The moments of Minkowski question mark function: the dyadic period function
闵可夫斯基问号函数？(x)出现在Farey树中的有理数的真实分布中。我们研究的生成函数的时刻？（x）。看来，生成函数是一个直接的并矢模拟的周期函数的马斯波形，它是定义在切割平面C（0，无穷大）。指数母函数满足以贝塞尔函数为核的积分方程。该积分方程的解导致并矢本征函数的定义，并矢本征函数产生于某个希尔伯特-施密特算子。最后，我们描述了Stern-Brocot树中有理数的p-adic分布。令人惊讶的是，Eisenstein级数G_1（z）在实数和p-adic情况下都存在。
2008-10-13 math.NT
On the derivative of the Minkowski question mark function $?(x)$
设$ x = [0;a_1,a_2,...]$是无理数$x \in [0,1]$到正则连分数的分解。然后对于Minkowski函数$?(x)$的导数，我们证明$?'(x) = +\infty$提供了$ \limsup_{t\to \infty}\frac{a_1+...+a_t}{t} <κ_1 =\frac{2\log λ_1}{\log 2} = 1.388^+$，而$?'(x) = 0$提供了$ \liminf_{t\to \infty}\frac{a_1+...+a_t}{t} >κ_2 = \frac{4L_5-5L_4}{L_5-L_4}= 4.401^+$（这里是$ L_j = \log (\frac{j+\sqrt{j^2+4}}{2}) - j\cdot\frac{\log 2}{2}$）。常量$κ_1,κ_2$是最好的。同时证明了对于所有的$x$，当偏导数以4为界时，$?'(x) = +\infty$成立.
2007-12-17 math.NT
On the derivative of the Minkowski question-mark function
Minkowski问号函数$?(x)$是定义在$[0,1]$区间上的连续严格增函数。众所周知，这个函数的导数，如果存在的话，只能取两个值：$0$和$+\infty$。还已知的是，在点$x=[0;a_1,a_2,\ldots,a_t,\ldots]$处的导数$?'(x)$的值与算术平均值$(a_1+a_2+\ldots+a_t)/t$的极限行为有关。特别是，N。Moshchevitin和A. Dusthova表明，如果$a_1+a_2+\ldots+a_t<κ_1 t$，其中$κ_1 = 2\log\bigl({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\bigr)/\log{2}= 1.3884\ldots$，那么$?'(x)=+\infty$。他们还证明了常数$κ_1$是不可改进的。我们考虑一个对偶问题：如果$?'(x)=0$，那么$a_1+a_2+\ldots+a_t-κ_1 t$的数量可以有多小？我们得到了这个量的不可改进的估计。
2021-07-19 math.NT
Sums with Stern-Brocot sequences and Minkowski question mark function
本文肯定回答了 Moshchevitin 关于 Stern-Brocot 序列余项在 n 趋于无穷时是否趋于 0 的问题，并给出了关于 Minkowski 问号函数逆函数 Fourier-Stieltjes 系数定理的正确证明与扩展结果。
2025-09-17 math.NT
Asymptotic formula for the moments of Minkowski question mark function in the interval [0,1]
本文证明了描述Farey树中有理数分布的Minkowski问号函数的矩的渐近公式。主要思想是证明拉普拉斯方法的某些变化适用于这个问题，因此任务减少到一些技术计算。
2008-11-08 math.CA math.NT
Generating and zeta functions, structure, spectral and analytic properties of the moments of Minkowski question mark function
在本文中，我们感兴趣的时刻Minkowski问号函数？（x）。看来，在某种程度上，结果是类似于与马斯波的形式：周期函数，L系列，分布，光谱特性的对象获得的结果。这些对象可以自然地定义为？(x)也尽管事实上，有各种各样的好结果的性质？(x)这些研究主要是从度量数论、豪斯多夫维数、奇异性和推广的角度出发的。在这项工作中，它表明，各种积分变换的分析和频谱特性？(x)确实揭示了关于问号函数的重要信息。我们证明渐近和结构的时刻，计算某些积分涉及？(x)，定义了相关的zeta函数，生成函数，傅里叶级数，并建立了这些对象之间的内在关系。在文件的最后，它表明，某些对象与？(x)在虚二次无理数和实二次无理数之间架起一座桥梁。
2008-05-27 math.NT
