Trees with distinguishing index equal distinguishing number plus one
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点（边）用$d$标记，该标记仅由平凡自同构保持。已知对于每个图$G$，我们有$D'(G) \leq D(G) + 1$。在本说明中，我们刻画树，这个不等式是尖锐的。我们还证明了，如果$G$是一个连通的单圈图，那么$D'(G) = D(G)$。
2017-08-09 math.CO
The distinguishing index of graphs with at least one cycle is not more than its distinguishing number
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点（边）用$d$标记，该标记仅由平凡自同构保持。已知对于每个图$G$，我们有$D'(G) \leq D(G) + 1$。最近给出了有限树$T$与$D'(T)=D(T)+ 1$的完全刻画。本文证明了：如果$G$是至少有一个圈的有限连通图，则$D'(G)\leq D(G)$ .最后，我们刻画了所有连通图，其中$D'(G) \leq D(G)$。
2017-10-23 math.CO
The distinguishing number and the distinguishing index of co-normal product of two graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记（边标记），该顶点标记（边标记）带有仅由平凡自同构保持的$d$标记。两个图$G$和$H$的共正规积$G\star H$是具有点集$V (G)\times V (H)$和边集$\{\{(x_1, x_2), (y_1, y_2)\} | x_1y_1 \in E(G) ~{\rm or}~x_2y_2 \in E(H)\}$的图。本文研究了两个图的余正规积的可区别数和可区别指数。本文证明了对任意的$k \geq 3$，不含假孪生点和控制点的连通图$G$的$k$次余正规幂的可区别数和可区别指数均为2.
2017-07-19 math.CO
Distinguishing number and distinguishing index of join of two graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个带有$d$标签的顶点标签（边标签），该标签仅由平凡自同构保持。本文研究了两个图$G$和$H$的联的可区别数和可区别指数，$G+H$。证明了$0\leq D(G+H)-max\{D(G),D(H)\}\leq z$，其中$z$依赖于$V(G)$和$V(H)$的适当划分所生成的导出子图的个数.证明了若$G$是$n \geq 2$阶连通图，则除$D'(K_2+K_2)=3$外，还有$D'(G+ \cdots +G)=2$.
2017-02-07 math.CO
Distinguishing number and distinguishing index of graphs from primary subgraphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记（边标记），该顶点标记（边标记）带有仅由平凡自同构保持的$d$标记。设$G$是由成对不相交连通图$G_1,\ldots ,G_k$通过选择$G_1$的一个顶点、$G_2$的一个顶点构造的连通图，并标识这两个顶点。然后继续以这种方式归纳。我们说$G$是由$G_1, \ldots ,G_k$通过点连接得到的，而$G_i$是$G$的主子图。本文考虑了这类图的一些特殊情况，并研究了它们的可区别数和可区别指数。
2016-07-24 math.CO
Distinguishing number and distinguishing index of neighbourhood corona of two graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个带有$d$标签的顶点标签（边标签），该标签仅由平凡自同构保持。用$G_1 \star G_2$表示两个图$G_1$和$G_2$的邻域冠，它是通过取$G_1$的一个拷贝和$G_2$的$|V(G_1)|$拷贝，并将$G_1$的第$i$个顶点的邻域连接到$G_2$的第$i$个拷贝中的每个顶点而得到的图。本文描述了图$G_1\star G_2$的自同构。利用自同构的结果，研究了$G_1\star G_2$的可区别数和可区别指数.我们得到了$D(G_1\star G_2)$和$D'(G_1\star G_2)$的上界。
2016-06-12 math.CO
The distinguishing number of complete bipartite and crown graphs
Bielefeld University（比勒费尔德大学）；The University of Western Australia（西澳大利亚大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
研究完全二分图和皇冠图的区分数，确定其自同构群的区分数范围及相关子群的性质。
2026-10-21 math.CO
The Cost of 2-Distinguishing Hypercubes
一个图$G$称为{ \it $2$ -distinguishable}，如果有一个带有两个标签的顶点的标签，使得只有平凡自同构保持标签。标签类在所有2-可区分标签上的最小大小称为{$2$ -可区分的\it成本}，用$ρ(G)$表示。对于$n\geq 4$，超立方体$Q_n$是2-可区分的，但$ρ(Q_n)$的值是难以捉摸的，只有边界和部分结果以前已知。本文解决了这一问题。主要结果可以概括为：对于$n\geq 4$，$ρ(Q_n) \in \{1+\lceil \log_2 n \rceil, 2 + \lceil \log_2 n\rceil\}$。使用涉及新参数$ν_m$的递归关系来找到精确值，$ν_m$是$ρ(Q_{ν_m})=m$的最小整数。主要结果是\begin{gather*} 4\leq n \leq 12\Longrightarrow ρ(Q_n)=5, \text{ and } 5\leq m \leq 11 \Longrightarrow ν_m=4; \\ \text{ for } m\geq 6, ρ(Q_n) = m \iff 2^{m-2} - ν_{m-1} + 1 \leq n \leq 2^{m-1}-ν_m; \\ \text{ for } n\geq 5, ν_m = n \iff 2^{n-1} - ρ(Q_{n-1}) + 1\leq m \…
