Differentiability of the Minkowski question mark function
Anna A. Dushistova, Igor D. Kan, Nikolai G. Moshchevitin
证明了关于Minkowski问号函数导数的新结果。我们的一些定理是不可改进的。
We prove new results on the derivative of the Minkowski question mark function. Some of our theorems are non-improvable.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Fractal analysis for sets of non-differentiability of Minkowski's question mark function
在本文中，我们研究了各种分形几何方面的闵可夫斯基问号功能$Q.$我们表明，单位间隔可以写为工会的三个集$Λ_{0}:=\{x:Q'(x)=0\}$，$Λ_{\infty}:=\{x:Q'(x)=\infty\}$，和$Λ_{\sim}:=\{x:Q'(x)$不存在和$Q'(x)\not=\infty\}.$的主要结果是，Hausdorff维数的这些集是相关的以下方式。$\dim_{H}(ν_{F})<\dim_{H}(Λ_{\sim})= \dim_{H} (Λ_{\infty}) = \dim_{H} (\mathcal{L}(h_{\mathrm{top}}))<\dim_{H}(Λ_{0})=1.$这里，$\mathcal{L}(h_{\mathrm{top}})$是指在Farey映射$F,$的拓扑熵$h_{\mathrm{top}}=\log2$处的Stern-Brocot多重分形分解的水平集，而$\dim_{H}(ν_{F})$表示与$F.$相关的动力系统的最大熵测度的Hausdorff维数。
The Stern Sequence and Moments of Minkowski's Question Mark Function
1：我们使用Stern序列的性质来数值计算与Minkowski问号函数相关的矩$\int^1_0 t^n d?(t)$。
Semi-regular continued fractions and an exact formula for the moments of the Minkowski question mark function
本文继续研究闵可夫斯基问号函数的积分变换。在这项工作中，我们终于建立了长期寻求的公式的时刻，这并不明确涉及正规连分数，虽然它有一个隐藏的好的解释，在半正规连分数。该证明是独立的，不依赖于作者以前的结果。
Derivative of the iterations of Minkowski question mark function in special points
对于闵可夫斯基问号函数$?(x)$，我们考虑函数$f_n(x) = \underbrace{?(?(...?}_\text{n times}(x)))$的导数。除了明显的情况下（有理数为例），它是不平凡的，以找到明确的例子数$x$，其中$f'_n(x)=0$。本文给出了一个无理数集合，使得对于这个集合的每个元素$x_0$和任何$n\in\mathbb{Z}_+$，都有$f'_n(x_0)=0$ .
Generalizing the Minkowski Question Mark Function to a Family of Multidimensional Continued Fractions
将单位区间映射到自身的闵可夫斯基问号函数是一个连续的、严格递增的、一对一的且在几乎处处都有导数为零的函数。这些事实的关键是连分数的基本性质。因此，问号函数是一个自然出现的数论奇异函数。本文将问号函数推广到216个三角形划分（TRIP）图。这些是多维连分数，它们产生几乎所有已知的多维连分数。我们表明，每个TRIP地图，有一个自然的候选人，其类似的闵可夫斯基问号功能。然后，我们表明，模拟是奇异的TRIP映射的96，并显示60多个奇异遍历的假设下。
Diophantine properties of fixed points of Minkowski question mark function
我们考虑Minkowski问号函数$? (x)$的无理不动点，即方程$? (x)=x$的无理解.很容易看出，至少存在两个这样的点。虽然不知道是否存在其他不动点，但我们证明了最小和最大不动点的无理性测度指数等于2。我们给出了关于这些不动点的逼近性质的更精确的结果。此外，在附录中，我们引入了一个条件，由此得出只有两个无理不动点。
The moments of Minkowski question mark function: the dyadic period function
闵可夫斯基问号函数？(x)出现在Farey树中的有理数的真实分布中。我们研究的生成函数的时刻？（x）。看来，生成函数是一个直接的并矢模拟的周期函数的马斯波形，它是定义在切割平面C（0，无穷大）。指数母函数满足以贝塞尔函数为核的积分方程。该积分方程的解导致并矢本征函数的定义，并矢本征函数产生于某个希尔伯特-施密特算子。最后，我们描述了Stern-Brocot树中有理数的p-adic分布。令人惊讶的是，Eisenstein级数G_1（z）在实数和p-adic情况下都存在。
On the derivative of the Minkowski question mark function $?(x)$
设$ x = [0;a_1,a_2,...]$是无理数$x \in [0,1]$到正则连分数的分解。然后对于Minkowski函数$?(x)$的导数，我们证明$?'(x) = +\infty$提供了$ \limsup_{t\to \infty}\frac{a_1+...+a_t}{t} <κ_1 =\frac{2\log λ_1}{\log 2} = 1.388^+$，而$?'(x) = 0$提供了$ \liminf_{t\to \infty}\frac{a_1+...+a_t}{t} >κ_2 = \frac{4L_5-5L_4}{L_5-L_4}= 4.401^+$（这里是$ L_j = \log (\frac{j+\sqrt{j^2+4}}{2}) - j\cdot\frac{\log 2}{2}$）。常量$κ_1,κ_2$是最好的。同时证明了对于所有的$x$，当偏导数以4为界时，$?'(x) = +\infty$成立.
