Extending partial edge colorings of cartesian products of graphs
考虑图的笛卡儿积的部分边染色的扩张问题。更具体地说，我们提出了下面的Evans型猜想：如果$G$是一个图，其中至多$k$条预着色边的每个预着色都可以扩展为一个真$χ'(G)$ -边着色，那么$G \square K_2$的至多$k+1$条边的每个预着色都可以扩展为$G \square K_2$的一个真$(χ'(G) +1)$ -边着色.本文证明了这个猜想对树、完全和完全二部图以及最大度较小的图都成立。我们还证明了版本的猜想一般正则图的预着色的边缘是独立的。
2023-03-09 math.CO
Majority distinguishing edge coloring
本文结合多数着色与区分着色概念，证明无悬挂边图可用至多 ⌈√Δ⌉+5 种颜色实现多数区分边着色，并推广到若干图类及对称有向图。
2023-12-09 math.CO
On the comparison of the distinguishing coloring and the locating coloring of graphs
设G是简单连通图。则chi L（G）和chi D（G）分别表示G的定位色数和可区别色数.本文研究了chi L（G）与chi D（G）之间的一个比较.事实上，我们证明了x_D（G）\leq x_L（G）.此外，我们还确定了几类图的定位色数和可区别色数相等。特别地，我们刻画了所有图G的一个性质：chi D（G）= chi L（G）= 3.
2021-12-07 math.CO
DP-Coloring Cartesian Products of Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是Dvoprák和Postle在2015年引入的列表着色的推广。受列表染色笛卡儿积的相关结果的启发，我们开始了对图的DP-色数$χ_{DP}$的研究。我们证明了$χ_{DP}(G \square H) \leq \text{min}\{χ_{DP}(G) + \text{col}(H), χ_{DP}(H) + \text{col}(G) \} - 1$，其中$\text{col}(H)$是图$H$的色数。我们专注于构建$χ_{DP}(G \square H)$的下界参数的工具，并使用它们来显示上界的清晰度及其各种形式。我们的结果表明，色多项式的DP模拟--$G$的DP色函数在研究笛卡尔积图的DP-色数中是必不可少的，包括以下问题，它扩展了上述的锐度问题和关于列表色数与色数之间的间隙的经典结果：给定任何图$G$和$k \in \mathbb{N}$，对于哪个$χ_{DP}(G \square K_{k,t})= χ_{DP}(G) + k$，最小的$t$是多少？
2022-09-13 math.CO
A note on edge colorings distinguishing all triangles in a graph
本文研究图中区分所有三角形的边着色问题，作为区分极大星思想的扩展，估计了正常和一般着色下关于三角形的新不变量。
2024-07-26 math.CO
The List Distinguishing Number Equals the Distinguishing Number for Interval Graphs
图$G$的\textit{distinguishing coloring}是顶点的着色，使得$G$的每个非平凡自同构将某个顶点映射到具有不同颜色的顶点。$G$的\textit{distinguishing number}是最小$k$，使得$G$具有区别着色，其中每个顶点被分配来自$\{1,\ldots,k\}$的颜色。到$G$的\textit{list assignment}是颜色列表到$G$的顶点的分配$L=\{L(v)\}_{v\in V(G)}$。$G$的\textit{distinguishing $L$-coloring}是$G$的区别着色，其中每个顶点$v$的颜色来自$L(v)$。$G$的{ \it列表区分数}是最小的$k$，使得对$G$的每个列表分配，其中所有$v\in V(G)$的$|L(v)|=k$产生$G$的区分$L$ -着色。证明了如果$G$是区间图，则它的可区别数与列可区别数相等.
