Constructing uncountably many groups with the same profinite completion
Nikolay Nikolov, Dan Segal
本文给出了两个不可数族具有相同的profinite完备性的n-生成剩余有限群。一个由可溶性基团组成，另一个由分支基团组成。
We present two uncountable families of finitely generated residually finite groups all having the same profinite completion. One consists of soluble groups, the other of branch groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Profinite extensions of centralizers and the profinite completion of limit groups
引入并研究了一类通过中心化子的扩张定义的投射有限群，这类群类似于广泛研究的完全剩余生成的自由群，即极限群（在Z. Sela）。从极限群的profinite完备化属于这类这一事实出发，得到了极限群的群论结构和同调性质的结果。
An uncountable family of 3-generated groups with isomorphic profinite completions
构造了一类具有同构profinite完备化的不可数3-生成剩余有限恰好无限群.我们还表明，字的增长率是不是一个profinite属性。
Profinite completions and Kazhdan's property (T)
我们证明了性质（T）是非profinite的，即构造了两个同构的具有profinite完备的双生成剩余有限群，其中一个允许性质（T），另一个不允许性质（T）.这就解决了M.卡沙波
Finiteness Properties and Profinite Completions
在这篇文章中，我们证明了各种（几何/同调）有限性性质不是profinite性质。例如，对于每个$1 \le k, \ell \le \bbn$，存在两个同构profinite完备的双生成剩余有限群$\Ga_1$和$\Ga_2$，使得$\Ga_1$严格为$F_k$型，$\Ga_2$为$F_\ell$型。
Profinite completion of Grigorchuk's group is not finitely presented
本文证明了Grigorchuk群$\mathcal{G}$的profinite完备化$\mathcal{\hat G}$不是一个投射有限群.通过证明$H^2(\mathcal{\hat G},\field{F}_2)$是无穷维的，我们得到了这个结果.证明了关于有限代数$\mathcal{G}/ St_{\mathcal{G}}(n)$的几个结果，包括极小表示和Schur乘子.
Profinite Completion of Free Pro-$\mathcal{C}$ Groups
研究了无限秩自由pro- $\CC$群抽象求解抽象嵌入问题的能力，并得出结论：对于某些簇$\CC$，无限秩自由pro- $\CC$群的任意阶profinite完备化也是相应秩的自由pro- $\CC$群.
Profinite completions of some groups acting on trees
研究了作用于树上的一类群的有限完备化问题。事实证明，对于一些考虑的群体，完成与树自同构的完全群中的群体的闭包重合。然而，我们引入了一个无穷级数的群体，这是不是这样，并描述了内核的自然同态的profinite完成到上述封闭的各个群体。
The profinite completion of accessible groups
引入了一类可达群$\A$，它们是单端的剩余有限可达群，在它们的JJ-分解中对单端顶点群有一些自然的限制.证明了$\A$中群的profinite完备化几乎检测到它的JSJ-分解，并计算了$\A$中群的自由积的亏格.
The profinite completion of multi-EGS groups
多重EGS群的类是著名的Griglouk-Gupta-Sidki（GGS-）群的推广。本文利用同余子群的性质对分枝多EGS群进行了分类，并确定了所有分枝多EGS群的有限完备性。此外，我们的结果表明，分支多EGS群是无限的。
Profinite completion and double-dual : isomorphisms and counter-examples
我们定义，为任何组$G$，有限逼近，用这个工具，我们给出了一个新的介绍profinite完成$\hatπ : G \to \hat{G}$的抽象组$G$。证明了如下定理：若$k$是有限素域，且$V$是$k$ -向量空间，则$\hat{V}$（对于基础的加法群结构）与双对偶$V^{**}$的加法群之间存在自然同构.这个定理给出了关于群的迭代profinite完备化的反例。这些现象在拓扑情况下不会发生。
Amenability and profinite completions of finitely generated groups