2020-07-31 math.CO
The distinguishing number (index) and the domination number of a graph
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记（边标记），该顶点标记（边标记）带有仅由平凡自同构保持的$d$标记。$G$中顶点的集合$S$是$G$的控制集，如果$V(G)\setminus S$的每个顶点都与$S$中的某个顶点相邻. $G$的控制集的最小基数是$G$的控制数，记为$γ(G)$。本文利用图的控制数，得到了图的可区别数和可区别指数的若干上界。
2017-07-19 math.CO
An upper bound on the distinguishing index of graphs with minimum degree at least two
单图$G$的区别指数（记作$D'(G)$）是指$G$的边标号中不被任何非平凡自同构保持的最少标号数。Pilmartniak（2015）证明了对任意2-连通图$D'(G) \leq \lceil \sqrt{Δ(G)}\rceil +1$ .本文证明了最小度至少为2的图的可区别指数的一个更一般的结果，由此引出猜想。此外，我们提出了图$G$，其中$D'(G)\leq \lceil \sqrt{Δ}\rceil$。
2017-02-12 math.CO
The distinguishing number and the distinguishing index of line and graphoidal graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记（边标记），该顶点标记（边标记）带有仅由平凡自同构保持的$d$标记。$G$的图形覆盖是$G$中的（不一定是开放的）路径的集合$ψ$，使得$ψ$中的每条路径具有至少两个顶点，$G$的每个顶点是$ψ$中至多一条路径的内部顶点，并且$G$的每条边恰好在$ψ$中的一条路径中。令$Ω(G,ψ)$表示$ψ$的交图。一个图$H$称为拟线图，如果存在一个图$G$和$G$的拟线图覆盖$ψ$使得$H\cong Ω(G, ψ)$ .本文研究了简单连通图$G$的线图和拟线图的可区别数和可区别指数。
2017-08-19 math.CO
Bounds for Distinguishing Invariants of Infinite Graphs
我们考虑无限图。图$G$的可区别数$D(G)$是$G$的顶点着色中仅由平凡自同构保持的最小颜色数。边缘着色的一个类似的不变量称为区分指数，用$D'(G)$表示。证明了$D'(G)\leq D(G)+1$ .对于适当的着色，我们研究相关的不变量称为可区分色数$χ_D(G)$，和可区分色指数$χ'_D(G)$，分别为顶点和边着色。我们证明了具有有限最大度$Δ(G)$的图的$χ_D(G)\leq 2Δ(G)-1$，并且我们得到了一些具有无限运动的图的下界。我们还证明了$χ'_D(G)\leq χ'(G)+1$，其中$χ'(G)$是$G$的色指数，我们证明了一个类似的结果$χ''_D(G)\leq χ''(G)+1$适当的全染色。提出了若干建议。
2019-10-26 math.CO
A bound for the distinguishing index of regular graphs
一个图的边着色是可区别的，如果唯一保持边着色的自同构是恒等式。我们已经证明，几乎所有连通的、有限的、正则图都允许有两种颜色的可区别边染色。我们证明了除$K_2$外的所有图都有三种颜色的可区别边着色。这个结果也扩展到无限的，局部有限的图。进一步证明了存在任意大的无限基数$κ$，使得连通的$κ$ -正则图有可区别的双色边着色.
2020-04-10 math.CO
Distinguishing number and distinguishing index of lexicographic product of two graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个带有$d$标签的顶点标签（边标签），该标签仅由平凡自同构保持。由$G$得到两个图$G$和$H$的字典积$G[H]$，用$H$的一个副本$H_u$代替$G$的每个顶点$u$，然后将$H_u$的所有顶点与$H_v$的所有顶点连接，如果$uv\in E(G)$ .本文给出了两个图的字典序积的可区别数和可区别指数的一些精确界。作为推论，我们证明了：如果$G$是一个连通图，且$G[G]$和$D(G)> 1$的自同构群满足一个特殊的条件，则对每个自然的$k$，有$D(G)\leq D(G^k)\leq D(G)+k-1$，其中$G^k=G[G[...]]$ .同时证明了$G$，$G^k$（$k\geq 2$）的所有字典序幂最多可由两个边标号区分.
2016-06-27 math.CO
Stabilizing on the distinguishing number of a graph
图$G$的可区别数$D(G)$是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记，该顶点标记具有仅由平凡自同构保持的$d$标记。图$G$的可区别稳定性记为$st_D(G)$，是指去掉可区别数所需的顶点的最小数目。我们得到了一个广义上界$st_D(G) \leqslant \vert V(G)\vert -D(G)+1$，以及图$G$和图$G-v$的区别稳定性之间的关系，即，$st_D(G)\leqslant st_D(G-v)+1$，其中$v\in V(G)$。研究了$G$的边可区别稳定数（可区别束缚数）.
