A comparative study of efficient multigrid solvers for high-order local discontinuous Galerkin methods: Poisson, elliptic interface, and multiphase Stokes problems
本研究设计并比较了多种多重网格求解器，用于高阶局部间断伽辽金方法处理椭圆界面和多相斯托克斯问题，开发了基于稀疏近似逆的平滑器，在多种二维和三维测试中达到经典几何多重网格的性能。
2025-09-10 cs.NA math.NA
A robust multigrid method for the time-dependent Stokes problem
TU Chemnitz（德累斯顿工业大学化学系）；Faculty of Mathematics, TU Chemnitz（德累斯顿工业大学数学学院）
本文提出一种耦合多重网格方法，用于求解广义斯托克斯流问题，该方法在空间离散化网格大小和时间步长长度上表现出鲁棒收敛性。
2016-01-07 cs.NA math.NA
Multigrid methods for Hdiv-conforming discontinuous Galerkin methods for the Stokes equations
Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (IWR), Universität Heidelberg（海德堡大学计算科学跨学科中心）；Department of Mathematics, Texas A&M University（德克萨斯农工大学数学系）
本文提出了一种多重网格方法，用于斯托克斯系统中Hdiv相容不连续有限元方法的离散化，无需Schur补近似，采用重叠Schwarz平滑器和局部霍尔姆博德分解，分析了收敛性及数值证据表明收敛率与网格无关且合理小。
2015-01-24 cs.NA math.NA
Towards Matrix-Free Patch Smoothers for the Stokes Problem: Evaluating Local p-Multigrid Solvers
Interdisciplinary Center for Scientific Computing, Heidelberg University（海德堡大学跨学科计算科学中心）
本文提出了一种无矩阵兼容的局部p多重网格求解器，用于评估斯托克斯问题的局部补丁求解方法，展示了Braess-Sarazin方法在变形网格和大粘性跃变下的鲁棒性。
2026-01-19 cs.NA math.NA
A Vanka-based parameter-robust multigrid relaxation for the Stokes-Darcy Brinkman problems
我们提出了一个块结构的多重网格松弛格式求解Stokes-Darcy Brinkman方程离散的标记和细胞计划。一个基于元素的添加剂Vanka平滑器被用来解决相应的移位拉普拉斯算子。利用局部傅里叶分析，我们提出了一个模板的添加剂Vanka平滑，并推导出一个最佳的平滑因子Vanka为基础的Braess-Sarazin松弛的Stokes-Darcy Brinkman方程。虽然最优阻尼参数与网格尺寸和物理参数有关，但它非常接近于一个。数值计算结果表明，该松弛格式具有较高的计算效率，且对物理参数和网格尺寸具有较强的鲁棒性。使用等于1的阻尼参数给出了几乎相同的结果，这些最佳的阻尼参数在较低的计算开销。
2022-04-04 cs.NA math.NA
Robust multigrid methods for isogeometric discretizations of the Stokes equations
Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）；Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM)（约翰·拉顿计算与应用数学研究所）
本文研究了将多重网格方法扩展到斯托克斯方程的可行性，基于等几何分析的离散化方法，探讨了网格尺寸和多项式次数的鲁棒收敛性。
2017-05-12 cs.NA math.NA
A geometric multigrid method for isogeometric compatible discretizations of the generalized Stokes and Oseen problems
University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；University of Colorado, Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出了一种几何多重网格方法，用于求解与广义斯托克斯和欧塞恩问题的等几何兼容离散化相关的矩阵系统，该方法能保证在不同预平滑、后平滑步骤、网格层级和循环次数下，点处的散度自由速度场不变。
2017-05-25 cs.NA math.NA
Multigrid solution of a distributed optimal control problem constrained by the Stokes equations
University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩分校）
本文构建多重网格预条件子加速Stokes系统约束的线性二次最优控制问题求解，通过消除状态和伴随变量并构造Schur补的最优阶多重网格预条件子，实现随分辨率增加迭代次数减少。
2012-07-12 cs.NA math.NA math.OC
