCS，提供了一个结构主义的基础，建设性的数学风格的主教。
Metric complements of overt closed sets
本文证明了Bishop-局部紧度量空间的度量完备的显闭子空间的点集的位置。因此，如果子空间是紧的，那么它的点集是毕晓普紧的。
A Cubical Language for Bishop Sets
提出XTT，一种面向Bishop集的笛卡尔立方类型理论，赋予类型同一性证明唯一性的定义性版本，并利用Artin粘合证明其规范性。
Pre-measure spaces and pre-integration spaces in predicative Bishop-Cheng measure theory
针对Bishop-Cheng测度论的非直谓性问题，研究者在Bishop集合论框架下提出前测度空间与前积分空间的直谓概念，完成相关构造与验证，实现直谓框架下的测度积分理论构建。
Metric Double Complements of Convex Sets
本文在Bishop构造性数学中研究凸集的度量双重补集与逻辑双重补集的关系，证明在内部非空或有限维条件下两者相等，并指出不能构造性地替换为原集合的内部。
Littlestone and VC-dimension of families of zero sets
证明了对域上$d$维向量空间中的任意$d$线性无关函数，其非平凡线性组合的零集族具有VC维数和Littlestone维数$d-1$ .此外，我们还刻画了这类族是VC-维数$d-1$的极大族的性质，并给出了这类族是Littlestone维数$d-1$的极大族的一个充分条件.
Compact Sets of Baire Class One Functions and Maximal Almost Disjoint Families
利用Bourgain关于Baire类一函数紧集的一个结果，证明了解析几乎不相交的整数无穷集族不可能是极大的.受此启发和相关的想法，我们然后提供了一个新的证明，有没有极大几乎不相交的家庭在Solovay的模型。然后，我们使用的想法背后的证明提供了一个扩展的二分性结果罗森塔尔和布尔甘，弗雷姆林和Talagrand一般逐点有界函数在Solovay的模型。然后，我们表明，当我们添加一个通用的选择性超滤Solovay模型得到的模型，可以得出相同的结论。
Forcing, games and families of closed sets
我们提出了一个新的，博弈论，方法的理想化的强迫，在融合游戏。这推广了经典的方法，以袋和米勒强迫。对于可定义的（$\mathbfΠ^1_1$ on $\mathbfΣ^1_1) $ σ $-ideals we show that if a $ σ $-ideal is generated by closed sets, then it is generated by closed sets in all forcing extensions. We also prove an infinite-dimensional version of the Solecki dichotomy for analytic sets. Among examples, we investigate the $ σ $-ideal $ \E $ generated by closed null sets and $ σ$-理想与非分段连续函数相连.
Combinatorial and hybrid principles for sigma-directed families of countable sets modulo finite
我们考虑强组合原则的σ-定向家庭的可数集的顺序由包含模有限，例如P-理想的可数集。我们尝试尽可能强的原则，同时保持兼容CH，我们也认为原则兼容的存在非特殊Aronszajn树。主要的推力是对抽象的原则与博弈论的公式。这些原则中的一些是纯粹的组合，而最终原则主要是组合的，但也有强制公理的方面。
Cardinality of definable families of sets in o-minimal structures
本文证明o-minimal结构中可定义无限集的可定义子集族基数不超过该集本身，并导出可定义类型计数与可定义拓扑空间存在性的推论。
Finite sets, mappings, cardinals, and arithmetic in intuitionistic New Foundations
本文探讨了直觉新基础中有限集、幂集、映射、有限基数及其运算的理论，提出修正后的构造方法，探讨基数运算的可能性及算术溢出问题。
Relative e-spectra and relative closures for families of theories
我们定义了相对$e$ -谱的概念，相对于$E$ -算子，相对闭包和相对生成集。我们研究了与相对$e$ -谱和相对生成集有关的性质。
On $D$-spaces and Discrete Families of Sets
我们证明了几个反射定理$D$ -空间，这是Hausdorff拓扑空间$X$，其中每一个开放的邻域分配$U$有一个封闭的离散子空间$D$，使\[ \bigcup\{U(x): x\in D\}=X. \]的向上反射定理的存在下的强制公理，而大多数的向下反射结果使用大基数假设。证明给定空间是$D$ -空间的论证的组合内容可以用离散族的概念来表述。我们注意到非反射参数之间的联系，涉及离散家庭和众所周知的问题，家庭的存在允许部分断面没有一个横向本身，并使用它来给非平凡的情况下的不紧性现象的离散化。
On $D$-spaces and Discrete Families of Sets
我们证明了几个反射定理$D$ -空间，这是Hausdorff拓扑空间$X$，其中每一个开放的邻域分配$U$有一个封闭的离散子空间$D$，使\[ \bigcup\{U(x): x\in D\}=X. \]的向上反射定理的存在下的强制公理，而大多数的向下反射结果使用大基数假设。证明给定空间是$D$ -空间的论证的组合内容可以用离散族的概念来表述。我们注意到非反射参数之间的联系，涉及离散家庭和众所周知的问题，家庭的存在允许部分断面没有一个横向本身，并使用它来给非平凡的情况下的不紧性现象的离散化。