2016-09-23 math.CO
Relationship between the distinguishing index, minimum degree and maximum degree of graphs
设$δ$和$Δ$分别是简单连通图$G$的顶点的最小度和最大度。图$G$的可区别指数，记作$D'(G)$，是指图$G$的边标号中不被任何非平凡自同构保持的最少标号数.受Pilmartniak（2017）的猜想启发，该猜想暗示对于任何$2$ -连通图$D'(G) \leq \lceil \sqrt{Δ(G)}\rceil +1$，我们证明了对于任何具有$δ\geq 2$的图$G$，$D'(G) \leq \lceil \sqrt[δ]{Δ}\rceil +1$。同时，我们证明了对任意$k\geq 5$，$k$ -正则图的区别指数至多为$2$.
2017-05-15 math.CO
Distinguishing number and distinguishing index of natural and fractional powers of graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个带有$d$标签的顶点标签（边标签），该标签仅由平凡自同构保持。对于任何$n \in \mathbb{N}$，$G$的$n$ -细分是一个简单的图$G^{\frac{1}{n}}$，它是通过用长度为$n$的路替换$G$的每条边而构造的。$G$的$m^{th}$幂，是一个具有相同$G$顶点集且两个顶点之间有一条边的图当且仅当它们之间存在一条长度至多为$m$的路.用$G^{\frac{m}{n}}$表示的$G$的分数幂是$n$的$m^{th}$幂-$G$的细分或$n$-$m$的细分-$G$的次幂。本文研究了$G$的自然幂和分数幂的判别数和判别指数。证明了由三个边标号区分的图的自然幂大于2。我们还证明了对于连通图$G$的顺序$n \geqslant 3$的最大程度$Δ(G)$，$D(G^{\frac{1}{k}})\leqslant min\{s: 2^k+\sum^s_{n=3}n^{k-1}\geqslant Δ(G)\}$和$m\geqslant 3$，$D'(G^{\frac{m}{k}})\leqslant 3$。
2016-04-13 math.CO
The distinguishing index of graphs with infinite minimum degree
图$G$的区别指数$D'(G)$是使图$G$的边着色仅由平凡自同构保持所需的最少颜色数。我们表明，如果$G$是一个连接的$α$ -正则图的一些无限基数$α$，然后$D'(G) \le 2$，证明猜想Lehner，Pilmanniak，和Stawiski。我们还证明了如果$G$是一个图，具有无限的最小度和最多的$2^α$度$α$的顶点，每一个无限基数$α$，则$D'(G) \le 3$。特别地，$D'(G) \le 3$如果$G$具有无穷小度和至多$2^{\aleph_0}$阶。
2022-08-17 math.CO
An improved upper bound on the adjacent vertex distinguishing chromatic index of a graph
图G的邻点可区别染色是指图G的正常边染色使得任意一对邻顶点与不同的颜色集相关联。图G的邻点可区别染色所需的最少颜色数记为$χ'_a(G)$ .本文证明了对任意一个具有最大度$Δ$且无孤立边的图G，$χ_a'(G)$ <= 5（$Δ+2$）/2.这改进了[S. Akbari，H. Bidkhori，N. Nosrati，r-Strong edge colorings of graphs，Discrete Math.306（2006），3005-3010]，其中指出对于任何没有孤立边的图G，$χ_a'(G)$ <= 3 $Δ$。
2012-08-11 math.CO
On the neighbour sum distinguishing index of graphs with bounded maximum average degree
图$G=(V,E)$的适当边$c:E\to \{1,2,\ldots,k\}$-着色是将颜色分配给图的边，使得没有两个相邻的边与相同的颜色相关联。邻和可区别边$k$ -着色，简称nsd $k$ -着色，是一种适当的边$k$ -着色，使得对于$G$的每条边$uv$都有$\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$.用$χ'_{\sum}(G)$表示$G$的邻和可区别指数，它是使得$G$存在nsd $k$ -着色的最小整数$k$.根据定义，至少最大程度上，需要$Δ(G)$颜色来实现这一目标。本文证明了对任意不含孤立边的图$G$和含有${\rm mad}(G)<3$，$Δ(G) \geq 6$的图，都有$χ'_Σ(G) \leq Δ(G)+1$.
