Dyson's crank and unimodal compositions
曲柄是一个分区统计要求戴森在1944年为了combinatorially证明拉马努金同余欧拉的分拆函数$p(n)$。在本文中，我们提供戴森曲柄和单峰组成之间的连接。不相关的，我们给出了一个新的截断欧拉五边形数定理由于夏和赵的组合证明。
2022-03-03 math.CO math.NT
Infinite families of crank functions, Stanton-type conjectures, and unimodality
戴森的秩函数和安德鲁斯-加文曲柄函数著名的组合证人拉马努金的分拆函数同余模5，7和11。虽然这些函数可以用来显示对应的分区集合被分成5、7或11个大小相等的集合，但人们可能会问，如何使由秩或曲柄组合显式组织的分区之间的结果双射。斯坦顿最近做了一些尝试，旨在揭示沿着这些路线的更深层次的组合结构，事实证明，需要对秩和曲柄进行微小的修改。在这里，我们证明了其中的两个命题。基于单峰性和对称性，我们还给出了某些分圆多项式的多项式导数具有非负系数的抽象判据。此外，我们将Stanton猜想推广到曲柄的无限族。这表明进一步应用到其他组合对象。我们还讨论了数值证据，我们的结构，连接与其他分析结构，如分配的分区排名。
2022-03-22 math.CO math.NT
Combinatorial Proof of the Minimal Excludant Theorem
分区$λ$的最小互斥量$\rm{mex}(λ)$是不属于$λ$的一部分的最小正整数。对于正整数$n$，$ σ\, \rm{mex}(n)$表示$n$的所有分区的最小异数之和。最近，Andrews和Newman对$σ\, \rm{mex}(n)$给出了一种新的组合解释.他们使用生成函数证明，$σ\, \rm{mex}(n)$等于使用两种颜色将$n$划分为不同部分的数量。在本文中，我们提供了一个纯粹的组合证明这一结果和新的性质的功能$σ\, \rm{mex}(n)$。我们将这种组合解释推广到$σ_r\, \rm{mex}(n)$，即$n$的所有分区中的最小$r$ -空位的总和。分区$λ$的最小$r$ -间隙是作为$λ$的一部分至少不出现$r$次的最小正整数。
2020-06-09 math.CO math.NT
Generalization of the Extended Minimal Excludant of Andrews and Newman
本文推广Andrews与Newman的扩展mex分拆函数，建立其与任意rank、crank界分拆数的联系，给出最小部分函数的有限和表达式及受限分拆恒等式，并引入overpartition的新mex。
2024-01-26 math.CO math.NT
On Blecher and Knopfmacher's Fixed Points for Integer Partitions
本文解决 Blecher 和 Knopfmacher 关于整数分拆中有无不动点分拆相对数量的公开问题，将不动点融入 Frobenius 符号、Dyson crank、mex 等统计量，并推广其定义以关联 $\ ext{mex}_j$ 与 $j$-Durfee 矩形。
2023-05-08 math.CO
k-Marked Dyson Symbols and Congruences for Moments of Cranks
通过引入$k$标记的Durfee符号，Andrews找到了$n$的划分秩的$2k$次对称化矩$η_{2k}(n)$的组合解释.最近，Garvan在研究高阶spt函数$spt_k(n)$时，引入了$n$分块曲柄的$2k$次对称矩$μ_{2k}(n)$.本文给出了$μ_{2k}(n)$的组合解释。本文在Dyson给出的普通划分表示的基础上引入了$k$标记的Dyson符号，并证明了$μ_{2k}(n)$等于$n$的$(k+1)$标记的Dyson符号的个数.然后，我们引入了一个$k$标记的Dyson符号的满曲柄，并证明了对于$k$标记的Dyson符号的满曲柄函数，存在一个无穷族的同余，这意味着对于固定素数$p\geq 5$和正整数$r$和$k\leq (p-1)/2$，存在无穷多个非嵌套算术级数$An+B$，使得$μ_{2k}(An+B)\equiv 0\pmod{p^r}$ .
