Ionut Chifan, Alec Diaz-Arias, Daniel Drimbe
In this paper we explore a generic notion of superrigidity for von Neumann algebras $L(G)$ and reduced $C^*$-algebras $C^*_r(G)$ associated with countable discrete groups $G$. This allows us to classify these algebras for various new classes of groups $G$ from the realm of coinduced groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Cocycle superrigidity for coinduced actions
本文证明了一个关于一大类共诱导作用的上循环超刚性定理。特别地，如果$Λ$是可数群$Γ$的一个子群，我们考虑概率测度保持动作$Λ\curvearrowright X_0$，并让$Γ\curvearrowright X$是共诱导动作。假设$Γ$具有性质（T），或者假设$Λ$是顺从的，而$Γ$是非顺从群的乘积。利用Popa的形变/刚性理论，我们证明了$Γ\curvearrowright X$是$\mathcal U_{fin}$ -上循环超刚性的，即对一个$\mathcal U_{fin}$（例如可数）群作用的任何上循环，$\mathcal V$与从$Γ$到$\mathcal V.$的同态是上同调的
We prove W$^*$-superrigidity for a large class of coinduced actions. We prove that if $Σ$ is an amenable almost-malnormal subgroup of an infinite conjugagy class (icc) property (T) countable group $Γ$, the coinduced action $Γ\curvearrowright X$ from an arbitrary probability measure preserving action $Σ\curvearrowright X_0$ is W$^*$-superrigid. We also prove a similar statement if $Γ$ is an icc non-amenable group which is measure equivalent to a product of two infinite groups. In particular, we obtain that any Bernoulli action of such a group $Γ$ is W$^*$-superrigid.
Orbit equivalence, coinduced actions and free products
下面的结果被证明。设$G_1 \cc^{T_1} (X_1,μ_1)$和$G_2 \cc^{T_2} (X_2,μ_2)$是可数群$G_1$和$G_2$的轨道等价的、本质自由的概率测度保持作用.设$H$为任意可数群。对于$i=1,2$，设$Γ_i = G_i *H$为自由产品。由$T_1$和$T_2$共诱导的$Γ_1$和$Γ_2$的作用是轨道等价的。作为应用，证明了若$Γ$是自由群，则$Γ$上所有非平凡的Bernoulli位移都是轨道等价的。
We prove that the solid ergodicity property is stable with respect to taking coinduction for a fairly large class of coinduced action. More precisely, assume that $Σ<Γ$ are countable groups such that $gΣg^{-1}\cap Σ$ is finite for any $g\inΓ\setminusΣ$. Then any measure preserving action $Σ\curvearrowright X_0$ gives rise to a solidly ergodic equivalence relation if and only if the equivalence relation of the associated coinduced action $Γ\curvearrowright X$ is solidly ergodic. We also obtain orbit equivalence rigidity for such actions by showing that the orbit equivalence relation of a rigid …
McDuff superrigidity for group II$_1$ factors
该研究发现了首个ICC群G，其冯·诺依曼代数为麦迪夫，并揭示了新的超刚性现象，即满足同构的群可分解为原群与可递群的乘积。
W*-superrigidity for group von Neumann algebras of left-right wreath products
证明了对许多非顺从群Γ，包括所有双曲群和所有非平凡自由积，左右圈积群G：=（Z/2 Z）^（Γ）\rtimes（Γ \times Γ）是W*-超刚性的.这意味着群vonNeumann代数LG完全记住G。更精确地说，如果对任意可数群Λ，LG与LΛ同构，则Λ必与G同构。
W*-superrigidity of mixing Gaussian actions of rigid groups
将刚性群的Bernoulli作用的W*-超刚性结果推广到一般的混合高斯作用.因此，我们得到以下结果：若Γ是任意w-刚性ICC群（即它包含具有相对性质（T）的无限正规子群），则Γ的任意混合高斯作用σ是W*-超刚性的。更精确地说，如果ρ是群Λ的另一个自由遍历作用，使得与ρ和σ相关的叉积冯诺依曼代数同构，则Λ和Γ同构，并且作用ρ和σ共轭。我们证明了一个类似的声明时，Γ是一个non-affected ICC产品的两个无限群。
W$^*$-superrigidity for wreath products with groups having positive first $\ell^2$-Betti number
在[BV 12]中，我们证明了对所有双曲群和所有非平凡自由积$Γ$，左右圈积群$G:=(Z/2Z)^{(Γ)} \rtimes (Γ\times Γ)$是W $^*$ -超刚性的.本文将这一结果推广到其它可数群类。更精确地说，我们证明了对于第一个$\ell^2$ -贝蒂数为正的弱顺从群$Γ$，相同的圈积$G$是W $^*$ -超刚性的.