2015-08-25 math.CO
Distant sum distinguishing index of graphs with bounded minimum degree
对于任意具有最大度$Δ$且无孤立边的图$G=(V,E)$，以及正整数$r$，用$χ'_{Σ,r}(G)$表示$G$的$r$ -距离和可区别指数.这是最小整数$k$，对于该最小整数$k$，存在适当的边着色$c:E\to\{1,2,\ldots,k\}$，使得对于每对不同的顶点$u,v$，距离至多为$G$中的$r$，$\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$。证明了每个$r\geq 3$的$χ'_{Σ,r}(G)\leq (1+o(1))Δ^{r-1}$。到目前为止，已经特别证明了$χ'_{Σ,r}(G)\leq 6Δ^{r-1}$如果是$r\geq 4$。结合概率和建设性的方法，我们表明，这可以提高到$χ'_{Σ,r}(G)\leq (4+o(1))Δ^{r-1}$，如果$G$的最小程度至少等于$\ln^8Δ$。
2017-03-14 math.CO
List distinguishing index of graphs
该研究探讨图的列表区分指数问题，证明除少数例外，当边的颜色列表大小至少为最大度Δ减1时，存在区分性边着色，该界对Δ≥3最优且适用于有限与无限图。
2023-06-10 math.CO
On the total neighbour sum distinguishing index of graphs with bounded maximum average degree
图$G=(V,E)$的全$k$-着色是对图$G$的边和顶点的颜色分配$c : V \cup E\to \{1,2,\ldots,k\}$，使得没有两个相邻的边或顶点以及没有边和它的端点与相同的颜色相关联.区分$k$-着色的全邻和，或简称tnsd $k$-着色，是一个真的全$k$-着色，使得对于$G$的每条边$uv$都有$\sum_{e\ni u}c(e)+c(u)\neq \sum_{e\ni v}c(e)+c(v)$.我们用$χ''_Σ(G)$表示$G$的总邻居和区分指数，它是使得存在$G$的tnsd边$k$着色的最小整数$k$。证明了对每个图$G$都有$χ''_Σ(G) \leq Δ(G) + 3$.本文对任何具有${\rm mad}(G)<\frac{14}{3}$和$Δ(G) \geq 8$的图$G$证明了这个猜想。
2018-03-05 math.CO
The Distinguishing Index of Mycielskian Graphs
本文研究了Mycielskian图的区分边着色问题，证明了对于满足特定条件的图G，其Mycielskian图的区分指数不超过原图，从而超越并完成了Alikhani和Soltani在2020年提出的猜想，并将结果推广至广义Mycielskian图。
2024-09-26 math.CO
Asymptotically optimal neighbor sum distinguishing total colorings of graphs
给定图$G$的一个适当的全$k$ -染色$c:V(G)\cup E(G)\to\{1,2,\ldots,k\}$，我们定义一个顶点$v$的值为$c(v) + \sum_{uv \in E(G)} c(uv)$ .使$G$有一个其值构成一个真染色的真全$k$ -染色的最小整数$k$是$G$的邻和可区别色数数$χ"_Σ(G)$。Pilogniak和Woogniak（2013）证明了$χ"_Σ(G)\leq Δ(G)+3$对于任何具有最大度$Δ(G)$的简单图。在本文中，我们证明了这个界是渐近正确的，通过显示$χ"_Σ(G)\leq Δ(G)(1+o(1))$。我们的论证的主要思想依赖于Przybytelo（2014）关于邻域和可区别边着色的证明。
2016-08-05 math.CO
A note on the neighbour-distinguishing index of digraphs
本文引入并研究了有向图的邻域可区别弧染色的一种新形式。有向图$D$的弧着色$γ$是适当的，如果没有两条具有相同头或相同尾的弧被赋予相同的颜色.对于$D$的每个顶点$u$，我们分别用$S_γ^-(u)$和$S_γ^+(u)$表示出现在$u$的传入弧和传出弧上的颜色集合。$D$的弧着色$γ$是\emph{neighbour-distinguishing}，如果对于$D$的每两个相邻顶点$u$和$v$，有序对$(S_γ^-(u),S_γ^+(u))$和$(S_γ^-(v),S_γ^+(v))$是不同的。$D$的邻域可区别指数是$D$的邻域可区别弧着色所需的最小颜色数.本文证明了各类有向图的邻域可区别指数的上界.
2019-09-23 cs.DM math.CO
Distinguishing infinite graphs with bounded degrees
如果唯一的保色自同构是恒等式，则称一个图的着色是可区分的。Tucker的一个猜想指出，如果图$G$的每个自同构移动无穷多个顶点，则存在可区别的$2$ -着色。我们对最大度为$Δ\leq 5$的图证实了这个猜想。此外，使用类似的技术，我们表明，如果一个无限图有最大程度的$Δ\geq 3$，那么它承认一个区别染色与$Δ- 1$颜色。这个边界很锋利.