2013-12-07 math.CO math.NT
Asymptotics for rank and crank moments
矩的分区排名和曲柄统计已研究其连接到组合对象，如杜尔菲符号，以及其连接到谐波马斯形式。本文证明了Bringmann和Mahlburg提出的一个猜想，该猜想改进了Garvan的一个猜想. Garvan猜想指出曲柄函数的矩总是大于秩函数的矩，即使这两个矩具有相同的主渐近项。证明使用的Hardy-Ramanujan方法，以提供精确的渐近估计的秩和曲柄力矩及其差异。
2009-03-06 math.CO math.NT
Partitions weighted by the parity of the crank
一个分区统计'曲柄'给出了拉马努金著名的分区同余组合的解释。本文建立了偶曲柄划集数$M_e(n)$减去奇曲柄划集数$M_o(n)$所满足的渐近公式、Ramanujan型同余和q-级数恒等式.例如，我们表明，$M_e(5n+4)-M_o(5n+4)\equiv 0 \pmod 5.$我们还确定了确切的值$M_e(n)-M_o(n)$的情况下，分区成不同的部分，这是最多两个和零无限多$n$。
2007-03-09 math.CO math.NT
An Exploration of Crank Generating functions for $t$-core partitions
University of Tennessee - Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）
本文提出一族生成函数，解释$t$-核心分区的模数关系，拓展了crank生成函数的应用范围。
2026-03-19 math.CO math.NT
The spt-Crank for Ordinary Partitions
spt函数$spt(n)$是由Andrews引入的，作为$n$关于最小部分出现次数的划分的加权计数。Andrews，Garvan和Liang定义了$S$ -划分的spt-crank，它导致了$spt(n)$ mod 5和7的同余的组合解释。令$N_S(m,n)$表示具有spt-crank $m$的$n$的$S$ -分区的净数目。Andrews、Garvan和Liang证明了$N_S(m,n)$对所有整数$m$和正整数$n$都是非负的，他们提出了寻找$N_S(m,n)$的组合解释的问题。本文引入了双标记划分的结构，定义了双标记划分的spt-曲柄。我们表明，$N_S(m,n)$可以被解释为双标记分区的$n$与spt-crank $m$的数量。此外，我们还建立了$n$的标记划分和$n$的双重标记划分之间的双射。标记划分是由Andrews，Dyson和Rhoades定义的，它是一个划分，其中恰好有一个最小的部分被标记。他们认为这是一个挑战，找到一个定义的spt-crank的一个标记的分区，使一组标记的分区的$5n+4$和$7n+5$可以分为五个和七个equinumerous类。定义了双标记划分的spt-crank和双标记划分与标记划分之间的双射，从而解决了Andrews，Dyson和Rhoades的问题.