Achieving $h$- and $p$-robust monolithic multigrid solvers for the Stokes equations
针对Stokes方程高阶混合有限元离散化缺乏高效预条件子的问题，提出Vanka松弛格式变体构建几何多重网格预条件子，验证了部分离散化下对多项式阶数的鲁棒性并提出待解决问题。
2025-03-21 cs.NA math.NA
Non-overlapping block smoothers for the Stokes equations
重叠块平滑器有效地抑制了斯托克斯方程多重网格方法中高振荡分量的误差贡献，但它们的计算代价很高。本文主要研究交错网格上离散的斯托克斯方程的块平滑算法。这些平滑器是不重叠的，因此由于降低的计算成本而是期望的。传统的几何多重网格方法是基于简单的逐点平滑。然而，多重网格方法用于求解诸如斯托克斯方程之类的更困难的问题的效率导致计算上更昂贵的平滑器，例如，重叠块平滑器。非重叠平滑器较便宜，但在文献中被认为效率较低。在本文中，我们开发了新的非重叠平滑，所谓的三重平滑，并显示其效率内的多重网格方法来解决斯托克斯方程。此外，我们比较重叠和非重叠平滑的计算成本和分析他们的行为，通过使用本地傅里叶分析。
2020-08-20 cs.NA math.NA
$hp$-Multigrid preconditioner for a divergence-conforming HDG scheme for the incompressible flow problems
在这项研究中，我们提出了一个$hp$ -多重网格预处理器的发散一致的HDG格式的广义Stokes和Navier-斯托克斯方程使用增广拉格朗日公式。我们的方法依赖于在二维和三维符合单纯形网格。$hp$ -多重网格算法是一种乘法辅助空间预处理器，采用最低阶空间作为辅助空间，我们开发了一种几何多重网格方法作为辅助空间求解器。对于广义Stokes问题，几何多重网格方法的关键成分是凝聚的最低阶发散一致的HDG格式和具有压力鲁棒处理的Crouzeix-Raviart离散化之间的等价性，如Linke和Merdon（Comput.方法应用机械工程，311（2016）），它允许几何多重网格理论直接应用于Crouzeix-Raviart离散化。数值实验表明，所提出的$hp$ -多重网格预处理器对网格步长和增广拉格朗日参数具有较强的鲁棒性，迭代次数对多项式阶数的增加不敏感.灵感来自Benzi & Olshanskii（SIAM J. Sci.计算：28（6）（2006））和Farrell等人（SIAM J. Sci.计算：41（5）（2019）），我们进一步测试了Navier-斯托克斯方程的发散一致HDG格式的预处理器。数值实验表明，随着雷诺数增加到$10^3$，预处理GMRes求解器的迭代次数略有增加。
2023-03-12 cs.NA math.NA
Solving the (Navier-)Stokes equations with space and time adaptivity using deal.II
Technical University of Berlin（柏林工业大学）；Charles University（查理大学）；Ruhr University Bochum（波鸿鲁尔大学）；Otto von Guericke University Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）；Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机性研究所）
本文利用deal.II库的多网格、自适应网格和无矩阵基础设施，高效求解稳态斯托克斯方程、瞬态斯托克斯方程及稳定不可压缩纳维-斯托克斯方程，展示其灵活性与模块化。
2026-03-31 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Multigrid preconditioners for the Newton-Krylov method in the optimal control of the stationary Navier-Stokes equations
United States Naval Academy（美国海军学院）；University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩分校）
本文研究了用于稳态纳维-斯托克斯方程最优控制问题的牛顿-克雷洛夫方法中的最优阶多网格预条件子的构造与分析，通过消除状态和伴随变量，直接求解控制变量的非线性系统，并展示了预条件子在低至中等雷诺数下的高效性。
2018-11-21 cs.NA math.NA
Textbook efficiency: massively parallel matrix-free multigrid for the Stokes system
我们采用教科书的多重网格效率（TME），介绍了由阿奇勃兰特，构造一个渐进最优的整体多重网格求解器的斯托克斯系统。几何多重网格求解器建立在分层混合网格（HHG）的概念，这是扩展到高阶有限元离散，和相应的矩阵的自由实现。计算成本的全多重网格（FMG）迭代量化，并求解器应用于多个基准问题。通过参数研究，我们建议的配置，实现TME的，稳定的等阶，泰勒-胡德离散。通过屋顶线分析，相关的计算内核的优秀的节点级性能。最后，我们证明了弱和强的可扩展性，以$147,456$并行处理和解决斯托克斯系统超过$3.6 \times 10^{12}$（万亿）未知数。
2020-10-26 cs.CE cs.MS cs.NA
Comparison Between Algebraic and Matrix-free Geometric Multigrid for a Stokes Problem on Adaptive Meshes with Variable Viscosity