本文探讨了有限生成的剩余有限群的有限群元与顺从性概念之间的相互作用。我们构造了一个可生成的、剩余有限的顺从群$A$和一个不可可数的可生成的、剩余有限的非顺从群族，它们都与$A$ Pronumerical同构.所有这些团体都是分支团体。此外，拿起Grothendieck的问题，组$A$嵌入在这些群体，使包含诱导同构的profinite完成。此外，我们审查的概念，统一的顺从性，加强顺从性在70年代推出，我们证明，统一顺从性确实是从profinite完成检测。
Free factors and profinite completions
本文证明了在有限生成几乎自由群中，子群是自由因子当且仅当其在射影完备中的闭包是射影自由因子，推广了自由群的相关结果，并采用了结合同调性质与分解理论的全新方法。
Direct factors of profinite completions and decidability
我们考虑群$G$和群生成的正规子群$A$，使得包含$A\hookrightarrow G$诱导从$A$的profinite完备化到$G$的profinite完备化的直接因子的同构.我们解释了为什么$A$不需要是一个直接的因素的一个子群的有限指数在$G$，实际上$G$不需要有一个子群的有限指数分裂为一个非平凡的直积。我们证明了没有一个算法可以确定$A$是否是$G$中有限指数子群的直因子。
The profinite completion of relatively hyperbolic virtually special groups
本文利用profinite完备化刻画toral相对双曲的实际上特殊群，并证明其完备化子群的Tits二择一与有限生成pro-p子群结构，结果应用于双曲算术流形及同余核。
Profinite completions of free-by-free groups contain everything
本文证明任意有限展示剩余有限群的有限完备化都可作为收缩核嵌入某个有限生成剩余有限 free-by-free 群的有限完备化中。
Homological approximations for Profinite and Pro-$p$ limit groups
本文研究极限群的profinite完备化的同调逼近（见Thm.~ A），并得到了非交换极限群的profinite完备化的类似的Bridson和Howie定理（见Thm.~ B）。
Hopficity of profinite completions of abelian groups
研究阿贝尔群完备化的拓扑Hopficity问题，通过证明\(\widehat{A}\)是拓扑Hopfian当且仅当对每个素数\(p\)，\(A/pA\)有限，否定回答了Kourovka笔记本中的问题6.30。
The profinite completion of a group localised at a subgroup
设$G$是一个群，$K$是$G$的一个扩展子群。然后存在一个全不连通的局部紧（t.d.l.c.）一个群$\hat{G}_K$，它包含$K$的profinite完备作为开紧子群，也包含$G$（模为$K$的有限剩余）作为稠密子群。此外，给定任意群$G$，则每个t.d.l.c.包含$G$的图像作为稠密子群的群可以被实现为$\hat{G}_K$对于某个离散子群$K$的商。
Pólya-Carlson dichotomy for coincidence Reidemeister zeta functions via profinite completions
考虑有限秩幂零群的驯服自同态对的重合Reidemeisterzeta函数，通过profinite完备化技术对这一问题给出了新的解释.特别地，基于交换性条件，我们给出了有限秩无挠幂零群的自同态对迭代的重合Reidemeister数的闭公式.此外，我们提出的结果，在合理性和自然边界的zeta函数的分析行为之间的Pólya-Carlson二分法的支持。
The classifications of countably based profinite abelian groups
在本文的前半部分，我们概述了一类新的阿贝尔亲$p$群的构造，它涵盖了所有可数基亲$p$群。在后半部分中，我们对它们进行了研究，并将它们分类为拓扑同构和抽象同构。我们使用离散可数p-群的乌尔姆分类，这是这种亲$p$群的庞特里亚金分类。它们都抽象同构于有限群和$p$ -进整数的笛卡儿积。因此，我们构造了无数个两两拓扑非同构的投射有限群，它们抽象同构于循环群的笛卡儿积。
The profinite completion of the fundamental group of infinite graphs of groups
设$(\mathcal{G},Γ)$是有限群的抽象图.如果$Γ$是有限的，我们可以用一种自然的方法构造一个群的profinite图$(\hat{\mathcal{G}},Γ)$，其中$\hat{\mathcal{G}}(m)$是$\mathcal{G}(m)$的profinite完备化，对所有的$m \in Γ$ .这主要是因为$Γ$是有限的，所以它已经是profinite了。在本文中，我们处理无限的情况下，通过构建一个profinite图$\overlineΓ$，其中PDMATHAMN是密集嵌入，然后定义一个profinite图的群体$(\widehat{\mathcal{G}},\overlineΓ)$。我们还证明了基本群$Π_1(\widehat{\mathcal{G}},\overlineΓ)$是$Π_1^{abs}(\mathcal{G},Γ)$的profinite完备化.这回答了Luis Ribes在2017年出版的《Profinite Graphs and Groups》一书中的开放问题6.7.1。后来，我们推广的主要定理的文件路易斯Ribes和第二作者，证明，如果$R$是一个几乎自由的抽象群和$H$是一个非线性生成的子群$R$，然后$\overline{N_{R}(H)}=N_{\hat{R}}(\overline{H})$回答公开问题15.11.10的书Ribes…