We show that torsion-free finitely generated nilpotent groups are characterised by their group C*-algebras and we additionally recover their nilpotency class as well as the subquotients of the upper central series. We then use a C*-bundle decomposition and apply K-theoretic methods based on noncommutative tori to prove that every torsion-free finitely generated 2-step nilpotent group can be recovered from its group C*-algebra.
W$^*$-superrigidity for property (T) groups with infinite center
本文研究了具有无限中心的property (T)群的W$^*$-superrigidity，通过结合von Neumann代数与几何群论的技术，证明了若干情况下该猜想成立，并首次给出具有无限中心的W$^*$-superrigid property (T)群的例子。
W*-superrigidity for cocycle twisted group von Neumann algebras
本文构造可数群，证明其群 von Neumann 代数即使带任意 2-上循环扭曲，双有限双模意义下的虚拟同构仍强制底层群虚拟同构，并给出不可分解的 II_1 型因子。
W*-superrigidity for groups with infinite center
本文构造了具有无限中心但仍具 W*-超刚性的离散群，其 von Neumann 代数完全决定群结构，方法结合商群与 2-上同调的刚性。
Rigidity for von Neumann algebras of graph product groups II. Superrigidity results
本文证明了花状图积群Γ可从任意无穷顶点群的非平凡图积群生成的冯·诺伊曼代数范畴中被完全识别，获得了更精确的C*-代数版本，并将W*-超刚性结论推广至性质(T) wreath-like product群的直积。
W*-superrigidity for discrete quantum groups
本文研究了离散量子群的W*-超rigidity性质，证明了某些自然的co-induced离散量子群具有此性质，同时指出大多数现有W*-超rigid群不满足量子W*-超rigidity。
Cocycle superrigidity for translation actions of product groups
设$G$是有限或连通的紧群，$Γ, Λ$是有限生成的稠密子群.假设$Γ$在$G$上的左平移作用是强遍历的，证明了$Γ\timesΛ$在$G$上的左-右平移作用的任何上循环都是可数群中的值，并且几乎上同调于群同态.此外，我们还证明了，如果$G$是一个（不一定是紧的）连通单李群，只要$Λ$包含一个具有紧闭包的无限循环子群。我们得到了OE -和W $^*$ -超刚性的几个应用。特别是，我们得到的第一个例子的紧凑行动的$\mathbb F_2\times\mathbb F_2$这是W $^*$ -超刚性。
Cocycle Superrigidity for Profinite Actions of Property (T) Groups
考虑在标准概率空间$X$上的可数性质（T）群$Γ$（更一般地说是允许无限正规子群$Γ_0$的群$Γ$，使得包含$Γ_0\subsetΓ$具有相对性质（T）并且$Γ/Γ_0$是逆生成的）的保profinite作用$Γ\curvearrowright X$（即作用的逆极限$Γ\curvearrowright X_n$，其中$X_n$是有限的）的自由遍历测度。我们证明，如果$w:Γ\times X\to Λ$是一个可测量的上循环值在一个可数的组$Λ$，然后$w$是上同源的一个上循环$w'$的因素，通过地图$Γ\times X\to Γ\times X_n$，一些$n$。作为推论，我们证明了任何轨道等价的$Γ\curvearrowright X$与任何自由遍历措施保持行动$Λ\curvearrowright Y$来自（虚拟）共轭的行动。
Superrigidity for dense subgroups of Lie groups and their actions on homogeneous spaces
本文证明了李群稠密子群在无限测度保持作用下的W*-超刚性，并构造了不能由群本质自由作用实现的可数类型II_1等价关系。