2013-08-14 math.CO math.NT
Overpartitions and Kaur, Rana, and Eyyunni's mex sequences
本文针对分拆的 mex 序列与两类分拆相关对象的联系，通过构造特定 mex 序列分拆与 overpartitions 族的双射，提供了 Kaur, Rana 和 Eyyunni 所要求的组合证明。
2025-05-28 math.CO math.NT
Two-colored generalized Frobenius partitions and minimal-excludant sums over bipartitions
Shanghai Normal University（上海师范大学）
研究两种双色Frobenius划分的计数，通过组合证明将其与双划分的最小排除统计量之和及相等情况联系起来。
2026-06-19 math.CO
Refining Blecher and Knopfmacher's Integer Partition Fixed Points
本文按固定值细化整数分拆不动点，分析所得整数三角形，证明对角、行及反对角和恒等式与四项递推，并给出组合解释。
2023-11-19 math.CO
A new generalization of the minimal excludant arising from an analogue of Franklin's identity
欧拉的经典恒等式指出，一个整数分成奇数部分和不同部分的个数是相等的。富兰克林通过考虑具有恰好$j$的不同倍数的$r$的分区给出了一个推广，其中$r$是正整数$r$。我们证明了一个类似的富兰克林的身份，通过研究分区的数量与$j$倍数的$r$在总的过程中，发现一个自然的推广的最小互斥（MEX），我们称之为$r$链MEX。此外，我们推导出生成函数为$σ_{rc} \textup{mex}(n)$，$r$链的总和mex采取所有分区的$n$，从而推导出一个组合的身份为$σ_{rc} \textup{mex}(n)$，这整齐地推广了安德鲁斯和纽曼的结果为$σ\textup{mex}(n)$，总和mex在所有分区的$n$。
2022-08-07 math.CO math.NT
Some Observations on Dyson's New Symmetries of Partitions
我们利用戴森的概念的伴随的分区，以获得一个无限的家庭新的多项式类似的欧拉的五边形数定理。我们简化了Dyson的双射与crank <= k的分区和那些k在分区的秩集。此外，我们扩展戴森的伴随分区的麦克马洪的“模块”分区模2。这样我们就找到了高斯著名恒等式的一个新的组合证明。我们给出了一个直接的组合证明，当n>1时，n的曲柄k分拆与n的曲柄-k分拆是等距的。
2002-04-23 math.CO math.NT math.QA
Multiranks and classical theta functions
多秩和新的秩/曲柄类似物的各种分区，从而暗示combinatorially一些算术属性享有这些类型的分区。我们的方法是基本的，完全依赖于三个经典的θ函数，并受到Ramanujan，Garvan，Hammond和Lewis的开创性工作的激励。
2017-06-28 math.CO
On the combinatorics of r-chain minimal and maximal excludants
本文研究分拆中r-链最小排除数与最大排除数的组合性质，先给出r-chain mex相关定理的组合证明，再引入r-chain maex并用解析与组合两种方法建立其和恒等式。
2023-12-05 math.CO math.NT
Nearly Equal Distributions of the Rank and the Crank of Partitions
令$N(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的秩的$n$的分区的数目，并且令$M(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的曲柄的$n$的分区的数目。Bringmann和Mahlburg观察到$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)\leq N(\leq m+1,n)$用于$m<0$和$1\leq n\leq 100$。他们还指出，这些不等式可以被重述为在$n$的分区集合上存在重排序$τ_n$，使得对于$n$的所有分区$λ$，$|\text{crank}(λ)|-|\text{rank}(τ_n(λ))|=0$或$1$，即秩和曲柄在$n$的分区上几乎相等分布。Andrews，Dyson和Rhoades在研究spt-函数时提出了一个关于spt-曲柄单峰性的猜想，并证明了这个猜想等价于不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$（$m<0$）和不等式$n\geq 1$）.我们用组合论证证明了这个猜想。本文证明了关于$m<0$和$n\geq 1$的不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$.此外，我们定义了一个重排$τ_n$的$n$的分区$λ$，并表明，这种重排$τ_n$导致几乎相等的分布的秩和曲柄。使用重新排序的$τ_n$，我们给出了Andrews、Chan和Kim定义的函数ospt $(n)$的新组合解释，这立即导致了Ch…