在地球地幔对流中出现的问题涉及到找到大粘度对比的斯托克斯系统的解决方案。这些系统包含局部化特征，即使使用自适应网格细化，也会导致线性系的数量级为10^9或更多未知数。对这些系统的速度块进行预处理的一种常见方法是应用代数多重网格（AMG）v循环（例如，如在ASPECT软件中所做的那样），然而，对于AMG，关于问题大小和并行过程的数量的鲁棒性可能是困难的。此外，当使用AMG时，我们看到自适应细化的迭代次数增加。相比之下，几何多重网格（GMG）方法，通过使用有关问题的几何信息，应该提供一个更强大的选项。在这里，我们提出了一个无矩阵的GMG v-循环，它适用于自适应细化，分布式网格，我们将比较它与目前的AMG预处理器（Trilinos ML）中使用的ASPECT软件。我们将证明GMG的鲁棒性方面的问题的大小，并显示扩展到114688核心和$217$十亿未知数。所有计算都使用开源的有限元库deal. ii运行。
2020-08-18 cs.NA math.NA
Efficiency of local Vanka smoother geometric multigrid preconditioning for space-time finite element methods to the Navier-Stokes equations
对不可压缩粘性流动的数值模拟，特别是三维空间的数值模拟，仍然是一项具有挑战性的任务。时空有限元法的特点是自然构造高阶离散格式。它们提供了在计算上可行的网格上实现精确结果的潜力。通过牛顿法线性化所得到的代数问题产生具有由$(k+1)\times (k+1)$鞍点系统构建的块矩阵的线性系，其中$k$表示变分时间离散化的多项式阶。我们证明了数值效率的预处理GMRES迭代求解这些线性系的$V$循环几何多重网格方法的基础上，当地的Vanka平滑。研究工作是针对二维和三维圆柱绕流的基准问题进行的。在这里，鲁棒性的求解器相对于分段多项式阶$k$在时间上进行了分析和数值证明。
2022-10-06 cs.NA math.NA
Improving patch selection for monolithic multigrid solvers for high-order {T}aylor-{H}ood discretizations
Hakim Sabzevari University（哈基姆·萨布泽瓦里大学）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）
本文提出改进的块选择方法，提升高阶Taylor-Hood离散化在多网格求解器中的效率，显著减少迭代次数和求解时间。
2025-12-13 cs.NA math.NA
Efficient smoothers for all-at-once multigrid methods for Poisson and Stokes control problems
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文研究了多网格求解器中高效平滑器的选择问题，提出了一种在网格尺寸和正则化参数下均具鲁棒收敛性的全部一次多网格求解器，并通过数值实验验证了其与Vanka类型方法的竞争力。
2016-01-07 cs.NA math.NA
A restricted additive Vanka smoother for geometric multigrid
鞍点问题，如斯托克斯方程，是一个具有挑战性的任务，特别是在大规模的问题。多重网格法是求解此类方程组的最有效的方法之一，并且可以实现与问题大小无关的收敛速度。平滑器是多重网格方法的重要组成部分，并显着影响其整体效率。我们提出了一个Vanka型平滑，我们称之为限制性添加剂Vanka和自适应几何多重网格方法的斯托克斯方程的上下文中，调查其收敛性。所提出的平滑的优点是一个添加剂的方法，并提供了良好的性能，在算法的复杂性，可扩展性和适用性，高性能计算。我们比较的平滑与两个变种的经典Vanka平滑的斯托克斯问题的数值基准的性能。我们发现，限制添加剂平滑达到可比的收敛速度的经典乘法Vanka平滑，而计算成本较低的每次迭代，从而导致更快的解决方案运行时间。
2021-03-18 cs.NA math.NA
A robust all-at-once multigrid method for the Stokes control problem
University of Oxford（牛津大学）
本文提出了一种用于分布式斯托克斯控制问题的全一次多网格方法，通过优化系统特性，展示了一种稳健收敛的多网格方法，其收敛率与网格大小和正则化参数无关。
2015-02-13 cs.NA math.NA
Robust multigrid techniques for augmented Lagrangian preconditioning of incompressible Stokes equations with extreme viscosity variations
我们提出了增广拉格朗日Schur补预条件和强大的多重网格方法的不可压缩Stokes问题的极端粘度变化。这样的斯托克斯系统出现，例如，在线性化的非线性粘性流动问题，他们可以有严重的非均匀和各向异性系数。使用一个增广的拉格朗日公式的不可压缩性约束，使舒尔补更容易近似，但在斯托克斯系统中的一个近奇异的（1，1）块的结果。我们提出的Schur补近似的质量的特征值估计。为了解决（1，1）-块的近奇异性问题，我们扩展了一个多重网格格式，并引入了一个依赖于离散化的光滑算子，将三角形/四面体的算子转换为四边形/六面体的有限元离散化$[\mathbb{Q}_k]^d\times \mathbb{P}_{k-1}^{\text{disc}}$，$k\geq 2$，$d=2,3$ .使用标量和各向异性的四阶张量粘塑性本构关系线性化所产生的数值例子，我们确认的多重网格方案的鲁棒性和整体效率的求解器。我们目前的可扩展性结果使用多达28，672个并行任务的问题高达16亿个未知数和粘度对比高达十个数量级。