2015-09-14 math.CO
Adjacent Vertex Distinguishing Total Coloring of Corona Product of Graphs
图$G$的邻点可区别全$k$ -染色$f$是$G$的真全$k$ -染色，使得没有一对邻顶点具有相同的色集，其中一个点$v$的色集$C^G_f(v)$是$\{f(v)\} \cup \{f(vu)|u \in V (G), vu \in E(G)\}$ . 2005年Zhang等人提出了一个猜想（AVDTCC）：每个单图$G$都有邻点可区别全$(Δ(G)+3)$ -染色.在本文中，我们证实了猜想的许多冠，特别是广义的，简单的和$l$ -冠的图，不涉及特定的图形类的结果。
2022-08-23 math.CO
Neighbor product distinguishing total colorings of corona of subcubic graphs
图$G$的一个恰当的$[k]$ -全着色$c$是从$V(G)\bigcup E(G)$到$[k]=\{1,2,\cdots,k\}$的一个映射$c$，使得$c(x)\neq c(y)$，其中$x$，$y\in V(G)\bigcup E(G)$和$x$与$y$相邻或关联.令$\prod(v)$表示$c(v)$与与$v$相关的所有边缘上的颜色的乘积。对每条边$uv\in E(G)$，若$\prod(u)\neq \prod(v)$，则称$c$为$G$的邻积区别全染色.我们用$χ"_{\prod}(G)$来表示$k$在$G$的这种着色中的最小值。在2015年，Li等人证明$Δ(G)+3$颜色使图具有区分全着色的邻居积。本文考虑了冠积$G\circ H$的邻积可区别全染色，得到了$χ"_{\prod}(G\circ H)\leq Δ(G\circ H)+3$ .
2021-04-22 math.CO
On the b-chromatic number of the Cartesian product of two complete graphs
图$G$的b-染色是其顶点的染色，使得每个颜色类包含一个顶点，该顶点在所有其他类中具有邻居。$G$的b-色数是使得$G$具有$k$颜色的b-着色的最大整数。Javadi和Omoomi（“On b-colouring of carcardiac product of graphs”，Ars Combinatoria 107（2012）521-536）证明了$K_n \times K_n$（两个完全图在$n$顶点上的笛卡儿积）的b-色数在集合$\{2n-3, 2n-2\}$中，并且证明了对于所有$n \ge 5$，精确值是$2n-3$。我们对$n=5$，$n=6$和$n=7$给出了这个猜想的反例.
2015-04-08 math.CO
The Cost of Edge-distinguishing of the Cartesian Product of Connected Graphs
一个图$G$称为$G$-可区分的，如果存在$G$的一个顶点着色，其$G$颜色的集合破坏了$G$的除恒等式之外的所有自同构.我们把使图$G$是$d$ -可分解的最小$d$称为$G$的可区别数，记为$D(G)$。当$D(G)=2$时，其中一个颜色类中的最小顶点数称为$G$的区分成本，并由$ρ(G)$表示。本文通过引入图$G$的边可区别的代价（记为$ρ'(G)$），将这一概念推广到边染色问题.然后，我们考虑$ρ'(K_n )$为$n\geq 6$通过找到一个过程，给出了最小数量的边缘的$K_n$，应着色不同，有一个$2$ -区别边染色。之后，我们开发了一个机器状态的充分条件，着色的笛卡儿积打破所有非平凡的自同构。利用这个充分条件，我们确定了当一条路的笛卡尔幂的可区分和边可区分的代价等于1时。我们还表明，这个参数是等于一个任何笛卡儿积的许多不同长度的道路。此外，我们做了类似的工作的笛卡尔权力的一个循环，也为笛卡尔产品的许多不同的订单循环。给出了超立方体的边可区别代价和完全图的笛卡尔幂的上界。
2019-10-26 math.CO
Asymptotically optimal neighbor sum distinguishing total colorings of graphs
给定图$G$的一个适当的全$k$ -染色$c:V(G)\cup E(G)\to\{1,2,\ldots,k\}$，我们定义一个顶点$v$的值为$c(v) + \sum_{uv \in E(G)} c(uv)$ .使$G$有一个其值构成一个真染色的真全$k$ -染色的最小整数$k$是$G$的邻和可区别色数数$χ"_Σ(G)$。Pilogniak和Woogniak（2013）证明了$χ"_Σ(G)\leq Δ(G)+3$对于任何具有最大度$Δ(G)$的简单图。在本文中，我们证明了这个界是渐近正确的，通过显示$χ"_Σ(G)\leq Δ(G)(1+o(1))$。我们的论证的主要思想依赖于Przybytelo（2014）关于邻域和可区别边着色的证明。