We show that the class $\mathscr{B}$, of discrete groups which satisfy the conclusion of Popa's Cocycle Superrigidity Theorem for Bernoulli actions, is invariant under measure equivalence. We generalize this to the setting of discrete p.m.p. groupoids, and as a consequence we deduce that any nonamenable lattice in a product of two noncompact, locally compact second countable groups, must belong to $\mathscr{B}$. We also introduce a measure-conjugacy invariant called Weak Pinsker entropy and show that, if G is a group in the class $\mathscr{B}$, then Weak Pinsker entropy is an orbit-equivalence…
OE and W* superrigidity results for actions by surface braid groups
我们证明了曲面的映射类群的几个重要正规子群$Γ$满足以下性质：任何自由的、遍历的、概率测度保持作用$Γ\curvearrowright X$是稳定的OE-超刚性的.这些包括大多数表面辫群和大多数Torelli群和Johnson核的中心对称性。此外，我们证明了所有这些群体满足措施等价刚性，我们描述了所有他们的格嵌入。利用这些结果结合文献[CIK 13]中的结果，我们推出几乎任何表面辫群的任何自由的、遍历的、保持概率测度的作用都是稳定的W*-超刚性的，即，它完全可以从它的冯·诺依曼代数中重建出来。
ICC property (T) groups without W$^*$-superrigidity
该研究构造了两个不同构但群冯·诺依曼代数同构的ICC性质(T)群，为ICC性质(T)群的Connes刚性猜想提供了反例，结果借助GPT-5.6 Sol完成。
Cocycle and Orbit Equivalence Superrigidity for Malleable Actions of w-Rigid Groups
证明了：如果可数离散群$Γ$是{ \it w-刚性}，即它包含一个具有相对性质（T）的无穷正规子群$H$（例如$Γ= SL(2,\Bbb Z) \ltimes \Bbb Z^2$，或$Γ= H \times H'$，其中$H$是无限Kazhdan群，$H'$是任意的），并且$\Cal V$是有限冯诺依曼代数的酉群的闭子群（例如，$\Cal V$可计数离散或可分离紧凑），则概率空间$(X,μ)$上$Γ$的保测度作用$Γ\curvearrowright X$的任何$\Cal V$ -值可测上循环是$H$上的弱混合且{ \it s-可延展}（例如伯努利作用$Γ\curvearrowright [0,1]^Γ$）与$Γ$到$\Cal V$的群态射共同源。我们使用的情况下$\Cal V$离散的这个结果证明，如果此外$Γ$没有非平凡的有限正规子群，然后任何轨道之间的等价$Γ\curvearrowright X$和自由遍历措施保持行动的可数组$Λ$是实现了共轭的行动，关于一些组同构$Γ\simeq Λ$。
On the Superrigidity of Malleable Actions with Spectral Gap
本文证明了：若可数群$Γ$包含无穷个交换子群$H, H'\subset Γ$，且$H$不顺从，且$H'$在$Γ$中为“弱正规”，则概率空间上的任何保$Γ$ -作用的测度满足一定的延展性、谱隙和弱混合条件（如Bernoulli $Γ$ -作用）都是上圈超刚性的.如果此外$H'$可以采取非虚拟阿贝尔和$Γ\curvearrowright X$是一个任意的自由遍历作用，而$Λ\curvearrowright Y=\Bbb T^Λ$是一个任意的无限共轭类群的伯努利作用，那么任何同构的相关的II $_1$因素$L^\infty X \rtimes Γ\simeq L^\infty Y \rtimes Λ$来自共轭的行动。
Let $Γ$ be an irreducible lattice in a product of two locally compact groups and assume that $Γ$ is densely embedded in a profinite group $K$. We give necessary conditions which imply that the left translation action $Γ\curvearrowright K$ is "virtually" cocycle superrigid: any cocycle $w:Γ\times K\rightarrowΔ$ with values in a countable group $Δ$ is cohomologous to a cocycle which factors through the map $Γ\times K\rightarrowΓ\times K_0$, for some finite quotient group $K_0$ of $K$. As a corollary, we deduce that any ergodic profinite action of $Γ=\text{SL}_2(\mathbb Z[S^{-1}])$ is virtually c…