On the derivative of the Minkowski question-mark function
Minkowski问号函数$?(x)$是定义在$[0,1]$区间上的连续严格增函数。众所周知，这个函数的导数，如果存在的话，只能取两个值：$0$和$+\infty$。还已知的是，在点$x=[0;a_1,a_2,\ldots,a_t,\ldots]$处的导数$?'(x)$的值与算术平均值$(a_1+a_2+\ldots+a_t)/t$的极限行为有关。特别是，N。Moshchevitin和A. Dusthova表明，如果$a_1+a_2+\ldots+a_t<κ_1 t$，其中$κ_1 = 2\log\bigl({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\bigr)/\log{2}= 1.3884\ldots$，那么$?'(x)=+\infty$。他们还证明了常数$κ_1$是不可改进的。我们考虑一个对偶问题：如果$?'(x)=0$，那么$a_1+a_2+\ldots+a_t-κ_1 t$的数量可以有多小？我们得到了这个量的不可改进的估计。
Sums with Stern-Brocot sequences and Minkowski question mark function
本文肯定回答了 Moshchevitin 关于 Stern-Brocot 序列余项在 n 趋于无穷时是否趋于 0 的问题，并给出了关于 Minkowski 问号函数逆函数 Fourier-Stieltjes 系数定理的正确证明与扩展结果。
Minkowski's question mark measure is UST--regular
我们证明了最近的猜想，Minkowski的问号措施是正规的，在Ullman-Stahl-Totik的意义。
Generating and zeta functions, structure, spectral and analytic properties of the moments of Minkowski question mark function
在本文中，我们感兴趣的时刻Minkowski问号函数？（x）。看来，在某种程度上，结果是类似于与马斯波的形式：周期函数，L系列，分布，光谱特性的对象获得的结果。这些对象可以自然地定义为？(x)也尽管事实上，有各种各样的好结果的性质？(x)这些研究主要是从度量数论、豪斯多夫维数、奇异性和推广的角度出发的。在这项工作中，它表明，各种积分变换的分析和频谱特性？(x)确实揭示了关于问号函数的重要信息。我们证明渐近和结构的时刻，计算某些积分涉及？(x)，定义了相关的zeta函数，生成函数，傅里叶级数，并建立了这些对象之间的内在关系。在文件的最后，它表明，某些对象与？(x)在虚二次无理数和实二次无理数之间架起一座桥梁。
Asymptotic formula for the moments of Minkowski question mark function in the interval [0,1]
本文证明了描述Farey树中有理数分布的Minkowski问号函数的矩的渐近公式。主要思想是证明拉普拉斯方法的某些变化适用于这个问题，因此任务减少到一些技术计算。
On Minkowski type question mark functions associated with even or odd continued fractions
本文研究了Minkowski的问号函数$?(x)$与具有偶或奇偏导数的连分数的类似物。我们证明了这些函数是具有精确指数的Hölder连续的，并且它们线性化了高斯和法瑞映射的适当版本。
K-theory of Minkowski question-mark function
本文证明Minkowski问号函数源于Cuntz-Pimsner代数的K-理论，并借此计算无穷素元处Frobenius自同态的作用，解决了Serre和Deninger提出的局部因子理论问题。
On a problem by R. Salem concerning Minkowski's question mark function
Minkowski的问号函数在$[0, 1]$上严格递增，因此定义了$[0, 1]$上的Stieltjes测度。1943年Salem提出的一个问题是确定该测度的傅里叶级数是否衰减为零。这篇文章的目的是要提到，最近的结果由约旦和Sahlsten意味着，傅里叶变换衰减到零的多项式速度。