2016-08-05 math.CO
Quasi-majority neighbor sum distinguishing edge-colorings
本文研究了带有局部准多数约束的邻和可辨别边着色问题，证明了nice图至多使用12种颜色可实现该着色，并改进了二部图和最大度为4的图的界限，同时确定了完全图、完全二部图和树的精确指数值。
2025-11-03 math.CO
A proper total coloring distinguishing adjacent vertices by sums of some product graphs
本文考虑一个真全染色，它是用和来区分邻顶点的，如果每两个邻顶点的关联边的颜色之和与顶点的颜色之和不同. Pilsniak和Wozniak \cite{PW}首先介绍了这种着色，并提出了一个猜想，即区分邻顶点的和所需的最小颜色数小于或等于最大度加上$3$。研究了图的和与积区分邻顶点的真全染色。我们发现这些图满足猜想。
2014-12-08 math.CO
Vertex-distinguishing and sum-distinguishing edge coloring of regular graphs
该研究针对偶数顶点且规模足够大的d-正则图，证明了顶点区分色指数和和区分色指数的相关结论，强化了已有结果并推动了领域发展。
2024-12-10 math.CO
Trivial coloring of Cartesian product of graphs
本文推广了Greenwell和Lovász关于完全图平凡幂可着色的结果，证明了一类满足团条件的有限连通图是平凡幂可着色的，并据此完整刻画了平凡幂可着色的余图，还描述了其无限幂的着色结构。
2024-10-22 math.CO
An extension on neighbor sum distinguishing total coloring of graphs
设$f: V(G)\cup E(G)\rightarrow \{1,2,\dots,k\}$是$G$的非真全$k$ -染色.定义全着色的权重函数为$$ϕ(x)=f(x)+\sum\limits_{e\ni x}f(e)+\sum\limits_{y\in N(x)}f(y),$$，其中$N(x)=\{y\in V(G)|xy\in E(G)\}$。如果对任意边$xy\in E(G)$有$ϕ(x)\neq ϕ(y)$，则称$f$为$G$的邻满和可区别全$k$ -染色. $G$具有这种着色的最小值$k$被称为$G$的近邻全和可区别全色数，并由fgndi $_{\sum}(G)$表示。该染色是邻和可区别非正常全染色的推广。本文猜想对任意阶数至少为3的连通图$G$，fgndi $_{\sum}(G)\leq 3$是连通的.证明了该猜想对（i）路和圈，（ii）3-正则图，（iii）星，完全图，树，超立方体，二部图和完全$r$ -部图都成立.特别地，完全图可以达到上述猜想的上界。
2022-01-08 math.CO
Proper Distinguishing Colorings with Few Colors for Graphs with Girth at Least 5
图$G$的可区别色数$χ_D(G)$是$G$的真染色$φ$中的最小颜色数，使得$G$的唯一保持$φ$的所有颜色的自同构是恒等映射。柯林斯和特伦克指出，如果$G$与周长至少为5和$G\ne C_6$相连，则$χ_D(G)\le Δ+1$。我们证明了这个猜想。
2018-10-17 math.CO
List Distinguishing Parameters of Trees
如果图G的非平凡自同构不保持所有顶点的颜色，则称图G的顶点的着色是可区别的。图G的可区别数D（G）是图G的一个可区别染色中的最小颜色数。图G的可区别色数chi_D（G）是图G的可区别染色中的最小颜色数，它也是图G的一个真染色.最近，可区别染色的概念被扩展到列表可区别染色。给定可用色表到G的顶点的赋值L= {L（v）：v in V（G）}，我们称G是L-可区别的，如果存在G的（真）可区别染色f，使得f（v）对所有v都在L（v）中。G的表可区别数D_l（G）是使得G对任意表赋值L是L-可区别的最小整数k，且|L（v）|类似地，G的列表可区别色数，记为chi_{D_l}（G）是最小整数k，使得G对于任何列表分配L是适当L-可区别的，|L（v）|在本文中，我们研究了树的这些区别参数，特别是推广了Cheng的一个计数技巧，证明了对任意树T，D_1（T）= D（T），chi_D（T）= chi_{D_l}（T），且chi_D（T）<= D（T）+ 1.