2017-04-04 math.CO math.NT
Unimodality of ranks and a proof of Stanton's conjecture
近年来，分拆函数之间的各种不等式得到了广泛的关注。例如，Nicolas {和后来的DeSavlvo-Pak}证明了$p(n)$最终是对数凹的，Ji-Zang证明了曲柄最终是单峰的。这导致了最近的一系列活动，从不同的方向概括了这些结果。与此同时，斯坦顿最近对与分区的秩和曲柄相关的某些多项式的正性进行了深入的研究，其最终目标是为“更深”的结构细化秩和曲柄指明方向。这些已被证明是强大的，在最近的作品，这已经确定了进一步的无限家庭的情况下，着色分区的这种apturtures。本文利用圆方法证明了秩的单峰性。作为推论，我们证明了斯坦顿的原始猜想。这指向未来的研究，积极的，整系数斯坦顿假设存在，暗示在新的组合结构尚未被发现。
2022-09-25 math.CO math.NT
Biranks for Partitions into 2 Colors
在2003年，Hammond和Lewis定义了一个关于划分为2种颜色的统计量，它组合地解释了某些众所周知的划分同余模5。我们给出了Hammond和Lewis的birank统计量的两个类似物。一个模拟是在戴森的排名方面，第二个使用5核心曲柄由于加文，金和斯坦顿。我们讨论安德鲁斯的双秩统计量，以及如何可以扩展。我们还将Hammond-Lewis双秩推广为多分区的多秩，将Andrews双秩推广为扩展多分区的多秩。这两者都给出了模所有素数t>3的多分拆同余的组合解释。
2009-09-26 math.CO math.NT
Moments of partition statistics, Bell polynomials and Eisenstein-type series
Kangwon National University（江原国立大学）；Seoul National University of Science and Technology（首尔科学技术大学）
本文通过完全Bell多项式及其反演公式和Faà di Bruno公式，发展了一种将组合统计量矩的生成函数表示为划分迹的系统方法，并应用于整数划分的最大部分、划分crank和rank以及单峰序列rank等统计量。
2026-05-29 math.CO math.NT
Fixed hooks in arbitrary columns
本文将分拆第一列的不动点概念推广到任意列的固定钩，建立其与彩色分拆的组合联系，并给出多种分拆限制下按固定度分类的生成函数。
2024-06-12 math.CO
On the Andrews-Stanley Refinement of Ramanujan's Partition Congruence Modulo 5 and Generalizations
Stanley在最近对符号平衡的标号偏序集的研究中，引入了一个新的整数划分统计量srank（pi）= O（pi）- O（pi '），其中O（pi）表示划分pi的奇数部分的个数，pi'是pi的共轭。Andrews证明了Ramanujan的分划同余mod 5的以下改进：p[0]（5 n +4）= p[2]（5 n + 4）= 0（mod 5），p（n）= p[0]（n）+ p[2]（n），其中p[i]（n）（i = 0; 2）表示n的srank = i（mod 4）的分划数，p（n）是n的无限制分划数。安德鲁斯要求一个分区统计，将划分分区枚举的p[i]（5 n + 4）（i = 0，2）到五个equinumerous类。本文讨论了三个这样的统计量：St-曲柄统计量、2-秩统计量和5-核-曲柄统计量。第一个，虽然新的，是密切相关的安德鲁斯-加文曲柄。第二个是关于划分的2-商。第三个是由Garvan，Kim和Stanton介绍的。我们使用它在我们的组合证明安德鲁斯细化。值得注意的是，安德鲁斯的结果是一个简单的后果更强的细化拉马努金的同余模5。这种更一般的改进使用了一种新的分区统计，我们称之为BG秩。我们采用BG-秩证明新的划分同余模5。最后，我们讨论了一些新的公式划分是5-核心，并讨论了一个有趣的关系3-核心和Andrews-Garvan曲柄。
2004-02-26 math.CO math.NT
Some inequalities for Garvan's bicrank function of 2-colored partitions
为了给2色分拆函数的模$5$同余提供一个统一的组合解释，Garvan引入了一个加权向量划分的双秩统计量.本文利用$q$ -级数技巧和渐近公式，得到了$m=2$，$3$和$4$的双秩计数$M^{*}(r,m,n)$之间的一些不等式.这些不等式与Andrews和Lewis关于普通分拆的秩和曲柄数的结果是平行的。
2018-05-17 math.CO math.NT
Partitions with fixed points in the sequence of first-column hook lengths
本文研究整数分拆Young图第一列钩长序列中的不动钩，通过生成函数和组合证明进行计数，并建立其与部分大小等于重数的出现次数及五边形数定理截断等研究的联系。
2024-01-11 math.CO math.RT