Fourier-Stieltjes coefficients of the Minkowski question mark function
本文研究了Minkowski问号函数的Fourier-Stieltjes系数。1943年，R.塞勒姆问这些系数是否在无穷远处消失。我们提出了一个猜想，它隐含着对Salem问题的肯定回答。此外，我们证明了这些Fourier-Stieltjes系数之间的无限线性恒等式。我们还提供了一种方法来数值计算相关zeta函数的整数的特殊值，具有高精度（超过30位）。
V Tree -- Continued Fraction Expansion, Stern-Brocot Tree, Minkowski's $?(x)$ Function In Binary: Exponentially Faster
Stern-Brocot树和Minkowki的问号函数$?(x)$（或Conway的盒函数）与从Q开始的数的连分数展开有关，其中部分展开子具有一元编码。我们首先定义二进制编码$C_I, C_{II}$的自然数，适应的高斯-Kuz'min措施的分布部分的乘法器。然后，我们定义的V $_1$树类似于斯特恩-布罗科特树，使用二进制编码$C_I, C_{II}$。我们将看到所有分母为$q$的数都出现在Stern-Brocot树的第一个$3.44\log_2(q)$层中，而不是$1/q$出现在$q$层中。V $_1$树的扩展，V树，恰好覆盖Q中的所有数一次。我们还定义了二进制版本的闵可夫斯基的问号函数，$?_V$，并推测，它没有衍生物在合理的点（为原来的，$?'(x)=0, x\in Q$）。
The Minkowski question mark function: explicit series for the dyadic period function and moments
在此之前，作者介绍了Minkowski问号函数F（x）的几种自然积分变换。它们中的每一个都由一定的正则性条件和函数方程唯一地表征，从而编码关于F（x）的内在信息。其中之一-并矢周期函数G（z）-被定义为斯蒂尔切斯变换。本文引入了一类分布族F_p（x），其中Rep>=1，使得F_1（x）是问号函数，F_2（x）是支撑在x=1上的离散分布.证明了F_p（x）的矩母函数满足三项函数方程。这有一个独立的兴趣，尽管我们主要关心的是它提供的关于F（x）的信息。本文的主要结果是：证明了并矢周期函数是有理系数有理函数的无穷级数之和。
Minkowski's Question Mark Measure
研究闵可夫斯基问号函数对应的奇异连续测度，结合对数势理论和正交多项式分析其正则性及Nevai类性质，并推导正交多项式零点和Christoffel函数的渐进行为。
Multidimensional continued fractions and a Minkowski function
Minkowski问号函数可以刻画为Farey映射与帐篷映射共轭的实单位区间的唯一同胚。我们构造了一个n维模拟的Minkowski函数作为唯一的同胚的n-单纯形共轭的分段分数映射与Monkemeyer连分数算法与适当的帐篷映射。
The Fourier-Stieltjes transform of Minkowski's ?(x) function and an affirmative answer to Salem's problem
利用与Minkowski问号函数相联系的Kontorovich-Lebedev变换的结构和渐近性质，我们对R. Salem（美国数学学会，53（3），（1943），p.439）是否其傅里叶-斯蒂尔切斯变换在无穷远处消失。本文给出了Salem问题的一个正确的选择和肯定的解，并将其推广到Minkowski问号函数的傅里叶-斯蒂尔切斯变换的任意阶导数上。问题终于解决了。
The Minkowski $?(x)$ function, a class of singular measures, quasi-modular and mean-modular forms. I