2011-11-21 math.CO
Distinguishing threshold for some graph operations
图$G$的一个顶点染色是可区别的，如果非单位自同构不保持它，可区别数$D(G)$是这样一个染色所需的最小颜色数，可区别阈值$θ(G)$是使得任意$k$ -染色是可区别的最小颜色数~ $k$.此外，$Φ_k (G)$是最多使用$k$颜色的$G$的区别着色数。本文利用$Φ_k (G)$给出了图的顶点和、根积、冠积、字典积等运算的可区分数和阈值的计算公式。
2022-12-16 math.CO
$Δ+300$ is a Bound on the Adjacent Vertex Distinguishing Edge Chromatic Number
单图$G$的邻点可区别边染色或\avd -染色是$G$的真边染色，使得没有一对邻顶点满足相同的色集.证明了具有最大度$Δ$且无孤立边的图的\avd -染色至多含有$Δ+300$色，条件是$Δ>10^{20}$ .
2006-12-31 math.CO
Extending partial edge colorings of iterated cartesian products of cycles and paths
本文研究偶环与奇环迭代笛卡尔积的部分边着色扩展问题，在预着色边数受限或预着色边距离至少为4的条件下，证明存在与部分着色一致且色数最优的正常边着色，推广了超立方体的预着色扩展结果。
2024-06-03 math.CO
Extending partial edge-colorings of bounded size in Cartesian products of graphs
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究图笛卡尔积中的边预着色扩展问题，提出猜想并证明在特定条件下，边预着色可扩展为适当着色。
2026-04-03 math.CO
Game Distinguishing Numbers of Cartesian Products of Graphs
图的可区别数$H$是一个与对称性有关的图不变量，其研究始于二十多年前。区别数$D(H)$是使得$H$具有$d$ -区别着色的最小整数$d$。$d$ -可区别染色是仅在平凡自同构下的染色$c:V(H)\rightarrow\{1,\dots,d\}$不变量.在本文中，我们继续研究这个参数的游戏变体，最近推出。区别游戏是两个玩家的游戏，Gentle和Rascal，具有对抗性目标。这个游戏是在一个图形$H$上玩的，它有一组固定的$d\in\mathbb N^*$颜色。或者，两个玩家选择一个$H$的顶点，并用$d$颜色之一对其着色。游戏结束时，所有的顶点都已着色。然后，如果颜色是$d$ -可区分的，则温和获胜，否则，流氓获胜。这个游戏定义了两个新的不变量，这是确保Gentle拥有获胜策略所需的最小颜色数量，取决于谁开始游戏。不变量最终可能是无限的。在本文中，我们专注于carnival产品，一个图的操作，以及在经典的情况下研究。给出了两个连通因子$H$和$F$互素的阶的充分条件，从而保证了卡氏积$H\square F$的一个博弈区别数是有限的.如果$H$是一个对合图，我们给出了$H\square F$的一个博弈可区别数的阶$D^2(H)$的上界.最后，部分地利用前面的结果，我们计算了相对素圈的笛卡儿积的这些不变量的精确值。结果表明，该值要么是无穷大，要么等于$2$，这取决于乘积阶的奇偶性。
2015-12-04 math.CO
An improved upper bound on the adjacent vertex distinguishing chromatic index of a graph
图G的邻点可区别染色是指图G的正常边染色使得任意一对邻顶点与不同的颜色集相关联。图G的邻点可区别染色所需的最少颜色数记为$χ'_a(G)$ .本文证明了对任意一个具有最大度$Δ$且无孤立边的图G，$χ_a'(G)$ <= 5（$Δ+2$）/2.这改进了[S. Akbari，H. Bidkhori，N. Nosrati，r-Strong edge colorings of graphs，Discrete Math.306（2006），3005-3010]，其中指出对于任何没有孤立边的图G，$χ_a'(G)$ <= 3 $Δ$。
2012-08-11 math.CO
List-Distinguishing Cartesian Products of Cliques
