Remarks on the ill-posedness of the Prandtl equation
在Gerard-Varet和Dormy最近的一篇论文中，我们建立了Prandtl方程的各种不适定性结果。通过考虑定常剪切流的扰动，我们证明了对于Prandtl方程的某些线性化和某些$C^\infty$初始数据，时间上的局部$C^\infty$解不存在。在非线性水平上，我们证明了如果一个流存在于Sobolev设置，它不能Lipschitz连续。除了在时间上的不适定性，我们还建立了一些在空间上的不适定性，这给Oleinik对单调数据所得到的结果带来了一些启发。
2010-08-03 math.AP
Remarks on the Prandtl Equation
Gerard-Varet和Dormy [5]在最近的一个结果中，证明了线性化Prandtl方程的Cauchy问题在与x无关且满足热方程的非单调特解附近的不适定性.在[6]和[7]中，利用这个反例建立了一些非线性不适定性。那么，当非退化临界点出现时，这种线性不适定性是否会发生呢？本文研究了线性化Prandtl方程的一般定态解，该定态解具有依赖于x的非退化临界点，这些临界点可以看作是时间周期解，并表现出一定的不适定性.
2011-08-05 math.AP
Well-posedness and ill-posedness of the 3D generalized Navier-Stokes equations in Triebel-Lizorkin spaces
本文研究了三维广义不可压Navier-斯托克斯方程（gNS）在Triebel-Lizorkin空间$\dot{F}^{-α,r}_{q_α}(\mathbb{R}^3)$中的Cauchy问题，该空间具有$(α,r)\in(1,5/4)\times[2,\infty]$和$q_α=\frac{3}{α-1}$ .我们的工作建立了依赖于$r=2$或$r>2$的适定性和不适定性的{ \it二分法}。具体地，通过结合$L^{q_α}_x L^2_T$中新的端点双线性估计和Triebel-Lizorkin空间的分数半群刻画，证明了gNS在$\dot{F}^{-α,r}_{q_α}(\mathbb{R}^3)$中对于$r=2$的适定性.另一方面，对于任何$r>2$，我们表明，解决方案的gNS可以开发{ \it范数膨胀}的意义上说，任意小的初始数据在空间$\dot{F}^{-α,r}_{q_α}(\mathbb{R}^3)$可以导致相应的解决方案，成为任意大后，任意短的时间。特别地，Triebel-Lizorkin空间的这种二分法对于经典的N-S方程也是成立的，即\，\，$α=1$。因此，Triebel-Lizorkin空间框架自然地提供了著名的Koch-Tataru的$BMO^{-1}$适定工作和Bourgain-Pavlović的$\dot{B}_\infty^{-1,\infty}$不适定…
2013-02-23 math.AP
Remark on the ill-posedness for KdV-Burgers equation in Fourier amalgam spaces
该研究证明了实轴上KdV-Burgers方程在$s<-1$的Fourier amalgam空间中具有弱形式不适定性，复现了已有经典结果，并在Fourier Lebesgue空间与调制空间中得到新的不适定性结论。
2023-07-20 math.AP
Remarks on the Complex Euler Equations
该研究针对Šverák提出的守恒能量复欧拉方程，证明其在解析正则性以下非线性不适定且存在有限时间丧失解析性的一维复剪切流解，进一步研究一维非双曲完全非线性系统的同类性质，通过构造无穷维不稳定流形捕捉非线性高频不稳定性。
2023-10-04 math.AP
A remark on norm inflation for nonlinear wave equations
本文研究非线性波动方程的不适定性。也就是说，我们证明了在负索伯列夫空间中，NLW在每个初始数据处都经历范数膨胀。这个结果涵盖了Christ，Colliander和Tao（2003）的论文中留下的空白，并将Oh，Tzvetkov和第二作者（2019）的结果扩展到非三次整数非线性。特别地，对于某些低维情形，我们得到了标度临界正则性之上的范数膨胀。我们还证明了不适定性的NLW，通过正常的通货膨胀在一般的初始数据，在负正则性傅里叶-勒贝格和傅里叶汞齐空间。
2020-11-19 math.AP
A remark on norm inflation with general initial data for the cubic nonlinear Schrödinger equations in negative Sobolev spaces
本文研究了三次非线性薛定谔方程的不适定性问题。特别地，我们证明了在任何初始条件下，在低于或处于标度临界正则性的负索伯列夫空间中的范数膨胀。
2021-06-22 math.AP
Arbitrary norm growth in the 3D Navier-Stokes equations
本文构造了$BMO^{-1}$有界但能产生任意大全局解的Navier-Stokes光滑初值，首次在适定情形下展示无界范数增长，并揭示其源于二次非线性的逆级联机制。
2025-09-23 math.AP
A remark on norm inflation for nonlinear Schrödinger equations
本文研究了半线性薛定谔方程在$\mathbb{R}^d$或环面上的非线性项是未知函数及其复共轭的多项式.在负指数的索伯列夫空间中证明了相应的初值问题的范数膨胀（不适定性）.为此，我们应用Iwabuchi和Ogawa（2012）的论点，他们处理了二次非线性。无论空间域是非周期的还是周期的，无论非线性是规范/标度不变的，该方法都可以应用。
2018-08-24 math.AP
Some remarks on a viscous regularization of the nonlinear diffusion equation
我们举例说明[A]中研究的扩散方程粘性正则化的另一种推导方法。Novick-Cohen和R. L.佩戈{ \em Trans. Amer. Math. Soc.}，324：331- 351]。我们提供了另一种证明的存在性的解决方案，基于Galerkin方法和紧参数。此外，我们提出了一个“非光滑”的粘性正则化，我们相信可能会导致有趣的滞后效应的变体。
2015-05-29 math-ph math.AP math.MP