闵可夫斯基问号函数是一个丰富的对象，可以从动力系统，复动力学，度量数论，多重分形分析，转移算子，积分变换的角度进行探索，并作为一个函数本身通过分析连分数和转换。我们的永久目标，然而，是得到算术解释的时刻？(x)（这是亲戚的马斯波形式的周期）和有关的功能？(x)到特定的模块化对象。在本文中，我们建立这种联系，嵌入？(x)不是进入模世界本身，而是进入一个函数空间，这些函数是推广，我们称之为平均模形式。为此，我们构造了一个广泛的一类措施，并探讨模形式的同余子群，另外满足三项函数方程。从这个角度出发，我们给出了整个模群的模形式，并给出了图的斯蒂尔切斯变换。(x)（并矢周期函数）减去权为2的爱森斯坦级数属于相同的统一定义。主要结果是构造了拟模形式与平均模形式空间之间的标准同构。这给出了意想不到的闵可夫斯基问号函数相关的解释准模形式。
The Minkowski ?(x) function and Salem's problem
R. Salem（Trans. Amer. Math. Soc. 53（3）（1943）427-439）问是否Minkowski问号函数的傅里叶-斯蒂尔切斯变换？(x)在无穷远处消失在本说明中，我们提出了几种可能的解决方案。例如，我们证明了这种变换满足积分和离散函数方程。因此，我们期待着塞勒姆问题的肯定答案。在本说明的最后，我们表明，最近试图解决这个问题（S。雅库博维奇角R. Acad. Sci. Paris，Ser. I 349（11-12）（2011）633-636）是谬误的。
On the Minkowski Measure
Minkowski问号函数将实数的连分数表示与它们的二进制展开联系起来。这个函数在很多方面都很特殊;一个是它的导数是“奇异的”。人们可以通过经典技巧证明，它的导数在所有有理数上必为零。由于问号本身是连续的，我们可以得出结论，导数在无理数上必须是非零的，因此是一个处处不连续的函数。这一衍生工具就是本文的主题。各种结果在这里：首先，一个简单的，但正式的测量理论建设的衍生物，使它清楚地表明，它有一个非常具体的存在作为一个勒贝格-斯蒂尔切斯测度，因此是安全的各种熟悉的方式进行操作。接下来，给出了一个精确的结果，将测度表示为分段连续函数的无穷乘积，每一段都是形式为（ax+b）/（cx+d）的莫比乌斯变换。这个结构然后被证明是一个特定的转移算子的Haar测度。给出了一个一般的证明，任何转移算子可以被理解为不超过也不小于一个推进的巴拿赫空间，这样的推进导致一个不变测度，哈尔测度，其中闵可夫斯基测度可以作为一个原型的例子。对它与Gauss-Kuzmin-Wirsing算子的关系作了一些小的说明。
Billiards on pythagorean triples and their Minkowski functions
人们早就知道，原始毕达哥拉斯三元组的集合可以通过某些三元树的下降来枚举。我们统一这些治疗考虑双曲台球桌的庞加莱磁盘模型。我们的表有m>=3个理想顶点，并且受到这样的限制，即表壁中的反射是由三角形群PSU^ \pm_{1,1} \Zbb [i]中的矩阵引起的。由此得到的台球映射\tilde B作用在de Sitter空间x_1 ^2 + x_2 ^2-x_3 ^2 =1上，并且在单位圆上有一个自然因子B，勾股三元组作为不动点的B-原像出现。我们计算了这些映射的不变密度，并证明了拉格朗日定理和伽罗瓦定理：当一个单位模的复数在Q（i）上是二次的（并且通过台球墙与其共轭隔离）时，它精确地具有预周期（纯周期）B轨道。如上所述的每个B是圆的（m-1）对1方向反转的覆叠映射，这是群字符T（z）=z^{-（m-1）}共享的性质。我们证明了存在一个同胚Phi，唯一的直到后复合的元素在一个二面体群，共轭B与T;特别是Phi -其原型是经典的闵可夫斯基问号函数-建立一个双射之间的一组点的程度<=2在Q（i）和扭转子群的圆。我们提供了一个明确的公式Φ，并证明了Φ是奇异的和霍尔德连续的指数log（m-1）除以最大周期平均自由程在相关的台球桌。
Algebraic functions with Fermat property, eigenvalues of transfer operator and Riemann zeros, and other open problems
本文列举了数论、组合学和表示论中的若干未解决的问题：具有Fermat性质的代数函数，配分拆函数的生成函数的幂乘积展开式，转移算子的非平凡Riemann零点与特征值的关系，与范数形式有关的函数方程，几何组合学中的两个问题，几何组合学中的两个问题。Minkowski问号函数的矩问题;表示论中的一个问题; Stern双原子序列的矩插值问题;二元复合函数的算术性质。
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