图$G$的区别数，记作$D(G)$，是使$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得每个非平凡同构交换不同颜色的顶点。图$G$上的列表分配$L$是一个函数，它为$G$的每个顶点分配一组颜色。$G$的$L$着色是其中每个顶点用来自$L(v)$的颜色着色的着色。表示为$D_{\ell}(G)$的$G$的列表区分数是最小$k$，使得将大小至少为$k$的列表分配给每个顶点的每个列表分配$L$允许区分$L$着色。本文证明了当和$n$足够大时，$K_n\Box K_m$的可区别数和列表可区别数对几乎所有的$m>n$都是一致的，否则至多相差1.作为我们的证明的一部分，我们给（据我们所知）的第一个应用程序的组合Nullstellenetrance的图形区分问题，也证明了一个不等式的二项分布，可能是独立的利益。
2017-07-06 math.CO
On the Locating Chromatic Number of the Cartesian Product of Graphs
设$c$是连通图$G$的一个真$k$ -着色，$Π=(C_1,C_2,...,C_k)$是$V(G)$到结果色类的有序划分.对于$G$的顶点$v$，$v$相对于$Π$的颜色代码被定义为有序$k$ -元组$c_{{}_Π}(v):=(d(v,C_1),d(v,C_2),...,d(v,C_k)),$，其中$d(v,C_i)=\min\{d(v,x) | x\in C_i\}, 1\leq i\leq k$。如果不同的顶点具有不同的颜色代码，则$c$称为定位着色。$G$的定位着色中所需的最小颜色数是$G$的定位色数，用$\Cchi_{{}_L}(G)$表示。本文研究了格的定位色数、路与完全图的笛卡儿积以及两个完全图的笛卡儿积。
2012-12-09 math.CO
First-Fit coloring of Cartesian product graphs and its defining sets
本文研究笛卡尔积图在准字典序下的 First-Fit 着色，引入 descent 给出颜色数相等的充分条件，并证明不同准字典序下贪心定义集一致，还给出其最小基数的上下界。
2016-06-17 math.CO
$r$-strongly vertex-distinguishing total coloring of graphs
受通信网络中同频干扰现象的启发，提出了一种新的图参数--$r$ -顶点强可区别全染色（简称$D(r)$ -VSDTC）.给定图$G$，$r$-VSDTC是$k$颜色到$V(G)\cup E(G)$的分配，使得任何两个相邻或关联的元素接收不同的颜色，并且距离至多为$r$的任何两个顶点具有不同的颜色集，其中顶点$u$的颜色集是分配在$u$及其邻域和关联边上的颜色集。$G$的\emph{$r$-vertex-strongly-distinguishing total chromatic number}，记作$χ_{r-vsdt}(G)$，是$G$允许$k$ - $D(r)$ -VSDTC的最小整数$k$。我们证明了对于每个没有孤立边的图$G$，$χ_{1-vsdt}(G)\leq 4Δ(G)$是唯一的;对于一个没有孤立边的$k$ -退化图$G$，$χ_{1-vsdt}(G)\le kΔ(G)+3$是唯一的，其中$1\le k\le 3$ .
2020-08-13 math.CO
Optimal Adjacent Vertex-Distinguishing Edge-Colorings of Circulant Graphs
图G的一个$k$ -真边染色称为邻点可区别的，如果任意两个邻点都可以通过与每个点关联的边的颜色集来区分. $G$允许这种着色的最小值$k$由$χ'_a(G)$表示。我们证明了$χ'_a(G) = 2R + 1$对大多数循环图$C_n([1, R])$ .
2022-01-04 cs.DM math.CO
Number of colors needed to break symmetries of a graph by an arbitrary edge coloring
图$G$的可区分阈值（记为$θ(G)$）是使$G$的每一个$k$ -染色都可区分的最小颜色数。我们通过定义一个替代指标$θ'(G)$将这个概念推广到边着色。我们考虑了某些图族的$θ'$，并找到了它与自同构群的边圈之间的联系。证明了$θ'(G)=2$当且仅当$G\simeq K_{1,2}$和$θ'(G)=3$当且仅当$G\simeq P_4, K_{1,3}$或$K_3$ .此外，我们还证明了判别阈值为3的图的一些辅助结果，并证明了虽然有无穷多个这样的图，但它们不是线图。最后，当$G$是简单素图的笛卡尔积时，我们计算了$θ'(G)$。
2022-05-06 math.CO
Random colorings and automorphism breaking in locally finite graphs
图G的一个着色称为可区别的，如果它在Aut G中的稳定子是平凡的.本文证明了，如果局部有限图的每个自同构移动无穷多个顶点，则存在可区别的2-染色。本文研究了局部有限图的随机2-着色的性质，证明了这种着色的稳定子几乎必定在Aut G中无处稠密，并且是关于自同构群上Haar测度的零集.我们还研究了几类局部有限图中的随机2-着色，其中存在一个可区分的2-着色已经建立。事实证明，在所有这些情况下，随机的2-着色几乎肯定可以区分。