2021-11-02 cs.CE cs.NA math.NA
A Monolithic hp Space-Time Multigrid Preconditioned Newton-Krylov Solver for Space-Time FEM applied to the Incompressible Navier-Stokes Equations
University of Magdeburg（马格德堡大学）；Helmut Schmidt University（赫尔穆特·施密特大学）
本文提出了一种基于 hp-STMG 的求解器，用于高效求解不可压缩纳维-斯托克斯方程，结合了空间-时间多重网格与牛顿-克雷洛夫方法，实现了高鲁棒性和计算效率。
2026-02-14 cs.NA math.NA
Smoothing analysis of two-color distributive relaxation for solving 2D Stokes flow by multigrid method
本文用局部傅里叶分析研究了多重网格法求解二维Stokes流的双色分布松弛平滑性质，引入附加压力稳定项并确定其参数收敛区域，证明收敛性与网格大小无关而取决于稳定化参数。
2023-06-29 cs.NA math.NA
A Symmetric Multigrid-Preconditioned Krylov Subspace Solver for Stokes Equations
针对Stokes方程数值求解的可扩展性与效率挑战，提出一种适用于交错有限差分离散化的对称不定多重网格预条件子，用于SQMR迭代方案，具备匹配Stokes系统的对称性且计算高效、易于大规模扩展。
2024-07-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A geometric multigrid method for space-time finite element discretizations of the Navier-Stokes equations and its application to 3d flow simulation
提出了一种基于Vanka光滑单元的几何多重网格（GMG）方法，用于求解不可压斯托克斯方程的高阶时空有限元法（STFEM）。STFEM被实现为时间推进方案。GMG求解器作为GMRES迭代的预处理器。它的性能特性证明了二维和三维基准的圆柱绕流。GMG方法的关键成分是在各个子区间的所有自由度上构建局部Vanka平滑器及其有效应用。为此，生成了存储所有层次级别的雅可比矩阵的预先计算的单元逆并且仅需要合理量的存储器开销的数据结构。为\emph{deal.II}有限元库建立了GMG方法。这些概念是灵活的，可以转移到类似的软件平台。
2022-07-12 cs.NA math.NA
Optimal geometric multigrid preconditioners for HDG-P0 schemes for the reaction-diffusion equation and the generalized Stokes equations
本文对二维和三维协调单纯型网格上的反应扩散方程和广义斯托克斯方程提出了一种带数值积分的最低阶可杂交间断Galerkin格式（简称HDG-P0）.这里，最低阶是指用于全局HDG小平面自由度（DOF）的（混合）有限元空间是网格骨架上的分段常数的空间。一个不连续的分段线性空间被用来近似的本地原始未知数。我们给出了所提出的{ \sf HDG-P0}格式的最优先验误差分析，就数值积分而言，这在文献中还没有出现在HDG离散。此外，我们提出了最佳几何多重网格预条件的静态凝聚HDG-P0线性系协调单纯形网格。在这两种情况下，我们首先建立一个（略有修改）的静态凝聚HDG系统的等价物Crouzeix-Raviart（CR）离散，其中的全球（分段常数）HDG有限元空间的网格骨架上有一个自然的一对一的对应关系，生活在整个网格上的分段线性（分段线性）有限元空间。这种等价性使我们能够使用成熟的几何多重网格理论来预处理凝聚HDG系统。在二维和三维的数值结果来验证我们的理论研究结果。
2023-01-01 cs.NA math.NA
Novel mass-based multigrid relaxation schemes for the Stokes equations
在这项工作中，我们提出了三个新的块结构的多重网格松弛计划的基础上分布松弛，Braess-Sarazin松弛，和Uzawa松弛，求解斯托克斯方程离散的标记和细胞计划。在我们早期的工作\cite{he2018local}中，我们讨论了这三种类型的松弛方案，其中加权Jacobi迭代用于发明涉及斯托克斯方程的拉普拉斯算子。在\cite{he2018local}中，我们证明了对于分布加权Jacobi松弛和不精确Braess-Sarazin松弛，最佳平滑因子是$\frac{3}{5}$;对于$σ$ -Uzawa松弛，最佳平滑因子是$\sqrt{\frac{3}{5}}$.在这三种松弛方法中，我们提出了一种基于质量的近似方法，即直接用双线性有限元法得到的质量矩阵$Q$代替Jacobi迭代来逼近标量Laplacian算子的逆。利用局部傅里叶分析，我们从理论上推导出最佳的平滑因子的三个松弛计划。具体地，基于质量的分布松弛、基于质量的Braess-Sarazin松弛和基于质量的$σ$ -Uzawa松弛分别具有最佳平滑因子$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{3}$和$\sqrt{\frac{1}{3}}$。注意，基于质量的松弛方案的成本并不高于使用雅可比迭代的原始方案。另一个优点是不需要计算矩阵的逆。这些新的放宽计划是有吸引力的。
