关于Gowers和Wolf的一个猜想
On a conjecture of Gowers and Wolf
摘要：
Gowers和Wolf已经证明，给定一组线性型$\{ψ_i\}_{i=1}^t$，每个线性形式将$\mathbb{Z}^D$映射到$\mathbb{Z}$，如果$s$是一个整数，使得函数$ψ_1^{s+1},\ldots, ψ_t^{s+1}$是线性无关的，则形式$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}} \prod_{i=1}^t f(ψ_i(\boldsymbol{x}))$的平均值可以由$f$的Gowers $U^{s+1}$ -范数控制。我们证明（一个更强的版本）这个猜想。
英文摘要：
Gowers and Wolf have conjectured that, given a set of linear forms $\{ψ_i\}_{i=1}^t$ each mapping $\mathbb{Z}^D$ to $\mathbb{Z}$, if $s$ is an integer such that the functions $ψ_1^{s+1},\ldots, ψ_t^{s+1}$ are linearly independent, then averages of the form $\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}} \prod_{i=1}^t f(ψ_i(\boldsymbol{x}))$ may be controlled by the Gowers $U^{s+1}$-norm of $f$. We prove (a stronger version of) this conjecture.
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