2013-04-24 math.CO
A class of graphs with distinguishing index $\bf D' \leq 3$
一个图的边染色称为非对称的，如果唯一保持它的自同构是单位元。Lehner，Pilmanniak和Stawiski证明了除了$K_2$之外的所有连通正则图都允许三色非对称边染色。我们将这个结果推广到最小度$δ$和最大度$Δ$满足$δ\geq Δ/2$的图。
2021-07-20 math.CO
Covering Families for DP-Coloring of Cartesian Products with Complete Bipartite Graphs
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）；Lake Forest College（湖森林学院）
本文引入覆盖族概念，证明其最小大小与DP-染色中完全二部图笛卡尔积的临界参数相等，从而证明μ(4)=12并改进上下界。
2026-09-29 math.CO
Distinguishing density and the Distinct Spheres Condition
若图$G$的可区别数为2，则存在图的顶点集的一个划分，使得$G$的非平凡自同构不固定这两个部分.这样的划分称为$G$的2-可区别着色，并且部分称为其颜色类。如果$G$允许这样的着色，那么通常可以找到另一个颜色类，其中一个颜色类在某种意义上是稀疏的。在这种情况下，我们说$G$具有2-可区别密度零。一个极端的例子是一个无限图，它允许一个2-可区别染色，其中一个色类是有限的。如果一个图$G$包含一个顶点$v$，使得对于所有的$n \in \mathbb N$，任何两个与$v$等距的不同顶点都有不相等的$n$ -球面，那么我们说$G$满足不同球面条件.本文证明了一个一般性结果：满足相异球面条件的可数连通图是密度为零的2-可区别图。我们提出了两个证明，一个使用确定性着色，另一个（仅适用于局部有限图）使用随机着色。从这个结果，我们推出几个重要的家庭的可数无限和连通图是2-可区别的密度为零，包括那些是局部有限的和原始的。进一步证明了任意具有无限运动和次二次增长的连通图是2-可区别的且密度为零。
2018-01-08 math.CO
Criticality, The List Color Function, and List Coloring the Cartesian Product of Graphs
我们在色彩选择性的背景下引入了色彩临界性的概念。我们定义了一个图$G$是强$k$ -色可选的，如果$χ(G) = k$和每一个$(k-1)$ -分配$G$是不是列表着色有属性的列表是相同的所有顶点。这就是通常的着色，在某种意义上，列表着色的障碍。我们证明了强色选择图的基本性质，如色选择性和点临界性，并构造了强色选择图的无限族。本文给出了强色可选图至少存在两个列表着色的一个充分条件，并证明了：如果$M$是一个强$k$ -色可选图，且$|E(M)| \leq |V(M)|(k-2)$和$H$是一个包含Hamilton路$w_1, w_2, \ldots, w_m$的图，使得$w_i$在$w_1, \ldots, w_{i-1}$中至多有$ρ\geq 1$个邻居，则$χ_{\ell}(M \square H) \le k+ ρ- 1$ .我们表明，这个界限是尖锐的所有$ρ\ge 1$通过推广的定理适用于$H$是$(M,ρ)$ -笛卡尔适应这是一个概念，我们定义的帮助下，列表颜色函数，$ P_{\ell}(G,k)$，列表模拟的色多项式。我们还使用列表色函数来确定某些星形图的列表色数：$χ_{\ell}(M \square K_{1,s}) =$ $k \; \text{if } s < P_{\ell}(M,k)$或$k+1 \; \text{if } s \geq P_{\ell}(M…
2018-08-07 math.CO
Total, Equitable Total and Neighborhood sum distinguishing Total Colorings of Some Classes of Circulant Graphs
本文给出了几类循环图的全色数、均匀可区别全色数和邻域和可区别色数。
2021-06-04 cs.DM cs.DS math.CO
On the b-chromatic number of star graph operators
本文研究星形图笛卡尔积的幂图、全图和线图的 b-色数，推广已有结果，并给出完全图特定笛卡尔积的精确值及广义情形的界。
2025-10-21 math.CO
A Vizing-like theorem for union vertex-distinguishing edge coloring