Partial choice functions for families of finite sets
设m>2为整数。证明了ZF +“对任意整数n，任意可数的基数至多为n的非空集族有无限部分选择函数“不足以证明任意可数的m元集族有选择函数.在m=p是素数的情况下，为了获得独立性结果，我们使用置换模型，其中原子的集合具有p个元素的域上的向量空间的结构。当m为非素数时，从素数情况下使用的模型建立合适的置换模型。
Canonical forests in directed families
给出了有向集族中可构造集的表示的两个唯一性结果。在不可包装的情况下，瑞士奶酪的分解是独特的。在可包装的情况下，他们不是唯一的，但承认一个准序下的最小分解是唯一的。这两种情况导致VC-极小和准VC-极小理论的一维消除。
Comeager hereditary families of compact sets are big
针对 Matheron 与 Zelený 提出的问题，作者在 ZFC 框架下证明了 Polish 空间的 Vietoris 超空间中每个 comeager 遗传紧集族都包含稠密的遗传 $G_\boldsymbol{\textit{δ}}$ 子族。
$Σ_1$-definability at higher cardinals: Thin sets, almost disjoint families and long well-orders
本文研究高基数上借助选择公理构造的集合能否由仅用κ及遗传基数小于κ的集合作参数的Σ₁公式定义，通过完美集定理推广Mathias关于极大几乎不相交族的非定义性结果，并确定奇异强极限基数上相关对象不存在Σ₁定义的精确一致性强度。
On the uniqueness of $L$-fuzzy sets in the representation of families of sets
本文讨论了$L$ -模糊集在非空集子集族表示中的唯一性。首先给出了割集与非空集的子集族重合的$L$ -模糊集的个数公式，然后给出了这类$L$ -模糊集唯一的充要条件.
Approximation of definable sets by compact families, and upper bounds on homotopy and homology
证明了o-极小集的同伦群和同调群在紧o-极小集逼近下的新的上界。特别地，我们改进了由无量词公式定义的半代数集的贝蒂数的已知上界，并首次得到了子Pfiran集的贝蒂数的一个单指数界.
Pre-compact families of finite sets of integers and weakly null sequences in Banach spaces
本文给出了Nash-Williams序列障碍理论在巴拿赫空间上的两个应用：第一个应用是$K$可数序列$C(K)$的$c_0$ -饱和。第二个是弱零序列的构造，推广了Maurey-Rosenthal的例子。
Splitting families of sets in ZFC
米勒的1937年分裂定理被证明为基数对$(\n,ρ)$，其中$n$是有限的，$ρ$是无限的。本文证明了Miller定理在ZFC中对基数对$(ν,ρ)$（其中$ν$是任意的）和$ρ\ge \beth_\om(ν)$的推广.证明使用了一种新的一般方法，该方法基于Shelah的修正的广义连续统假设定理。集合族的无冲突色数的上界和一般比较定理作为主要定理的推论。其他推论消除使用额外的公理从分裂定理由于鄂尔多斯，Hajnal，Komjath，Juhasz和Shelah。
Locatedness, Convexity, and Measurability in $\mathbb{R}^N$
研究实数空间\(\mathbb{R}^N\)中可定位性、凸性与可积性相关问题，通过给出构造性证明，对相关定理修正版进行阐述，得出特定条件下集合\(S^1\)全有界且可定位的结论。
Dense families of countable sets below $c$
我们证明了连续统是一致的，并且对于连续统之下的每个不可数基数$κ$，存在实数的子集$T$和$T$的可数子集的族$A$，使得（1）$T$和$A$都具有基数$κ$，（2）对于每个$a\in A$，都有$|\bar{a}\cap T|=κ$，（3）对于$T$的每个不可数子集都包含$A$的某些元素，因此（i）存在一个几乎不相交的实数子集族，其大小和色数为$κ$，（ii）存在一个局部紧的，具有势谱$\{ω,κ\}$的局部可数$T_2$空间
Maximal discrete sets
我们调查结果的可定义性和大小的解析超图中的最大离散集。我们的主要例子包括极大几乎不相交（或mad）族，$\mathcal I$ -mad族，极大最终不同族和极大共穷群。本文讨论了基数特征$\mathfrak a_ξ$的非增序列、$ξ<ω_1$的非增序列以及特征谱和最佳投影见证人的概念。我们给一个帐户张的强迫添加通用共穷排列，并与内置的编码版本，这种强迫。
Non-meager free sets and independent families
我们的主要结果是，给定波兰空间$X$上的贫乏关系集合$\mathcal{R}$，使得$|\mathcal{R}|\leqω$，存在$X$的稠密Baire子空间$F$（等价地，$X$的无处贫乏子集$F$），使得对于每个$R\in\mathcal{R}$，$F$是$R$ -free的.这推广了Banakh和Zdomskyy最近的一个结果。作为应用，我们证明了$ω$上存在一个非贫乏独立族，并定义了相应的基数不变量。此外，在可数偏序集的Martin公理下，我们的结果可以通过用“$|\mathcal{R}|<\mathfrak{c}$“代替“$|\mathcal{R}|\leqω$“和用“完全Baire”代替“Baire”来加强.
On maximal families of independent sets with respect to asymptotic density
研究渐近密度下独立集族的性质，证明存在最大独立族可取任意值集，并在特定条件下构造无例外的族，同时构造出具有强定义病态的独立族。
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