2021-11-09 cs.NA math.NA
A symbol based analysis for multigrid methods for Block-Circulant and Block-Toeplitz Systems
在文献中，有几个基于符号的多重网格方法的解决方案的线性系具有结构化的系数矩阵的研究。特别是，这种方法的收敛性分析已获得一个优雅的形式的情况下，由标量值函数生成的Toeplitz矩阵。在块Toeplitz设置中，也就是说，在矩阵元素是小的通用矩阵而不是标量的情况下，已经提出了一些关于特定应用的算法，并且在[7]中进行了第一次严格收敛分析。然而，利用现有的基于符号的理论工具，仍然不可能证明文献中已知的许多多重网格方法的收敛性。本文推广了已有的结果，给出了关于网格转移算子符号的更一般的充分条件，特别地，我们处理了矩阵值三角多项式在所有点处不可对角化且奇异的情形，并将新的条件用病态子空间的特征向量表示.此外，我们扩展到V-循环方法的分析证明了线性收敛速率在更强的条件下，这类似于在标量的情况下给出的。为了验证我们的理论研究结果，我们提出了一个经典的块结构问题源于有限元近似的二阶微分问题。我们专注于两个多重网格的战略，使用几何和标准的二分法网格传输运营商，我们证明，都属于投影机满足所提出的条件。此外，使用一个张量积的参数，我们提供了一个策略来构建高效的V-循环程序在块多级设置。
2021-11-12 cs.NA math.NA
Symbol based convergence analysis in multigrid methods for saddle point problems
鞍点问题出现在各种应用中，例如，在解斯托克斯方程时。它们可以被公式化，使得系统矩阵是对称的，但不确定的，所以通常用于证明多重网格收敛的变分收敛理论不能被应用。在2016年发表在Numerische Mathematik上的一篇论文中，Notay提出了一种不同的代数方法，该方法分析了适当预处理的鞍点问题，证明了双网格方法的收敛性。在本文中，我们分析的鞍点问题的块循环在这个框架内。我们能够推导出收敛的充分条件，并提供最佳参数的预处理的鞍点问题和点平滑，使用。分析是基于循环块的生成符号。此外，我们表明，结构可以保持在粗糙的水平，允许递归应用的方法在W-或V-循环，并证明了“水平独立性”的属性。数值结果表明，所提出的方法在循环和Toeplitz的情况下的效率。
2022-03-11 cs.NA math.NA
Multigrid methods for the Stokes problem on GPU systems
本文提出一种基于无矩阵多重网格和Schur补方法的Stokes求解器，利用张量积结构与共享内存优化，在A100 GPU上实现每秒超十亿自由度的性能。
2024-10-12 cs.MS cs.NA math.NA
A neural network multigrid solver for the Navier-Stokes equations
我们提出了我们为非定常纳维-斯托克斯方程开发的深度神经网络多重网格求解器（DNN-MG）。DNN-MG使用几何多重网格求解器和具有记忆的递归神经网络的明智组合来提高计算效率。DNN-MG使用多重网格方法在粗层次上进行经典求解，而神经网络则在细层次上校正插值解，从而避免了必须在那里执行的越来越昂贵的计算。这导致通过DNN-MG的高度紧凑的神经网络减少计算时间。紧凑性的结果，从它的局部补丁和可用的粗多重网格解决方案，提供了一个“指南”的修正设计。具有少量参数的紧凑型神经网络还可以减少训练时间和数据。此外，网络的局部性有助于推广，并允许人们使用在一个网格域上训练的DNN-MG，也可以在不同的网格域上训练。我们证明了DNN-MG对障碍物周围二维层流变化的有效性。对于这些，我们的方法显着改善的解决方案，以及升降机和阻力泛函，而只需要大约一半的计算时间的一个完整的多重网格解决方案。我们还表明，DNN-MG训练的配置与一个障碍物可以推广到其他时间相关的问题，可以有效地解决使用几何多重网格方法。
2021-11-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Monolithic Multigrid Preconditioners for High-Order Discretizations of Stokes Equations
本研究提出融合p阶和h网格粗化的整体式phMG多重网格框架，用于Stokes方程高阶离散，在Taylor-Hood单元下显著优于传统hMG，在Scott-Vogelius单元下求解效率优但设置速度慢于FBF预条件子。
2024-07-09 cs.NA math.NA
On the Efficiency of the Iterative Techniques for Solving Incompressible Navier-Stokes Equations
众所周知，迭代法的选择对确定收敛解的速度至关重要。本文对求解不可压Navier-斯托克斯方程的几种迭代方法进行了详细的比较。在求解器中实现的数值方法包括Jacobi，Gauss-Siedel，逐次过松弛，交替直接隐式和多重网格方法。结果表明，多重网格方法是最强大的迭代法在所有其他方法研究的计算时间和迭代次数。
2019-07-30 cs.NA math.NA
A multigrid ghost-point level-set method for incompressible Navier-Stokes equations on moving domains with curved boundaries