Remarks on backward uniqueness of parabolic equations and incompressible Navier-Stokes well-posedness
我们解释了为什么Escauriaza，Seregin和Sverak（俄罗斯数学调查，2003年）的理论在Navier-Stokes解的潜在有限时间奇异性必须在很大程度上被误解。发现抛物型方程向后唯一性定理的证明存在技术错误。涡量定理的有效性是建立在错误的分析上的，因为没有考虑螺线管约束。在许多情况下，抛物线比例被错误地应用。我们简要讨论一些相关问题。
2019-04-16 math.AP physics.flu-dyn
Remarks on the Cauchy problem for the one-dimensional quadratic (fractional) heat equation
证明了一维二次（分数阶）热方程：$u_t=D_x^{2α} u \mp u^2,\; t\in (0,T),\; x\in \R$或$ \T $，带$ 0<α\le 1 $的Cauchy问题，对于$ s\ge \max(-α,1/2-2α) $在$ H^s $中是适定的，但对于$ s=-1/2 $在$ α=1/2 $中是适定的，对于$ s>-1/2 $是不适定的.作为一个副产品，我们提高了已知的适定性结果热方程（$α=1$）达到终点Sobolev指数$ s=-1 $。最后，在$ 1/2<α\le 1 $的情形下，我们也证明了在Besov空间$B^{s,q}_2.$中的最优结果
2013-04-03 math.AP
A remark on the single scattering preconditioner applied to boundary integral equations
本文讨论了多次散射问题的边界积分方程预处理。重点放在单散射预条件子上，对应于积分算子的对角部分，证明了两个结果。实际上，在应用这个几何预条件子之后，首先，每个直接积分方程变得彼此相同，其次，Brakhag-Werner的间接积分方程变得等于直接积分方程，直到基的改变。这些性质特别意味着Krylov子空间求解器的收敛速度对于每个预处理的积分方程都完全相同。为了说明这一点，一些数值模拟提供的文件的最后。
2016-11-24 math.AP
Remarks on the convex integration technique applied to singular stochastic partial differential equations
Brown University（布朗大学）；University of Nebraska（内布拉斯加大学）
本文讨论了凸积分技术在奇异随机偏微分方程中的应用，并指出该技术难以证明Φ⁴模型的非唯一性。
2026-01-15 math.AP math.PR
Remarks on existence and uniqueness of the solution for stochastic partial differential equations
在这篇文章中，我们考虑的解决方案的存在性和唯一性的一大类随机偏微分形式$\partial_t u = L_x u + b(t,u)+σ(t,u)\dot{W}$，驱动的高斯噪声$\dot{W}$，白色的时间和空间的相关性给出了一个通用的协方差$γ$。我们提供了自然条件下，经典的皮卡德迭代程序提供了一个独特的解决方案。我们说明了我们的一般结果的适用性，提供了几个有趣的特殊选择的运营商$L_x$下，我们的存在性和唯一性的结果举行。特别地，我们证明了Dalang（1999）中给出的Dalang条件对于许多抛物和亚椭圆算子$L_x$是充分的.
2021-04-15 math.AP math.PR
Global well-posedness of 3-D inhomogeneous Navier-Stokes equations with ill-prepared initial data
本文研究了三维不可压非齐次Navier-斯托克斯方程的整体适定性，该方程的初始数据是在一个空间变量上缓慢变化的，即初始数据的形式为$\bigl(1+\e^{\be}a_0(x_{\rm h},\e x_3),(\ve^{1-\al} v^{\rm h}_0, \ve^{-\al}v_0^3)(x_{\rm h},\e x_3)\bigr)$，对于任意的$\al\in ]0,1/3[,$ $\be>2\al,$和$\ve$都足够小.我们注意到，这种类型的初始数据不满足\cite{c-p-z,HPZ3}中的小条件，无论$\e$是多么小。特别是，这个结果大大提高了全局适定性结果在\cite{PZZ3}与所谓的良好准备的初始数据。
2014-09-05 math.AP
Remarks on the two-dimensional Cahn-Hilliard equation forced by divergence of space-time white noise
University of Nebraska（内布拉斯加大学）
该研究针对由时空白噪声散度驱动的二维Cahn-Hilliard方程，通过结合最少重整化程序与确定性分析工具，建立了其全局时间唯一解理论，解决了非线性项乘积无定义的问题。
2026-09-29 math.AP math.PR
A remark on the well-posedness of the modified KdV equation in the Fourier-Lebesgue spaces
研究了圆上的复值修正Korteweg-de Vries方程（mKdV）.我们首先考虑实值的设置和显示整体适定性的（通常）重整化mKdV方程在Fourier-Lebesgue空间。在复值条件下，我们观察到动量在适定性理论中起着重要的作用。特别地，我们证明了复值mKdV方程在动量无穷大时解不存在的意义下是不适定的，这是基于Guo-Oh（2018）关于非线性薛定谔方程的工作的精神。这个不存在的结果促使第二重正化mKdV方程的引入，我们建议作为正确的模型在$H^\frac12(\mathbb{T})$以外的复值设置。此外，强加一个新的概念，有限的动量的初始数据，在低的正则性，我们证明了复值mKdV方程的解的存在性。特别地，我们需要能量估计，由此得出动量守恒。
2020-12-27 math.AP
Non Existence and Strong Ill-Posedness in $H^2$ for the Stable IPM Equation
本文研究稳定 IPM 方程在小 $H^2$ 扰动下的适定性，通过构造抵消背景稳定效应并产生强形变的迭代扰动，证明其解不存在且强不适定。
2024-10-02 math.AP