On Minkowski type question mark functions associated with even or odd continued fractions
本文研究了Minkowski的问号函数$?(x)$与具有偶或奇偏导数的连分数的类似物。我们证明了这些函数是具有精确指数的Hölder连续的，并且它们线性化了高斯和法瑞映射的适当版本。
2018-06-06 math.CO math.DS math.NT
K-theory of Minkowski question-mark function
本文证明Minkowski问号函数源于Cuntz-Pimsner代数的K-理论，并借此计算无穷素元处Frobenius自同态的作用，解决了Serre和Deninger提出的局部因子理论问题。
2025-03-31 math.KT math.NT math.OA
On a problem by R. Salem concerning Minkowski's question mark function
Minkowski的问号函数在$[0, 1]$上严格递增，因此定义了$[0, 1]$上的Stieltjes测度。1943年Salem提出的一个问题是确定该测度的傅里叶级数是否衰减为零。这篇文章的目的是要提到，最近的结果由约旦和Sahlsten意味着，傅里叶变换衰减到零的多项式速度。
2015-01-05 math.CA math.DS math.NT
Fourier-Stieltjes coefficients of the Minkowski question mark function
本文研究了Minkowski问号函数的Fourier-Stieltjes系数。1943年，R.塞勒姆问这些系数是否在无穷远处消失。我们提出了一个猜想，它隐含着对Salem问题的肯定回答。此外，我们证明了这些Fourier-Stieltjes系数之间的无限线性恒等式。我们还提供了一种方法来数值计算相关zeta函数的整数的特殊值，具有高精度（超过30位）。
2012-05-03 math.CA math.NT
V Tree -- Continued Fraction Expansion, Stern-Brocot Tree, Minkowski's $?(x)$ Function In Binary: Exponentially Faster
Stern-Brocot树和Minkowki的问号函数$?(x)$（或Conway的盒函数）与从Q开始的数的连分数展开有关，其中部分展开子具有一元编码。我们首先定义二进制编码$C_I, C_{II}$的自然数，适应的高斯-Kuz'min措施的分布部分的乘法器。然后，我们定义的V $_1$树类似于斯特恩-布罗科特树，使用二进制编码$C_I, C_{II}$。我们将看到所有分母为$q$的数都出现在Stern-Brocot树的第一个$3.44\log_2(q)$层中，而不是$1/q$出现在$q$层中。V $_1$树的扩展，V树，恰好覆盖Q中的所有数一次。我们还定义了二进制版本的闵可夫斯基的问号函数，$?_V$，并推测，它没有衍生物在合理的点（为原来的，$?'(x)=0, x\in Q$）。
2020-08-18 math.NT
The Minkowski question mark function: explicit series for the dyadic period function and moments
在此之前，作者介绍了Minkowski问号函数F（x）的几种自然积分变换。它们中的每一个都由一定的正则性条件和函数方程唯一地表征，从而编码关于F（x）的内在信息。其中之一-并矢周期函数G（z）-被定义为斯蒂尔切斯变换。本文引入了一类分布族F_p（x），其中Rep>=1，使得F_1（x）是问号函数，F_2（x）是支撑在x=1上的离散分布.证明了F_p（x）的矩母函数满足三项函数方程。这有一个独立的兴趣，尽管我们主要关心的是它提供的关于F（x）的信息。本文的主要结果是：证明了并矢周期函数是有理系数有理函数的无穷级数之和。
2009-01-17 math.CV math.NT
Fractal analysis for sets of non-differentiability of Minkowski's question mark function
在本文中，我们研究了各种分形几何方面的闵可夫斯基问号功能$Q.$我们表明，单位间隔可以写为工会的三个集$Λ_{0}:=\{x:Q'(x)=0\}$，$Λ_{\infty}:=\{x:Q'(x)=\infty\}$，和$Λ_{\sim}:=\{x:Q'(x)$不存在和$Q'(x)\not=\infty\}.$的主要结果是，Hausdorff维数的这些集是相关的以下方式。$\dim_{H}(ν_{F})<\dim_{H}(Λ_{\sim})= \dim_{H} (Λ_{\infty}) = \dim_{H} (\mathcal{L}(h_{\mathrm{top}}))<\dim_{H}(Λ_{0})=1.$这里，$\mathcal{L}(h_{\mathrm{top}})$是指在Farey映射$F,$的拓扑熵$h_{\mathrm{top}}=\log2$处的Stern-Brocot多重分形分解的水平集，而$\dim_{H}(ν_{F})$表示与$F.$相关的动力系统的最大熵测度的Hausdorff维数。