本文提出了一种求解运动区域上Navier-斯托克斯方程的二阶精度数值方法。空间离散是基于鬼点法，这属于不适合的边界方法的类别，因为网格不适应移动边界。利用Crank-Nicholson方法将方程组在时间上向前推进。采用适当的多重网格方法，对速度和压力同时求解动量和连续性方程。为了避免压力的棋盘格不稳定性，采用交错网格，其中速度被定义在单元的两侧，压力被定义在中心。通过包含一个额外的标量未知数（代表速度的平均发散）和一个额外的方程（将平均压力设置为零），避免了压力缺乏唯一性。进行了几个试验来模拟不可压缩流体围绕运动物体的运动，以及围绕稳定物体的盖驱动空腔试验。该对象是隐式定义的水平集的方法，它允许一个自然的计算几何属性，如距离边界，法线方向和曲率。测试不同的形状：圆形，椭圆形和花。数值结果表明，二阶精度的速度和发散度（衰减到零与二阶）和效率的多重网格，这是可比的测试在文献中的矩形域没有对象，表明存在一个复杂形状的对象不会降低性能。
2019-11-03 cs.NA math.NA
Monolithic Algebraic Multigrid Preconditioners for the Stokes Equations
本文提出一种基于低阶算子与AMG插值构造的整体代数多重网格预条件子，用于Stokes方程的高阶离散，并通过Vanka块分解和Chebyshev自适应松弛提升效率与并行性，在2D和3D问题中表现稳健。
2024-08-31 cs.NA math.NA
An algebraic multigrid method for $Q_2-Q_1$ mixed discretizations of the Navier-Stokes equations
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文提出了一种自动化的代数多重网格方法，用于处理 $Q_2-Q_1$ 混合有限元离散化中速度和压力节点不共置的问题，通过模拟压力和速度自由度之间的关系来提高求解性能。
2017-03-07 cs.NA math.NA
An hp Multigrid Approach for Tensor-Product Space-Time Finite Element Discretizations of the Stokes Equations
University of Magdeburg（马格德堡大学）；Helmut Schmidt University（赫尔穆特·施密特大学）；Technical University Berlin（柏林工业大学）
本文提出了一种用于斯托克斯方程的 hp 多网格方法，结合空间-时间离散化技术，通过无矩阵能力提升计算效率。
2025-08-13 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Scalable smoothing strategies for a geometric multigrid method for the immersed boundary equations
University of North Carolina, Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）；Rice University（莱斯大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）
本文提出适用于并行计算的改进多网格预处理方法，用于求解Stokes浸入边界方程，展示了加法Vanka平滑器和Schur补平滑器的有效性，并分析了不同材料刚度和雷诺数下的求解性能。
2016-12-07 cs.NA math.NA
Multigrid methods: grid transfer operators and subdivision schemes
本文研究多网格方法中网格传输算子的新定义与分析，通过关联粗网格修正的符号分析与单变量细分方案的逼近特性，提出新的高阶问题适用的网格传输算子，并展示其在多网格方法中的收敛性和最优性。
2016-08-11 cs.NA math.NA
A local Fourier analysis of additive Vanka relaxation for the Stokes equations
多重网格方法是许多离散偏微分方程的常用求解算法，无论是作为独立的迭代求解器还是作为预处理器，由于它们的高效率。然而，选择和优化的多重网格组件，如松弛计划和网格转移运营商是至关重要的最佳有效的算法的设计。众所周知，局部傅里叶分析（LFA）是预测和分析这些元件性能的有用工具。在本文中，我们开发了一个局部傅里叶分析的整体多重网格方法的基础上添加Vanka松弛计划的混合有限元离散的斯托克斯方程。该分析提供了对Vanka松弛的“补丁”的选择的深入了解，揭示了较小的补丁在每个浮点运算中提供更有效的收敛。最小化两个网格的收敛因子的参数提出和数值实验，以验证LFA预测。
2020-01-20 cs.NA math.NA
A GPU-Accelerated Matrix-Free FAS Multigrid Solver for Navier-Stokes Equations with Memory-Efficient Implementations
本文开发了一种基于GPU加速的无矩阵FAS多重网格Navier-Stokes方程求解器，通过引入X-MCGS平滑器和内存高效投影方案，在大幅提升计算速度的同时降低了内存占用，实现了大规模三维流体的单GPU模拟。
2025-10-13 cs.NA math.NA
Low-order preconditioning of the Stokes equations
该研究借鉴偏微分方程高阶离散预条件的低阶利用思路，提出用基于Stokes算子Q₁isoQ₂/Q₁离散的几何多重网格作为Q₂/Q₁离散系统的预条件子，通过局部傅里叶分析优化松弛参数实现鲁棒收敛，为后续将代数多重网格应用于高阶离散系统奠定基础。