G-SCOP (CNRS, Univ. Grenoble-Alpes)（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Univ Lyon, Université Lyon 1（里昂第一大学）
本文研究了一种边着色变种，每条边被赋予颜色子集，顶点标签是其邻边颜色集的并集。研究了找到最小颜色数使每个顶点标签不同的问题，并证明对于任何图，该最小颜色数仅可能取3个值，针对路径、环和完全二叉树给出了精确值。
2017-07-17 cs.DM math.CO
Equitable coloring of interval graphs and products of graphs
证明了区间图的均匀$Δ$ -着色猜想，并证明了区间图均匀可着色性的单调性。进一步得到了图的平方（或笛卡儿）积和叉（或直积）的公平可染性结果。
2009-03-08 math.CO
Majority C-coloring in Cartesian products
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；University of Pannonia（佩奇大学）
本文研究笛卡尔积图的多数C-着色，给出其紧下界，确定二维汉明图等的精确值，提出笛卡尔网格的结果，文末附猜想与开放问题。
2026-09-21 math.CO
Circular chromatic number of Cartesian product of signed graphs
本文研究了有向图Cartesian乘积的环色数，证明了类型1和类型2乘积的环色数上界及计算方法。
2026-01-12 math.CO
Vertex-distinguishing edge coloring of graphs
本文研究了图的顶点区分边着色问题，证明了顶点区分色数的上界为floor(5.5k(G)+6.5)，并针对d-正则图给出了更优的上界。
2025-12-11 math.CO
Star Edge-Coloring of Square Grids
图$G$的星边染色是不含双色路或长为4的圈的真边染色。使得$G$允许用$k$色进行星边染色的最小整数$k$是$G$的星色指数。在关于这一主题的开创性论文中，Dvopiák、Mohar和Šámal询问了完全图的星色指数在顶点数上是否是线性的，并给出了一个几乎线性的上界。他们的问题仍然是开放的，因此，为了更好地理解星色指数的行为，这个参数已经被研究了一些其他类别的图。本文考虑正方形网格的星边染色，即路与圈的笛卡儿积和两个圈的笛卡儿积.我们改进了以前建立的界限，作为一个主要的贡献，我们证明了在这两个类的图的星色指数是$6$或$7$除了棱镜。此外，我们给出了许多考虑图的精确值。
2020-08-19 math.CO
List Coloring the Cartesian Product of a Complete Graph and Complete Bipartite Graph
本文利用强色可选图和Karamata不等式等工具，证明了Mudrock关于完全图与完全二部图笛卡尔积列表色数临界阈值的猜想，推广了完全二部图的经典列表着色结果。
2025-11-06 math.CO
The Distinguishing Index of Mycielskian Graphs
本文研究了Mycielskian图的区分边着色问题，证明了对于满足特定条件的图G，其Mycielskian图的区分指数不超过原图，从而超越并完成了Alikhani和Soltani在2020年提出的猜想，并将结果推广至广义Mycielskian图。
2024-09-26 math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs I
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值和最大值分别用$w(G)$和$W(G)$表示。本文首先证明了：如果$G$是$r$ -正则图且$G\in \mathfrak{N}$，则有$W(G\square P_{m})\geq W(G)+W(P_{m})+(m-1)r$（$m\in \mathbb{N}$）和$W(G\square C_{2n})\geq W(G)+W(C_{2n})+nr$（$n\geq 2$）.接下来，我们研究网格，圆柱和环面的区间边着色。特别地，我们证明了，如果$G\square H$是平面的，两个因素至少有3个顶点，那么$G\square H\in \mathfrak{N}$和$w(G\square H)\leq 6$。最后，我们证实了第一作者关于$n$维立方体$Q_{n}$的猜想，并证明了$Q_{n}$有区间$t$ -染色当且仅当$n\leq t\leq \frac{n(n+1)}{2}$ .