Cohomological properties of absolute Galois groups and their profinite completion
证明了绝对伽罗瓦群的若干性质在有限完备下保持不变。
Detecting ends of residually finite groups in profinite completions
设$\C$是有限群的簇。我们使用profinite Bass-Serre理论证明了：如果$u:H\hookrightarrow G$是一个由剩余$\C$群生成的映射，使得诱导映射$\hat{u}:\hat{H}\rightarrow\hat{G}$是原$\C$完备化的满射，并且$G$有多个端点，则$H$与$G$有相同的端点数.然而，如果$G$有一端的$H$的端数可能会更大，我们观察到的情况下，这种情况发生在$\C$类的有限$p$ -组。我们给出了群$u:H\hookrightarrow G$的一个单态，使得：要么$G$是双曲的但不是剩余有限的;要么$\hat{u}:\hat{H}\rightarrow\hat{G}$是profinite完备的同构，但$H$具有性质（T）（因此具有性质（FA）），但$G$两者都没有。任何一种可能性都将提供病理性有限生成群的新例子。
The Schur multiplier, profinite completions and decidability
我们固定了一个群$Q$，并考虑了短正合序列$1\to N\to G\to Q\to 1$和$G$的正合生成.包含$N\to G$诱导一个profinite完备化的态射$\hat N\to \hat G$ .我们证明了这是所有$N$和$G$的同构当且仅当$Q$是超完美的并且没有有限指标的真子群。我们证明了没有算法，给定一个可表示的剩余有限群$G$和一个可表示的子群$P\subset G$，可以确定$\hat P\to\hat G$是否是同构。
Cartesian products as profinite completions
证明了如果交错群的一个笛卡儿积是拓扑生成的，则它是拓扑生成的剩余有限群的有限完备化.这同样适用于其他单群在某些自然限制下的笛卡尔积。
Profinite genus of fundamental groups of compact flat manifolds with holonomy group of prime order
本文计算了具有素数阶和乐群的$n$维紧致平坦流形$X$的基本群的profinite亏格。证明了若$n\leq 21$，则$X$在所有$n$维紧致平坦流形中由其基本群的profinite完备化决定.进一步，我们利用$X$的和乐群的表示亏格刻画了它的基本群的profinite完备的同构类。
Profinite genus of HNN-extensions with finite associated subgroups
本文研究了关联子群为有限群的HNN扩张的概型，给出了其同构类数量的公式并探讨了概型确定性的条件。
Profinite completions of Burnside-type quotients of surface groups
利用映射类群的量子表示，我们证明了Burnside型曲面群子的有限完备化在一般情况下是不虚可解的。进一步，我们构造了曲面群的无穷多个有限单特征向量。
The homology of groups, profinite completions, and echoes of Gilbert Baumslag
我们提出了新的结构有关的同源性的有限生成群。每个建筑都借鉴了吉尔伯特·鲍姆斯拉格的思想。存在一个非循环群$U$，使得$U$不存在有限指标的真子群，且每个非循环群都能嵌入到$U$中.没有算法可以确定一个剩余有限的双自动群的可表示子群是否是完美的。对于每一个递归阿贝尔群$A$，存在一对群$i:P_A\hookrightarrow G_A$使得$i$诱导profinite完备化的同构，其中$G_A$是剩余有限的超完美无挠双自动群，而$P_A$是具有$H_2(P_A,\mathbb{Z})\cong A$的有限生成群。
Prosoluble subgroups of the profinite completion of the fundamental group of compact 3-manifolds
本文研究了 3 维流形群和几乎紧特殊群的 profinite 完备群的有限生成可解子群结构。
Decision problems and profinite completions of groups
我们考虑一对双的双表示的剩余有限群$P\hookrightarrow\G$，其有限完备化的导出映射$\hat P\to \hat\G$是同构的。我们证明，有没有算法，给定一个任意这样的对，可以确定是否$P$是同构的$\G$。我们构造了共轭问题在$\G$中可以在二次时间内解决，但在$P$中的共轭问题是不可解的对。设$\mathcal J$是具有紧分类空间且没有有限指标真子群的超完美群类。我们证明，不存在一个算法，给定一个有限的介绍组$\G$和保证，$\G\in\mathcal J$，可以确定是否$\G\cong\{1\}$。我们构造了一个无环群$\H$和一个整数$k$，使得没有算法可以确定$\H$的哪些$k$生成子群是完美的.