2018-10-09 math.CO
Distinguishing locally finite trees
图$G$的区别数$D(G)$是对图$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得唯一的颜色保持自同构是单位元。对于无限图，$D(G)$是有界的价的上确界，而对于有限图，$Δ(G)+1$，其中$Δ(G)$是最大价。给定一个有限或无限树$T$，其有界有限价$k$和一个整数$c$，其中$2 \leq c \leq k$，我们感兴趣的是用$c$颜色对$T$的顶点着色，使得每个保色自同构固定尽可能多的顶点.在这个意义上，我们表明，总是存在一个$c$染色，所有的顶点，其距离下一个叶至少是$\lceil\log_ck\rceil$是固定的任何颜色保持自同构，在许多情况下，可以做得更好。
2018-10-04 math.CO
Distant sum distinguishing index of graphs
考虑一个正整数$r$和一个图$G=(V,E)$，它具有最大度$Δ$且没有孤立边。最小$k$，使得存在适当的边着色$c:E\to\{1,2,\ldots,k\}$，使得对于$G$中距离至多为$r$的每对不同顶点$u,v$，$\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$由$χ'_{Σ,r}(G)$表示。对于$r=1$，已经证明了$χ'_{Σ,1}(G)=(1+o(1))Δ$ .对于任何$r\geq 2$反过来一个无限族的图是已知的$χ'_{Σ,r}(G)=Ω(Δ^{r-1})$。另一方面，我们证明了$χ'_{Σ,r}(G)=O(Δ^{r-1})$对于$r\geq 2$。特别是，我们表明，$χ'_{Σ,r}(G)\leq 6Δ^{r-1}$，如果$r\geq 4$。
2017-03-10 math.CO
Vertex-distinguishing chromatic index of digraphs
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）；Department of Mathematics and Statistics, Auburn University（奥本大学数学与统计系）
该研究聚焦有向图顶点可区别色指数问题，证实了Li等人2016年提出的“至多含一个源点和一个汇点的有向图的顶点可区别色指数等于由出度、入度序列确定的自然下界”的猜想。
2026-08-04 math.CO
Distant total sum distinguishing index of graphs
设$c:V\cup E\to\{1,2,\ldots,k\}$是图$G=(V,E)$的一个真全染色，其最大度为$Δ$ .如果$c(u)+\sum_{e\ni u}c(e)\neq c(v)+\sum_{e\ni v}c(e)$，我们说顶点$u,v\in V$是和可分辨的。通过$χ"_{Σ,r}(G)$，我们表示允许这样的着色$c$的最小整数$k$，其中每个$u,v\in V$，$u\neq v$，彼此之间的距离至多为$r$，在$G$中是和可区分的。对于每一个正整数$r$的无限族的例子是已知的$χ"_{Σ,r}(G)=Ω(Δ^{r-1})$。本文证明了对任意整数$r\geq 3$和任意图$G$，有$χ"_{Σ,r}(G)\leq (2+o(1))Δ^{r-1}$，而有$χ"_{Σ,2}(G)\leq (18+o(1))Δ$ .
2017-03-16 math.CO
On the comparison of the distinguishing coloring and the locating coloring of graphs
设G是简单连通图。则chi L（G）和chi D（G）分别表示G的定位色数和可区别色数.本文研究了chi L（G）与chi D（G）之间的一个比较.事实上，我们证明了x_D（G）\leq x_L（G）.此外，我们还确定了几类图的定位色数和可区别色数相等。特别地，我们刻画了所有图G的一个性质：chi D（G）= chi L（G）= 3.
2021-12-07 math.CO
Distant set distinguishing edge colourings of graphs
我们考虑无孤立边图的邻强边染色概念的如下推广。图中相距最远的两个不同顶点称为$r$ -邻接的.图$G$的正常边着色中使得$G$中的任何$r$ -相邻顶点所满足的颜色集是不同的最少颜色数称为$G$的$r$ -相邻强色指数，记为$χ'_{a,r}(G)$。已经证明了，如果$G$是最大程度$Δ$连接的，则$χ'_{a,1}(G)\leqΔ+2$与$C_5$不同构，而Hatami证明了存在常数$C$，$C\leq 300$，使得如果$Δ>10^{20}$，则$χ'_{a,1}(G)\leqΔ+C$ [J. Combin.理论系列B 95（2005）246- 256]。我们推测，类似的陈述应该适用于任何$r$，即，对每个正整数$r$，都存在常数$δ_0$和$C$，使得对每个无孤立边且度最小的图，$δ$都有$δ\geq δ_0$，并证明了在这种情况下（对于$r>2$），$δ$的下界是不可避免的.使用概率方法，我们证明了这样的上界，以保持与$δ\geq εΔ$的图，对每个$r$和任何固定的$\varepsilon\in(0,1]$，即，特别是对于正则图。我们还证明了一个上界$χ'_{a,r}(G) \leq (1+o(1))Δ$的图与$δ\geq r+2$支持的猜想。
2015-08-20 math.CO
Symmetry breaking in planar and maximal outerplanar graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个用$d$标记的顶点（边）标记，该标记仅由平凡自同构保持。本文研究了极大外平面图（MOP图），证明了除$K_3$外，MOP图最多可由两个点（边）标号区分。我们还计算了Halin图和Mycielskian图的可区别数和可区别指数。