2021-04-21 cs.NA math.NA
Nonlinear p-multigrid preconditioner for implicit time integration of compressible Navier--Stokes equations
在$ p $ -自适应通量重建的框架内，我们的目标是构造高效的多项式多重网格（$p$ MG）预处理器隐式时间积分的Navier-斯托克斯方程使用雅可比自由牛顿-克雷洛夫（JFNK）方法。我们假设，在伪瞬态连续（PTC），随着残差下降，错误模式的频率，决定收敛速度变得越来越高。我们将非线性$p$ MG求解器应用于低马赫数刚性定常问题（$\mathrm{Ma}=10^{-3}$）来验证我们的假设。它表明，一旦残差下降了几个数量级，改进的平滑中间$ p $ -子水平不仅保持稳定的$ p $ MG在大的时间步长，但也提高了收敛速度。对于非定常Navier-斯托克斯方程，本文详细阐述了如何利用伪瞬态延拓方法为显式第一阶段、单对角隐式Runge-Kutta（ESDIRK）方法和线性隐式Rosenbrock-Wanner（ROW）方法中的无矩阵广义极小残差（GMRES）方法构造非线性预条件子。考虑到在每个时间步，非线性求解器中的初始猜测与收敛解相距不远，我们建议使用两级$p\{p_0\text{-}p_0/2\} $或甚至$ p\{p_0\text{-}(p_0-1)\} $ $p$ -层次结构，以获得最佳效率，并基于我们的假设在较粗的级别上使用基于矩阵的平滑器。结果表明，中间$p$ -子级的平滑不足将大大恶化$p$ MG预处理器的性能。(See论文摘要全文）。
2022-02-20 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Exploiting mesh structure to improve multigrid performance for saddle point problems
近年来，求解线性或线性化鞍点问题的有限元离散化，如斯托克斯方程和Oseen方程，已经得到很好的建立。有两类主要的预处理器为这样的系统：那些基于块分解的方法和那些基于单片多重网格。这两类预处理器在其组成中有几个关键的选择，如选择一个合适的松弛方案单片多重网格。从现有的研究中，可以获得一些关于低性能计算环境中哪些选项更可取的见解，但文献中很少有这些方法的公平比较，特别是对于现代架构，如GPU。在本文中，我们进行了比较块三角形预处理和单片多重网格方法与三个最常见的选择松弛计划- Braess-Sarazin，Vanka和Schur-Uzawa。我们开发了一个高性能的Vanka松弛算法的结构网格离散化，它利用了在这种设置的内存效率。我们详细介绍了各种CUDA内核的多重网格松弛计划的行为，并评估其各自的算术强度，性能和运行时间。使用这些预处理器运行斯托克斯方程的预处理FGMRES求解器，使我们能够在实际设置中比较它们的效率。我们发现单片多重网格可以优于块三角形预处理，使用Vanka或Braess-Sarazin松弛是最有效的。尽管Vanka松弛的多重网格在CPU上表现出较低的性能（比Braess-Sarazin慢$100\%$），但它在GPU上的性能超过Braess-Sarazin $20\%$，使其成为一种有竞争力的算法，特别是考虑到有效的Braess-Sarazin松弛需要大量的算法调整…
2024-01-11 cs.NA math.NA
A Scalable Monolithic Modified Newton Multigrid Framework for Time-Dependent $p$-Navier-Stokes Flow
University of Magdeburg, Institute for Analysis and Numerics（马格德堡大学分析与数值研究所）
本文提出一种可扩展的单块修改牛顿多网格框架，用于时间依赖的$p$-纳维-斯托克斯流，通过改进的构成切线替代精确切线，提升非线性系统求解效率，实现鲁棒性和可扩展性。
2026-03-30 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Analysis on aggregation and block smoothers in multigrid methods for block Toeplitz linear systems
本文研究块 Toeplitz 线性系统的基于符号多重网格法，通过聚合型网格转移将矩阵值符号化为标量值，证明 V-cycle 收敛性并扩展松弛块 Jacobi 等光滑子条件，数值验证其计算优势。
2024-03-04 cs.NA math.NA
An algebraic multigrid method for quadratic finite element equations of elliptic and saddle point systems in 3D
Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM), Austrian Academy of Sciences（约翰·拉东计算与应用数学研究所（RICAM），奥地利科学院）
本文提出一种稳健的代数多重网格方法，用于求解三维椭圆和saddle点系统中的线性方程组，采用分层二次基函数和新的粗化策略，提升数值计算的鲁棒性与效率。
2015-03-04 cs.NA math.NA
A p-Multigrid Accelerated Nodal Spectral Element Method for Free-Surface Incompressible Navier-Stokes Model of Nonlinear Water Waves