Group measure space decomposition of II_1 factors and W*-superrigidity
本文证明了群测度空间II_1的一个由任意自由遍历概率测度保持（p. m. p.）群Γ在一个相当大的族G中的作用，该族G包含Kazhdan群和一个非平凡群的所有自由积，以及在一个顺从子群上的某些合并的自由积.本文证明了：若T_n表示PSL（n，Z）中的上三角形矩阵群，则T_n上PSL（n，Z）与自身的合并自由积的任意自由混合p. m. p.作用是W*-超刚性的，即L^ \infty（X）\rtimes Γ与任意群测度空间因子L^ \infty（Y）\rtimes Λ之间的同构都来自于作用的共轭性.我们还证明了对于族G中的许多群Γ，Γ的Bernoulli作用是W*-超刚性的.
W*-superrigidity for arbitrary actions of central quotients of braid groups
对于任何$n\geqslant 4$，令$\tilde B_n=B_n/Z(B_n)$为辫群$B_n$通过其中心的商。我们证明了任何自由遍历概率测度保持（pmp）作用$\tilde B_n\curvearrowright (X,μ)$是W $^*$ -超刚性的，在以下意义上：如果$L^{\infty}(X)\rtimes\tilde B_n\cong L^{\infty}(Y)\rtimesΛ$，对于任意自由遍历概率测度保持作用$Λ\curvearrowright (Y,ν)$，则作用$\tilde B_n\curvearrowright X,Λ\curvearrowright Y$是稳定（或虚拟）共轭的.此外，我们证明了同样的情况下，如果$\tilde B_n$被替换为一个有限指数子群的直积$\tilde B_{n_1}\times\cdots\times\tilde B_{n_k}$，某些$n_1,\ldots,n_k\geqslant 4$。证明使用\cite{PV11}中自由群交叉积内部的规范化子的二分法，结合\cite{Ki06}中映射类群作用的OE超刚性定理。
Operator-algebraic superrigidity for $SL_n(\mathbb Z),n\geq 3$
对于$n\geq 3,$设$Γ=SL_n(\mathbb Z).$我们在算子代数的背景下证明了以下关于$Γ$的超刚性结果。设$L(Γ)$是由$Γ.$的左正则表示生成的von Neumann代数，$M$是有限因子，$U(M)$是它的酉群.设$π: Γ\to U(M)$是一个群同态，使得$π(Γ)''=M.$则\begin{itemize} \item[(i)] either $M$ is finite dimensional, or \item [(ii)] there exists a subgroup of finite index $Λ$ of $Γ$ such that $π|_Λ$ extends to a homomorphism $U(L(Λ))\to U(M).$ \end{itemize}这个结果是由$Γ.$的全$C^*$ -代数上的迹态的完全描述导出的。作为另一个应用，我们证明了$Γ$的全$C^*$ -代数没有忠实的迹态。
W*-superrigidity for Bernoulli actions of property (T) groups
考虑群测度空间II中由ICC性质（T）群$Γ$（更一般地，包含具有相对性质（T）的无限正规子群的群$Γ$）的Bernoulli作用引起的$_1$因子$M=L^{\infty}(X)\rtimesΓ$，并证明了 *-同态$θ:M\to M\bar{\otimes}M$的一个刚性结果.我们推导出作用量$Γ\curvearrowright X$是W $^*$ --超刚性。这意味着如果$Λ\curvearrowright Y$是{ \bf any other}自由的、遍历的、测度保持作用，使得因子$M=L^{\infty}(X)\rtimesΓ$和$L^{\infty}(Y)\rtimesΛ$同构，则作用$Γ\curvearrowright X$和$Λ\curvearrowright Y$必须共轭。此外，我们表明，如果$p\in M\setminus\{1\}$是一个投影，那么$pMp$不承认一个群测度空间分解，也不承认一个群冯诺依曼代数分解（后者的额外假设下，$Γ$是扭转自由）。我们还证明了刚性结果 *-同态$θ:M\to M$，这一次$Γ$在一个更大的类的群体比上述，现在包括产品的非顺从群体。对于某些群$Γ$，例如$Γ=\Bbb F_2\times\Bbb F_2$，我们推出了对于任何投影$p\in M\setminus\{1\}$，$M$不嵌入$pMp$，并得到了$M$的自同态半群的…