2018-01-25 math.CO
Asymptotically optimal neighbour sum distinguishing total colourings of graphs
考虑一个最大度为$Δ$的简单图$G=(V,E)$及其用集合$\{1,2,\ldots,k\}$的元素的真全染色$c$。如果对于每对相邻顶点$u$，$v$，我们有$c(u)+\sum_{e\ni u}c(e)\neq c(v)+\sum_{e\ni v}c(e)$，则称着色$c$为\emph{neighbour sum distinguishing}。它存在的最小整数$k$用$χ"_{\sum}(G)$表示，因此是$χ"_{\sum}(G) \geq Δ+1$。另一方面，已经大胆地证实，仅比著名的全着色猜想中假定的多一个标记就足以构造这样的全着色$c$，即，该$χ"_{\sum}(G) \leq Δ+3$适用于所有图形。我们支持这个不等式证明其渐近版本，$χ"_{\sum}(G) \leq (1+o(1))Δ$。确认这一点的主要部分的建设依赖于随机分配的颜色，其中选择的每一个边缘是偏置的所谓吸引子，随机分配给顶点，和概率的结果莫洛伊和里德的总着色猜想本身。
2015-08-05 math.CO
The distinguishing chromatic number of bipartite graphs of girth at least six
图$G$的可区别数$D(G)$是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记，该顶点标记具有仅由平凡自同构保持的$d$标记。类似地定义了$G$的区别色数$χ_{D}(G)$，其中，另外，假定$f$是适当的标号。受\cite{colins}中一个猜想的启发，证明了：如果$G$是围长至少为6的二部图，且最大度为$Δ(G)$，则$χ_{D}(G)\leq Δ(G)+1$ .我们还得到了$χ_{D}(G)$的一个上界，其中$G$是一个至多有一个圈的图。最后，我们给出了图的可区别色数与其生成子图的可区别色数之间的关系。
2017-09-28 math.CO
Distinguishing critical graphs
图$G$的可区别数$D(G)$是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记，该顶点标记具有仅由平凡自同构保持的$d$标记。如果$D(G)=d$和$D(H)\neq D(G)$是$G$，则对$G$的每一个真导出子图$H$，我们称图$G$是$d$ -可区别临界图.这推广了通常的$d$ -色临界图的定义.虽然对$d$ -临界图的研究是着色理论的一个很好的部分，但对$d$ -可区别临界图的研究还不多。本文确定了$d= 1,2,3$的所有$d$ -可区别临界图，并观察到对于某些$k\leq d$，所有这类图都是$k$ -正则图.另外，我们还证明了具有$c$连通分支的不连通$d$ -可区别临界图使得$c\geq \frac{d}{2}$是正则图.
2017-12-03 math.CO
The minimum size of graphs with given rainbow index
$k$ -连通图$G$的彩虹指数$rx_k(G)$的概念是由Chartrand，Okamoto和Zhang提出的，它是彩虹连通数的自然推广.令$t(n,k,\ell)$表示阶为$n$且具有$rx_k(G)\leq \ell$的连通图$G$的最小尺寸，其中$2\leq \ell\leq n-1$和$2\leq k\leq n$ .本文得到了$t(n,k,\ell)$的一些精确值和上界。
2015-09-25 math.CO
On a Conjecture on the Wiener Index of a Maximal Planar Graph
证明了顶点为$n$的极大可平面图$G$的Wiener指标$W(G)$满足$3 \leq n \leq 18$的$W(G) \leq \Big{\lfloor} \frac{1}{18}(n^3 + 3n^2) \Big{\rfloor}$.
2019-12-06 math.CO
On the algorithmic complexity of adjacent vertex closed distinguishing colorings number of graphs
图G的一个顶点赋值是闭可区别的，如果对于任意两个相邻的顶点v和u，顶点v的闭邻域中的顶点的标号之和不同于顶点u的闭邻域中的顶点的标号之和，除非它们具有相同的闭邻域（即N[u]=N[v]）。G的闭可区别数，记为dis[G]，是最小的整数k，使得使用集合[k]中的整数对G进行闭可区别标记。此外，对于每个顶点$v \in V(G)$，令L（v）表示在v处可用的自然数的列表。列表闭区别标号是闭区别标号f，使得对于每个$v \in V(G)$，$f(v)\in L(v)$。图G被称为是闭的可区分k-可选的，如果G的顶点的每个k-列表赋值允许G的列表闭可区分标号。G的闭可区别选择数$dis_{\ell}[G]$是使G是闭可区别k-可选择的最小数k。本文证明了对任意整数t，存在一个二部图G使得$dis[G] > t$，对任意具有$Δ\geq 2$，$dis[G]\leq dis_{\ell}[G]\leq Δ^2-Δ+1$的图G，存在无穷个$Δ$值，G可以被选择使得$dis[G] =Δ^2-Δ+1$ .我们证明了$dis[G]$和$dis_{\ell}[G]$之间的差可以是任意大的，并且对每一个正整数t，存在图G使得$dis_{\ell}[G]-dis[G]\geq t$。本文改进了现有的闭可区别选择数的上界，并利用组合零点定理给出了一些闭可区别选择数的上界。证明了对给定的平面次立方图G，判定d…
2016-11-10 math.CO
A Connection between Metric Dimension and Distinguishing Number of Graphs
该研究建立了图的度量维数与区分数的联系，证明连通图中分辨集可构造区分着色并得到上界，构造了满足参数关系的图，还刻画了特定区分数的几类图。