Pro-$p$ subgroups of profinite completions of 3-manifold groups
本文完整地描述了任意$3$ -流形的基本群的profinite完备化的生成的pro-$p$子群。我们还证明了一个pro- $p$模拟的主要定理的Bass-Serre理论的生成pro-$p$群。
Profinite groups, profinite completions and a conjecture of Moore
设R是任意环（含1），Γ是群，R Γ是相应的群环.设H是Γ的有限指数子群。设M是R Γ-模，其对RH的限制是投射的.摩尔猜想：假设对于Γ中的每一个非平凡元素x，以下两个条件中至少有一个成立：M1）由x生成的子群与H非平凡相交（特别是如果Γ是无挠的）。M2）ord（x）在R中是有限可逆的。则M是作为R Γ-模投射的。更一般地，该猜想已经被公式化为交叉积R * Γ，甚至是强分次环R（Γ）。我们证明了猜想的新的家庭的群体，特别是群体的profinite完成是扭转自由。这个猜想可以表述为完备群环[[R Γ]]上的profinite模M，其中R是profinite环，Γ是profinite群。本文证明了对任意profinite群的猜想。这意味着塞尔定理上同调维数的profinite群。
The isomorphism problem for profinite completions of residually finite groups
我们考虑成对的可表示的剩余有限群$u:P\hookrightarrow Γ$ .我们证明，有没有算法，给定一个任意的这样的对，可以确定是否相关的映射profinite完成$\hat{u}: \widehat{P} \to \widehatΓ$是一个同构。也不存在可以判定$\hat{u}$是否满射或者$\widehat{P}$是否同构于$\widehatΓ$的算法。
The profinite completion of $3$-manifold groups, fiberedness and the Thurston norm
我们证明了两个3-流形$N_1$和$N_2$的基本群的profinite完备的正则同构诱导了Thurston范数的等距和纤维类之间的双射。我们研究了纽结群的profinite完备性在多大程度上区分纽结，并表明它区分每个环面纽结和所有纽结中的8字形纽结。我们还表明，它区分双曲结与循环互补的假设下，他们的亚历山大多项式至少有一个零，这是不是一个单位根的单位。
Cofinite Graphs and Groupoids and their Profinite Completions
我们定义了上有限图和上有限群胚在一个统一的方式，扩展了概念的上有限群引进的哈特利。所有这些对象的共同的基本结构是，它们是被赋予某种类型的一致结构的有向图，我们称之为上有限一致性。我们从探索上有限有向图的基本理论开始。一般理论结果几乎完全类似于余有限群。例如，每一个上有限有向图都有唯一的完备化，它是紧的上有限有向图.此外，紧余有限有向图正是profinite有向图，即，有限离散拓扑有向图的投射极限。然后，我们应用一般理论的有向图与额外的结构，如图（在意义上的塞尔）和群胚，从而导致的概念，余有限图和余有限群胚。只有两个恒等式的余有限群胚的行为与余有限群非常相似，余有限群与只有一个恒等式的余有限群胚是一样的。然而，具有无穷多个恒等式的余有限群胚的情况更加复杂。
Polycyclic groups and profinite isomorphism
针对几乎多循环群类，给出了判断两个群是否具有同构的投射有限完备化的算法。
C*-simplicity of relative profinite completions of generalized Baumslag-Solitar groups
Suzuki最近给出了局部紧C*-单群的非离散例子的构造，Raum利用Suzuki的结果证明了Baumslag-Solitar群的相对profinite完备化的C*-单群.我们将这个结果推广到一些称为广义Baumslag-Solitar群的图的基本群。在本文中，我们重点讨论了证明这些局部紧群是C*-单的以及这些约化群C* 代数的KMS-权是唯一的一些充分条件。这个条件是离散群的幂平均性质的类似物，并且对于非离散C*-单群的几个当前已知的构造成立。