本文提出一种基于节点谱元法和几何p-多重网格加速的不可压缩Navier-Stokes自由表面模型，用于高效高精度模拟非线性水波，并通过经典潜堤谐波基准验证了其谱收敛性、实验一致性和O(n)计算可扩展性。
2024-11-22 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Multigrid Methods for Constrained Minimization Problems and Application to Saddle Point Problems
University of California at Irvine（加州大学尔湾分校）
本文提出基于多重网格方法的鞍点问题求解方法，通过多重级分解约束空间实现子空间优化，无需全正则性假设，适用于混合有限元方法中的泊松和斯托克斯方程。
2016-01-15 cs.NA math.NA
Local Fourier analysis for mixed finite-element methods for the Stokes equations
Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）
本文开发了基于块结构松弛方案的多网格方法的局部傅里叶分析，用于分析稳定和稳定化混合有限元离散化的斯托克斯方程的收敛行为。考虑了三种松弛方案：分布型、布拉塞-萨拉津和乌扎瓦松弛。从分析中提出了最小化局部傅里叶分析平滑因子的参数，用于具有分布型和布拉塞-萨拉津松弛的稳定化方法。考虑到局部傅里叶分析平滑因子在预测稳定离散化的真实两网格收敛因子方面的失败，我们在此情况下数值优化了由局部傅里叶分析预测的两网格收敛因子。此外，还比较了所提算法与使用不精确求解器变体的效率。最后，一些数值实验用于验证两网格和多网格收敛因子。
2019-03-07 cs.NA math.NA
An adaptive finite element multigrid solver using GPU acceleration
Institute of Analysis and Numerics, OVGU Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学分析与数值学研究所）；European Centre for Medium-Range Weather Forecasts（欧洲中期天气预报中心）
本研究开发了一种利用GPU加速的自适应有限元多重网格求解器，通过线性代数操作实现高效计算，显著提升了求解非稳态纳维-斯托克斯方程等复杂问题的速度。
2025-12-20 cs.NA math.NA
A Scalable Deflated Conjugate Gradient Solver for the Time-Dependent Pseudo-Stress Stokes Problem
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
针对伪应力格式非定常斯托克斯方程，提出结合收缩共轭梯度法与W循环多重网格的求解框架，通过选择收缩子空间消除奇异模式，实现时间步长无关的鲁棒收敛。
2026-06-12 cs.NA math.NA
A quantitative performance analysis for Stokes solvers at the extreme scale
本文提出了一个系统的定量性能分析的大型有限元计算极端规模的计算系统。三个并行迭代求解器的斯托克斯系统，离散的低阶四面体元素，比较其数值效率和可扩展性上运行到$786\,432$并行线程。一个真正的多重网格方法的鞍点系统，使用Uzawa型平滑提供了最好的整体性能方面的内存消耗和时间的解决方案。在Blue Gene/Q系统上求解的最大系统有超过十万亿（$1.1 \cdot 10 ^{13}$）未知数，需要大约13分钟的计算时间。尽管无矩阵和高度优化的实现，解决方案向量和辅助向量的内存需求约为200 TB。Brandt的“教科书多重网格效率”的概念被用来研究迭代求解器的算法性能。最近扩展到“并行教科书多重网格效率”的这种模式，使它有可能评估的效率，也为一个给定的硬件架构的并行迭代求解器的绝对值。该方法的效率被证明是模拟不可压缩流体在充满球形障碍物的管道中的流动。
2015-11-06 cs.CE cs.MS cs.NA
A Multigrid Preconditioner for Spatially Adaptive High-order Meshless Method on Fluid-solid Interaction Problems
提出了一种求解Stokes极限下流固耦合问题的整体几何多重网格预处理器。问题的离散空间自适应高阶无网格方法，广义移动最小二乘（GMLS）与自适应$h$ -细化。在斯托克斯极限下，固体运动学可以由控制润滑效应的奇点支配。用自适应$h$ -细化来解决这些奇异性会导致方程的病态线性系。为了构造多重网格预条件子的关键成分-插值和限制算子，我们利用自适应$h$ -细化中生成的GMLS节点的层次集的几何信息。我们通过基于物理的分裂建立解耦平滑器，然后通过乘法重叠Schwarz方法将它们组合起来。通过包含不同数量和形状的固体的数值例子，我们证明了性能和评估所设计的预处理器的可扩展性。随着总自由度和实体数$N_s$的增加，所提出的整体几何多重网格预处理器在使用Krylov迭代法求解空间自适应GMLS离散化产生的线性系方程组时，可以保证收敛性和良好的可扩展性.更具体地说，对于固定数量的实体，随着离散化分辨率的逐步细化，线性求解器的迭代次数可以保持在相同的水平，这表明我们的预处理器相对于全次数自由度具有接近线性的可扩展性。当$N_s$增加时，迭代次数几乎与$\sqrt{N_s}$成正比，这意味着相对于实体数目的次线性最优性。
2022-03-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