2023-12-14 math.CO
Arc-distinguishing of orientations of graphs
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
本文研究图的定向对区分指数的影响，建立二分图和树的界与精确关系，并研究刚性定向，回答了关于不平衡完全二分图的开放问题。
2026-09-11 math.CO
Vertex-distinguishing and sum-distinguishing edge coloring of regular graphs
该研究针对偶数顶点且规模足够大的d-正则图，证明了顶点区分色指数和和区分色指数的相关结论，强化了已有结果并推动了领域发展。
2024-12-10 math.CO
The Randić index and signless Laplacian spectral radius of graphs
给定一个连通图$G$，Randic指数$R(G)$是$G$的所有边$\{u,v\}$上的$\tfrac{1}{\sqrt{d(u)d(v)}}$的和，其中$d(u)$和$d(v)$分别是顶点$u$和$v$的度。设$q(G)$是$G$和$n=|V(G)|$的无奇异拉普拉斯矩阵的最大特征值。Hansen和Lucas（2010）提出了以下猜想：\[ \frac{q(G)}{R(G)} \leq \begin{cases} \frac{4n-4}{n} & 4 \leq n\leq 12 \frac{n}{\sqrt{n-1}} & n\geq 13 \end{cases} \]具有相等性当且仅当$G=K_{n}$分别用于$4\leq n\leq 12$和$G=S_n$用于$n\geq 13$。Deng，Balachandran，and Ayyaswamy（J. Math. Anal. Appl.2014）对$4 \leq n \leq 11$验证了该猜想。本文完全解决了这个猜想。
2016-01-14 math.CO
Neighbor product distinguishing total colorings of corona of subcubic graphs
图$G$的一个恰当的$[k]$ -全着色$c$是从$V(G)\bigcup E(G)$到$[k]=\{1,2,\cdots,k\}$的一个映射$c$，使得$c(x)\neq c(y)$，其中$x$，$y\in V(G)\bigcup E(G)$和$x$与$y$相邻或关联.令$\prod(v)$表示$c(v)$与与$v$相关的所有边缘上的颜色的乘积。对每条边$uv\in E(G)$，若$\prod(u)\neq \prod(v)$，则称$c$为$G$的邻积区别全染色.我们用$χ"_{\prod}(G)$来表示$k$在$G$的这种着色中的最小值。在2015年，Li等人证明$Δ(G)+3$颜色使图具有区分全着色的邻居积。本文考虑了冠积$G\circ H$的邻积可区别全染色，得到了$χ"_{\prod}(G\circ H)\leq Δ(G\circ H)+3$ .
2021-04-22 math.CO
Equitable neighbour-sum-distinguishing edge and total colourings
与任何（不一定是正确的）边$k$ -图$G$的着色$γ:E(G)\longrightarrow\{1,\dots,k\}$，我们可以把由$σ\_γ(v)=\sum\_{e\ni v}γ(e)$给出的一个顶点着色$σ\_γ$联系起来.一个邻域和可区别边$k$ -着色是一个其所联系的顶点着色是适当的边着色.一个图$G$的邻域和可区别指数则是$G$允许一个邻域和可区别边$k$的最小$k$.着色。这些概念自然地推广到图的全着色，即给顶点和边都赋色。本文研究了均匀邻和可区别边着色和全着色，即$γ$的任意两个色类中元素个数相差至多1的着色$γ$。确定了完全图的均匀邻和可区别指数，完全二部图与森林，完全图与二部图的均匀邻和可区别全色数。
2017-01-17 cs.DM math.CO
The vertex-rainbow index of a graph
$k$ -连通图$G$的彩虹指数$rx_k(G)$由Chartrand，Okamoto和Zhang在2010年引入。作为$k$ -彩虹指标的自然对应，本文引入了$k$ -顶点-彩虹指标$rvx_k(G)$的概念。对于图$G=(V,E)$和至少两个顶点的集合$S\subseteq V$，\emph{an $S$-Steiner tree}或\emph{a Steiner tree connecting $S$}（或简称\emph{an $S$-tree}）是$G$的这样的子图$T=(V',E')$，其是具有$S\subseteq V'$的树。对于$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，如果$V(T)\setminus S$的顶点具有不同的颜色，则称$S$-Steiner树$T$为\emph{vertex-rainbow $S$-tree}.对于具有$2\leq k\leq n$的固定整数$k$，如果对于$V(G)$的每个$k$ -子集$S$存在顶点彩虹$S$ -树，则$G$的顶点着色$c$称为\emph{$k$-vertex-rainbow coloring}。在这种情况下，$G$称为\emph{vertex-rainbow $k$-tree-connected}。在$G$的$k$ -顶点-彩虹着色中需要的最小颜色数称为$G$的\emph{$k$-vertex-r…
2015-01-31 math.CO
Bounds for the positive or negative inertia index of a graph
设$G$是一个图，$A(G)$是$G$的邻接矩阵，$G$的正惯性指数（分别为负惯性指数）定义为$A(G)$的正特征值（分别为负特征值）的个数，记为$p(G)$（分别为$n(G)$）.本文给出了$p(G)$和$n(G)$的界：$$m(G)-c(G)\leq p(G)\leq m(G)+c(G), \ m(G)-c(G)\leq n(G)\leq m(G)+c(G),$$其中$m(G)$和$c(G)$分别是$G$的匹配数和圈数.此外，我们还分别刻画了达到上界和下界的图。