The strong profinite genus of a finitely presented group can be infinite
我们构造了第一个例子的有限表示，剩余有限群，其中包含一个无穷序列的非同构有限表示的子群，使每个包含映射诱导同构的profinite完成。
Profinite genus of free products with finite amalgamation
本文研究有限融合自由积的投射有限亏格，针对两个投射有限OE群与有限融合的情形，给出了自由积及其投射有限完备化的同构类数目的精确公式，并计算亏格及简化条件。
The triviality problem for profinite completions
本文证明有限呈示群是否具有非平凡有限商不可判定，并将结果推广到非正曲率方形复形基本群及双曲群的多种性质。
Profinite detection of 3-manifold decompositions
闭的、可定向的$3$ -流形的基本群的profinite完备化决定了Kneser-Milnor分解。如果$M$是不可约的，那么profinite完备化决定了$M$的Jaco-Shalen-Johannson分解。
Profinite properties of RAAGs and special groups
在本文中，我们证明了RAAG是从彼此的区别，其pro- $p$完成任何选择的素数$p$，和RACG是从彼此的区别，其pro-2完成。我们还给出了一个新的证明，双曲型虚拟特殊群是良好的意义上的塞尔。此外，我们给出了一个例子的一个属性的基础图形的RAAG，转化为一个属性的profinite完成。
Lattices in $\mathrm{PU}(n,1)$ that are not profinitely rigid
利用Shimura簇的共轭，我们在$\mathrm{PU}(n,1)$中构造了非同构的、余紧的、无挠的格，并对所有$n \ge 2$构造了同构的profinite完备化。这证明了D. Kazhdan等给出了实秩1的半单李群中具有同构有限完备的第一个非同构格的例子，回答了A.里德
Profinite invariants of arithmetic groups
证明了具有CSP的算术群的欧拉示性数的符号是由有限完备化决定的。与此相反，我们构造的例子表明，这是不正确的欧拉示性数本身和欧拉示性数的符号是不profinite之间的一般剩余有限群类型$F$。我们的方法意味着类似的结果$\ell^2$ -扭转以及一个强大的profiniteness声明Novikov-Shubin不变量。
On the number of generators needed for free profinite products of finite groups
给出了有限群自由积的profinite完备化的生成元的最小个数的较低估计。特别地，我们证明了，如果C_1，…，C_n是有限循环群，则存在一个由C_1，.的同构副本生成的有限群G，C_n，G的最小生成元个数为n.
Baumslag-Solitar groups, relative profinite completions and measure equivalence rigidity
本文为保测度等价关系的非周期包含引入代数不变量，借此证明了非顺从Baumslag-Solitar群直积自由pmp作用的稳定轨道等价刚性，并完成了其相对profinite完备化直积的完全分类。
Ascending HNN extensions of polycyclic groups have the same cohomology as their profinite completions
假设$G$是一个循环群，而$ϕ:G\to G$是一个自同态。令$G\ast_ϕ$是$G$关于$ϕ$的HNN升序扩展;即，$G\ast_ϕ$由表示$$G\ast_ϕ= < G, t \ |\ t^{-1}gt = ϕ(g)\ \{for all}\ g\in G >.$$给出。此外，令$\hat{G\ast_ϕ}$是$G\ast_ϕ$的profinite完成。证明了对任何有限离散$\hat{G\ast_ϕ}$ -模$A$，由正则映射$G\ast_ϕ\to \hat{G\ast_ϕ}$诱导的映射$H^*(\hat{G\ast_ϕ}, A)\to H^*(G\ast_ϕ,A)$是同构.