2007-06-20 math.DS math.NT
Minkowski's Question Mark Measure
Center for Non-linear and Complex Systems（非线性与复杂系统中心）；CNISM unità di Como（科莫 CNISM 单元）；INFN sezione di Milano（米兰 INFN 分部）；Istituto Nazionale di Alta Matematica（高等数学国立研究所）；Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica（数学物理国家小组）
研究闵可夫斯基问号函数对应的奇异连续测度，结合对数势理论和正交多项式分析其正则性及Nevai类性质，并推导正交多项式零点和Christoffel函数的渐进行为。
2016-10-28 cs.NA math.CA math.DS
Multidimensional continued fractions and a Minkowski function
Minkowski问号函数可以刻画为Farey映射与帐篷映射共轭的实单位区间的唯一同胚。我们构造了一个n维模拟的Minkowski函数作为唯一的同胚的n-单纯形共轭的分段分数映射与Monkemeyer连分数算法与适当的帐篷映射。
2007-10-02 math.DS math.NT
The Fourier-Stieltjes transform of Minkowski's ?(x) function and an affirmative answer to Salem's problem
利用与Minkowski问号函数相联系的Kontorovich-Lebedev变换的结构和渐近性质，我们对R. Salem（美国数学学会，53（3），（1943），p.439）是否其傅里叶-斯蒂尔切斯变换在无穷远处消失。本文给出了Salem问题的一个正确的选择和肯定的解，并将其推广到Minkowski问号函数的傅里叶-斯蒂尔切斯变换的任意阶导数上。问题终于解决了。
2011-12-20 math.CA math.CV math.FA
The Minkowski $?(x)$ function, a class of singular measures, quasi-modular and mean-modular forms. I
闵可夫斯基问号函数是一个丰富的对象，可以从动力系统，复动力学，度量数论，多重分形分析，转移算子，积分变换的角度进行探索，并作为一个函数本身通过分析连分数和转换。我们的永久目标，然而，是得到算术解释的时刻？(x)（这是亲戚的马斯波形式的周期）和有关的功能？(x)到特定的模块化对象。在本文中，我们建立这种联系，嵌入？(x)不是进入模世界本身，而是进入一个函数空间，这些函数是推广，我们称之为平均模形式。为此，我们构造了一个广泛的一类措施，并探讨模形式的同余子群，另外满足三项函数方程。从这个角度出发，我们给出了整个模群的模形式，并给出了图的斯蒂尔切斯变换。(x)（并矢周期函数）减去权为2的爱森斯坦级数属于相同的统一定义。主要结果是构造了拟模形式与平均模形式空间之间的标准同构。这给出了意想不到的闵可夫斯基问号函数相关的解释准模形式。
2015-07-02 math.CA math.NT
The Minkowski ?(x) function and Salem's problem
R. Salem（Trans. Amer. Math. Soc. 53（3）（1943）427-439）问是否Minkowski问号函数的傅里叶-斯蒂尔切斯变换？(x)在无穷远处消失在本说明中，我们提出了几种可能的解决方案。例如，我们证明了这种变换满足积分和离散函数方程。因此，我们期待着塞勒姆问题的肯定答案。在本说明的最后，我们表明，最近试图解决这个问题（S。雅库博维奇角R. Acad. Sci. Paris，Ser. I 349（11-12）（2011）633-636）是谬误的。
2012-01-31 math.CA math.NT
On the Minkowski Measure
Minkowski问号函数将实数的连分数表示与它们的二进制展开联系起来。这个函数在很多方面都很特殊;一个是它的导数是“奇异的”。人们可以通过经典技巧证明，它的导数在所有有理数上必为零。由于问号本身是连续的，我们可以得出结论，导数在无理数上必须是非零的，因此是一个处处不连续的函数。这一衍生工具就是本文的主题。各种结果在这里：首先，一个简单的，但正式的测量理论建设的衍生物，使它清楚地表明，它有一个非常具体的存在作为一个勒贝格-斯蒂尔切斯测度，因此是安全的各种熟悉的方式进行操作。接下来，给出了一个精确的结果，将测度表示为分段连续函数的无穷乘积，每一段都是形式为（ax+b）/（cx+d）的莫比乌斯变换。这个结构然后被证明是一个特定的转移算子的Haar测度。给出了一个一般的证明，任何转移算子可以被理解为不超过也不小于一个推进的巴拿赫空间，这样的推进导致一个不变测度，哈尔测度，其中闵可夫斯基测度可以作为一个原型的例子。对它与Gauss-Kuzmin-Wirsing算子的关系作了一些小的说明。
2008-10-08 math.DS math.NT