2012-01-31 cs.DM math.CO
Distinguishing colorings, proper colorings, and covering properties without the Axiom of Choice
本文在无选择公理的ZF集合论中证明若干关于无限局部有限连通图的色数、边色数、区分数与区分指数的命题等价于Kőnig引理，并给出与AC或Kőnig引理等价的覆盖与支配集存在性新条件。
2024-05-26 math.CO math.LO
Extending edge-colorings of distance-2 matchings in the hypercube
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文证明了在超立方体中预着色的距离-2匹配可以扩展为合适边着色的猜想，并推广到二分图的Cartesian积结构。
2026-08-13 math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs II
本文研究了图笛卡尔积的区间边着色，给出了W(G□H)的精确下界及连通图的新上界，并改进了多维环面和Hamming图的已知界限，同时探讨了Fibonacci立方体的区间着色。
2024-09-26 math.CO
L-factors and adjacent vertex-distinguishing edge-weighting
图G的边权问题是指给每条边e赋予一个整数权。基于边加权问题，提出了几类顶点着色问题。通过简单的观察说明边权问题与图的特殊因子有着密切的关系。本文得到了关于具有预定度因子存在性的几个结果，推广了文[2，3]中的结果。利用这些结果，我们研究了边加权问题。特别地，我们证明了每一个4-可着色图允许一个顶点着色4-边加权。
2010-07-08 math.CO
Union vertex-distinguishing edge colorings
图$G$的并点可区别色指数$χ'_\cup(G)$是最小的自然数$k$，使得$G$的边可以被分配到$[k]$的非空子集，使得分配给每个顶点的边的子集的并是不同的.本文证明了对于一个在$n$顶点上的图$G$，如果其分支的阶不超过2，则它有$χ'_\cup(G) \in \left\{ \left\lceil \log_2\left(n +1\right) \right\rceil, \left\lceil \log_2\left(n +1\right) \right\rceil+1 \right\}$.这回答了Bousquet、Dailly、Duchêne、Kheddouci和Parreau提出的一个问题，也回答了Chartrand、Hallas和Zhang独立提出的一个问题。
2023-03-05 cs.DM math.CO
Asymmetric edge-coloring of graphs with simple automorphism group
图$Γ$的区别指数$D'(Γ)$是使$Γ$具有边染色且其$k$颜色仅由平凡自同构保持的最小数$k$。本文证明了如果有限图$Γ$的自同构群是简单的，则它的区别指数$D'(Γ)=2$。
2021-07-20 math.CO math.GR
List Coloring a Cartesian Product with a Complete Bipartite Factor
本文研究了图$G$与完全二部图的笛卡儿积的列表色数，其中二部图的部集分别为$a$和$b$，记为$χ_\ell(G \square K_{a,b})$ .我们有两个动机。关于表色数与色数的间隔的一个经典结果告诉我们$χ_\ell(K_{a,b}) = 1 + a$当且仅当$b \geq a^a$。由于任何$b \in \mathbb{N}$的$χ_\ell(K_{a,b}) \leq 1 + a$，这个结果告诉我们$b$的值，$χ_\ell(K_{a,b})$尽可能大，远离$χ(K_{a,b})=2$。在本文中，我们试图了解$χ_\ell(G \square K_{a,b})$是远离$χ(G \square K_{a,b}) = \max \{χ(G), 2 \}$。很容易显示$χ_\ell(G \square K_{a,b}) \leq χ_\ell (G) + a$。在2006年，Borowiecki、Jendrol、Král和Miskuf证明，如果$b$足够大，这个界限是可以达到的;具体地说，只要$b \geq (χ_\ell(G) + a - 1)^{a|V(G)|}$，就可以达到$χ_\ell(G \square K_{a,b}) = χ_\ell (G) + a$。给定任何图$G$和$a \in \mathbb{N}$，我们希望确定最小的$b$，使得$χ_\ell(G \…
2018-11-02 math.CO
A Note On Vertex Distinguishing Edge colorings of Trees
一个简单图$G$的正常边染色称为顶点可区别边染色（vdec），如果对于$G$的任意两个不同的顶点$u$和$v$，赋予与$u$关联的边的颜色集不同于赋予与$v$关联的边的颜色集. $G$的所有vdec所需的最小颜色数由称为$G$的vdec色数的$χ\,'_s(G)$表示。令$n_d(G)$表示$G$中度$d$的顶点数。在这篇文章中，我们证明了一个树$T$与$n_2(T)\leq n_1(T)$持有$χ\,'_s(T)=n_1(T)+1$，如果它的直径$D(T)=3$或两个特定的树之一与$D(T) =4$，和$χ\,'_s(T)=n_1(T)$否则;此外，$χ\,'_{es}(T)=χ\,'_s(T)$时，$|E(T)|\leq 2(n_1(T)+1)$，其中$χ\,'_{es}(T)$是$T$的公平vdec色数。
2016-01-09 cs.DM math.CO