Profinite rigidity of graph manifolds and JSJ decompositions of 3-manifolds
由基本群的profinite完备化所决定的三维流形的性质，近年来引起了人们的极大兴趣。本文给出了两个可定向图流形群同构的有限完备化的可精确计算的判别准则。我们的结果也区分图流形类的所有3-流形和全双曲流形的结构的信息，并给出控制某些图流形组的前$p$完成。
Groups with the same cohomology as their profinite completions
对于任何正整数$n$，$\mathcal{A}_n$是所有群$G$的类，使得对于$0\leq i\leq n$，对于每个有限离散$\hat{G}$ -模$A$，有$H^i(\hat{G},A)\cong H^i(G,A)$。我们描述了某些类型的自由积与汞合金和HNN的扩展是在某些类$\mathcal{A}_n$。此外，我们还研究了类$\mathcal{A}_2$中的剩余有限群。
A restricted Magnus property for profinite surface groups
马格努斯证明，给定两个元素$x$和$y$的一个生成的自由群$F$具有相等的正规闭包$\langle x\rangle^F=\langle y\rangle^F$，那么$x$要么共轭到$y$，要么共轭到$y^{-1}$。最近，这个性质，称为马格努斯性质，已被推广到定向曲面群。本文考虑了有限曲面群的一个类似性质。虽然马格努斯性质，在一般情况下，不成立的profinite设置，它确实持有在某些限制的形式。特别地，对于一类有限群${\mathscr S}$，我们证明了：如果$x$和$y$是可定向曲面群$Π$的pro- ${\mathscr S}$完备化$\hatΠ^{\mathscr S}$的\emph{algebraically simple}元素，使得对所有$n\in{\mathbb N}$，存在$\langle x^n\rangle^{\hatΠ^{\mathscr S}}=\langle y^n\rangle^{\hatΠ^{\mathscr S}}$，则对某些$s\in(\hat{\mathbb Z}^{\mathscr S})^\ast$，$x$共轭于$y^s$.事实上，一个更一般的性质被证明，并进一步推广到更广泛的类profinite完成。上述理论的最重要的应用是将profinite Dehn twins的中心化子的描述推广到profinite Dehn multitwins…
Profinite almost rigidity in 3-manifolds
该研究证明带空或环面边界的紧致可定向3-流形具投射有限几乎刚性，结合外围结构可唯一确定混合3-流形Seifert部分同胚类型，否则无法唯一确定，证明基于JSJ分解。
Profinite properties of Coxeter groups
该研究证明考克斯特群在 Serre 意义下是“好”的，其树作用产生的分裂可被 profinite 完备化检测，还证明多族考克斯特群及部分类型考克斯特群的 profinite 刚性，并在附录中证明 Atiyah 猜想对考克斯特群成立及相关不变量性质。
Warped cones over profinite completions
我们构造不具有性质A但可粗嵌入希尔伯特空间的度量空间。我们的例子是所谓的翘曲锥，它是由J. Roe引入的，作为不可嵌入希尔伯特空间的空间的例子，并且具有或不具有性质A。该构造提供了结合粗糙嵌入性和缺乏属性A的翘曲锥的第一个示例。我们还构造翘曲锥流形等距嵌入膨胀和推广罗伊的标准缺乏属性A或粗糙的可嵌入性的翘曲锥。在此过程中，证明了在一个profinite完备上的翘曲锥的性质A等价于群的顺从性。在附录中，我们解决了一个问题的诺瓦克关于他的例子空间具有类似的性质。
Free-by-cyclic groups are not relatively profinitely rigid
针对Bridson和Reid在2015年提出的问题，构造\(m = 5\)及\(m\geq7\)时两两非同构的循环自由群族，其同构于\(F_{2m}\rtimes\mathbb{Z}\)且有同构有限完备化。
Profinite detection of free products and free factors
研究了有限生成虚拟自由群的fundamental群的cohomologically good性质，证明了LERF群的自由积分解与profinite完成的分解等价，并能检测自由因子。
Arithmetic groups with isomorphic finite quotients
两个有限生成群具有相同的有限子集合当且仅当它们的有限完备化同构。考虑将S-算术群（的同构类）发送到其profinite完备化（的同构类）的映射。我们证明了，对于一类广泛的S-算术群，这个映射是有限的，而纤维的大小是无界的。
Cobordism, spin structures, and profinite completions
针对带Serre意义下好基本群的光滑闭连通非球面流形，证明基本群投射有限完备化同构可推出流形配边、签名模8相等且旋结构性质一致，还讨论了紧流形的类似结论。
Relative cohomology theory for profinite groups
本文定义并发展了投射有限群相对于闭子群集合的上同调理论。在给出相关定义后，我们建立了一个稳健的上积理论，并利用这个理论定义了Profinite Poincaré对偶对。我们利用群作用于profinite树的理论给出了Mayer-Vietoris序列，并应用它给出了关于3-流形群分解的结果。最后讨论了离散对偶对与profinite对偶对之间的关系，得到了紧致非球面3-流形的基本群的profinite完备化是相对于其边界分支的基本群的profinite完备化的profinite Poincaré对偶群.
Finite subgroups of the profinite completion of good groups
本文证明剩余有限好群的有限 $p$-子群共轭类可自然双射对应到其有限完备化，并刻画中心化子与正规化子的闭包性质，且推广至有限可解子群并给出几何群论应用。
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