Approximate equivalence of actions
我们考虑了概率空间上可数群的保测度作用的共轭性和轨道等价性的几个较弱的形式，包括超幂作用的等价性和渐近缠绕条件.我们比较它们与其他现有的群作用之间的等价关系，并研究通常类型的刚性问题围绕这些新的概念（超刚性，计算的不变量等）。
Wreath-like products of groups and their von Neumann algebras I: $W^\ast$-superrigidity
本文定义类圈积群，证明一类具有 Kazhdan 性质 (T) 的类圈积可由其群 von Neumann 代数唯一恢复同构类，并给出 $2^{\aleph_0}$ 个此类 $W^*$-超刚性群。
A class of superrigid group von Neumann algebras
我们证明了对于一个相当大的广义圈积群类中的任何群G，相应的von Neumann代数L（G）完全“记忆”群G。更精确地说，如果L（G）同构于任意可数群Λ的von Neumann代数L（Λ），则Λ必同构于G。这是关于群冯诺依曼代数的第一个超刚性结果。
Some unique group-measure space decomposition results
利用von Neumann代数上可闭导子理论的方法，我们证明了一类群CR满足以下性质：给定CR中的任意群G_1，G_2，则X上概率空间G_1 x G_2上的任意自由、遍历、保测度作用都产生一个具有唯一群测度空间Cartan子代数的von Neumann代数.将这个结果与Popa的轨道等价超刚性定理相结合，我们得到了W*-超刚性作用的新例子。
We prove an operator algebraic superrigidity statement for homomorphisms of irreducible lattices, and also their commensurators, in certain higher-rank groups into unitary groups of finite factors. This extends the authors' previous work regarding non-free measure-preserving actions, and also answers a question of Connes for such groups.
We survey some of the progress made recently in the classification of von Neumann algebras arising from countable groups and their measure preserving actions on probability spaces. We emphasize results which provide classes of (W$^*$-superrigid) actions that can be completely recovered from their von Neumann algebras and II$_1$ factors that have a unique Cartan subalgebra. We also present cocycle superrigidity theorems and some of their applications to orbit equivalence. Finally, we discuss several recent rigidity results for von Neumann algebras associated to groups.
On the structural theory of II_1 factors of negatively curved groups, II: Actions by product groups
本文给出了概率空间上乘积群的保测度作用所引起的冯诺依曼代数的一系列结构结果。扩展了前两位作者\cite{CS}使用的方法，我们得到了新的例子，强固体的因素，以及冯诺依曼代数的唯一或没有Cartan子代数。例如，我们表明，每一个II $_1$因子与弱顺从组类$\mathcal S$小泽强固体，\cite{OzSolid}。也有以下产品版本的这一结果：任何最大阿贝尔$\star$ -子代数的任何II $_1$因素与有限产品的弱顺从群体在类$\mathcal S$小泽有一个顺从正规化代数。最后，将其中的一些结果与\cite{IoaCSR}的上循环超刚性结果相结合，得出了$Sp(n, 1)$中格的有限积的紧作用$n \geq2$实际上是$W^*$ -超刚性的结论.
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