2014-09-18 math.CO
$r$-strongly vertex-distinguishing total coloring of graphs
受通信网络中同频干扰现象的启发，提出了一种新的图参数--$r$ -顶点强可区别全染色（简称$D(r)$ -VSDTC）.给定图$G$，$r$-VSDTC是$k$颜色到$V(G)\cup E(G)$的分配，使得任何两个相邻或关联的元素接收不同的颜色，并且距离至多为$r$的任何两个顶点具有不同的颜色集，其中顶点$u$的颜色集是分配在$u$及其邻域和关联边上的颜色集。$G$的\emph{$r$-vertex-strongly-distinguishing total chromatic number}，记作$χ_{r-vsdt}(G)$，是$G$允许$k$ - $D(r)$ -VSDTC的最小整数$k$。我们证明了对于每个没有孤立边的图$G$，$χ_{1-vsdt}(G)\leq 4Δ(G)$是唯一的;对于一个没有孤立边的$k$ -退化图$G$，$χ_{1-vsdt}(G)\le kΔ(G)+3$是唯一的，其中$1\le k\le 3$ .
2020-08-13 math.CO
Distinguishing numbers and distinguishing indices of oriented graphs
一个可区别的r-顶点-标号（resp. r-边标记）是从顶点集（分别为的集合）到标签集合{1，. ..，r}，使得G的非平凡自同构不保持G的所有顶点（分别边缘）标签。则G的可区别数D（G）和可区别指数D（G）分别是G允许可区别r-点标号或r-边标号的最小r。区别色数D $χ$（G）和区别色指数D $χ$（G）被类似地定义，附加的要求是相应的标记必须是适当的着色。通过考虑弧而不是边，这些概念很容易扩展到定向图。本文研究了基图为路、圈、完全图和二部完全图的有向图的四个相应参数。在每一种情况下，我们确定其最小值和最大值，采取了所有可能的方向，相应的基础图，除了最小值为不平衡的完全二部图K m，n与m = 2，3或4和n > 3，6或13，分别，或m $\ge$ 5和n > 2 m-m 2，我们只提供上限。
2020-05-15 cs.DM math.CO
A Note On Vertex Distinguishing Edge colorings of Trees
一个简单图$G$的正常边染色称为顶点可区别边染色（vdec），如果对于$G$的任意两个不同的顶点$u$和$v$，赋予与$u$关联的边的颜色集不同于赋予与$v$关联的边的颜色集. $G$的所有vdec所需的最小颜色数由称为$G$的vdec色数的$χ\,'_s(G)$表示。令$n_d(G)$表示$G$中度$d$的顶点数。在这篇文章中，我们证明了一个树$T$与$n_2(T)\leq n_1(T)$持有$χ\,'_s(T)=n_1(T)+1$，如果它的直径$D(T)=3$或两个特定的树之一与$D(T) =4$，和$χ\,'_s(T)=n_1(T)$否则;此外，$χ\,'_{es}(T)=χ\,'_s(T)$时，$|E(T)|\leq 2(n_1(T)+1)$，其中$χ\,'_{es}(T)$是$T$的公平vdec色数。
2016-01-09 cs.DM math.CO
The (vertex-)monochromatic index of a graph
边着色图$H$中的树$T$称为\emph{monochromatic tree}，如果$T$的所有边具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的单色树。对于连通图$G$和给定的整数$k$，$G$的\emph{$k$-monochromatic index $mx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)$，存在单色$S$ -树。本文证明了对任意连通图$G$，对每个PDMATHAMT有$mx_k(G)=|E(G)|-|V(G)|+2$，使得$3\leq k\leq |V(G)|$ .顶点着色图$H$中的树$T$称为\emph{vertex-monochromatic tree}，如果$T$的所有内部顶点具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{vertex-monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的顶点单色树。对于连通图$G$和给定的整数$2\leq k\leq |V(G)|$，$G$的\emph{$k$-monochromatic vertex-index $mvx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)…
2016-03-19 math.CO
Distinguishing Graphs by Counting Homomorphisms from Sparse Graphs
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）；IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）
该研究证明了排除某些minor的图类中，同构不可区分性不同于同构，并展示了相关图类的同构区分闭合性及严格层次结构。
2026-09-11 cs.DM cs.LO math.CO
Quasi-majority neighbor sum distinguishing edge-colorings
本文研究了带有局部准多数约束的邻和可辨别边着色问题，证明了nice图至多使用12种颜色可实现该着色，并改进了二部图和最大度为4的图的界限，同时确定了完全图、完全二部图和树的精确指数值。
2025-11-03 math.CO
