The maximum of branching Brownian motion in $\mathbb{R}^d$
Yujin H. Kim, Eyal Lubetzky, Ofer Zeitouni
我们表明，在分支布朗运动（BBM）在$\mathbb{R}^d$，$d\geq 2$，规律的$R_t^*$，最大距离的粒子从原点在时间$t$，收敛为$t\to\infty$的规律的一个随机移动的Gumbel随机变量。
We show that in branching Brownian motion (BBM) in $\mathbb{R}^d$, $d\geq 2$, the law of $R_t^*$, the maximum distance of a particle from the origin at time $t$, converges as $t\to\infty$ to the law of a randomly shifted Gumbel random variable.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Branching Brownian Motion with spatially-homogeneous and point-catalytic branching
考虑一个分支布朗运动模型，其中通常的空间均匀分支和催化分支同时存在。我们建立了在一定的时间依赖的区域人口的几乎必然的增长率，并因此最右边的粒子的一阶渐近行为。
Branching Brownian Motion with catalytic branching at the origin
考虑一个分支布朗运动，其中只有当粒子在局部时间尺度上以速率β> 0位于原点时，才发生二分裂.当λ> 0时，我们得到了关于λt以上粒子数在时间t的渐近行为的结果。作为推论，我们建立了最右边粒子的几乎必然渐近速度。我们还证明了这种催化分支布朗运动的一个强大数律。
Small value probabilities of additive and derivative martingales in supercritical branching Brownian motions and super Brownian motions
该研究建立了超临界分支布朗运动和超布朗运动中两类鞅小值概率的渐近结果，推广了相关分支过程的已有结论，且与已有文献结果吻合。
Fluctuations of the rightmost particle in the catalytic branching Brownian motion
本文建立了原点有一个催化点的二元分支布朗运动模型中极端粒子的涨落大小。
A note on the frontier of a branching reflected Brownian motion
本文研究分支反射布朗运动的渐近前沿行为。分支布朗运动和它的反射运动之间的最大位移基本上没有差别。我们提供了两个证明这一事实，一个通过软参数的依赖性的双边极值粒子的分支布朗运动和其他的基础上直接计算罗伯茨。给出了最小位移的渐近性。
Extremal process for irreducible multitype branching Brownian motion
本文首先研究了一类与不可约多型分支布朗运动有关的具有Heaviside型初始条件的F-KPP方程组的解收敛于行波解。然后我们应用这个收敛结果证明了不可约多型分支布朗运动的极值过程弱收敛于一个簇点过程。
A simple backward construction of Branching Brownian motion with large displacement and applications
本文研究了分支布朗运动在极大值异常大的条件下的极值过程。极限点测度构成一个单参数族，是若干分支过程极值过程的装饰点测度，包括变速分支布朗运动和多型分支布朗运动.我们给出了一个新的，替代表示这些点的措施，我们表明，他们形成一个连续的家庭。这也产生了一个简单的概率表达式的常数，出现在大偏差概率有一个大位移。作为应用，我们证明了Bovier和Hartung（2015）关于变速分支布朗运动的结果也描述了分支Ornstein-Uhlenbeck过程的极值点过程.
Limiting distributions for particles near the frontier of spatially inhomogeneous branching Brownian motions
本文的目的是确定分支布朗运动边界附近粒子的极限分布和演化速率。这里分支率由欧几里得空间中具有紧支集的Kato类测度给出。我们的调查集中在二维的情况下。
Refined Large Deviation Principle for Branching Brownian Motion Conditioned to Have a Low Maximum
将分支布朗运动调节为具有低的最大值导致分支机制的抑制。本文考虑一个分支布朗运动，其最大值小于$\sqrt{2}αt$（$α<1$）.在此条件下，我们研究了早/晚的第一分支时间和低/高的第一分支位置的精确影响。我们通过对第一个分支的时间和位置施加额外的约束来做到这一点。我们得到了大偏差估计，以及最佳的第一个分支的时间和位置给定的额外的约束。
Escape probabilities for branching Brownian motion among mild obstacles
我们推导出一个临界分支布朗运动在泊松障碍物中以小速率死亡的猝灭概率的渐近解。结果是制定的解决方案的半线性偏微分方程奇异边界条件。证明依赖于一个淬火均匀化定理的分支布朗运动之间的温和障碍。
The extremal process of branching Brownian motion with absorption
本文研究带吸收的分支布朗运动，证明其极值过程收敛于随机平移的装饰泊松点过程，且最右粒子分布收敛于随机平移的Gumbel随机变量分布。
Branching Brownian motion in a periodic environment and uniqueness of pulsating travelling waves
利用周期环境中的一维分支布朗运动，给出了周期环境中F-KPP方程脉冲行波解的渐近性和唯一性的概率证明.本文是[Ren et al. Branching Brownian motion in a periodic environment and existence of pulsing traveling waves]的续篇，在[Ren et al. Branching Brownian motion in a periodic environment and existence of pulsing traveling waves]中，我们利用周期环境中分支布朗运动的可加鞅和导数鞅的极限，证明了在超临界和临界情况下脉冲行波的存在性。
Limiting distribution of particles near the frontier in the catalytic branching Brownian motion
本文研究了原点有单催化点的分枝布朗运动模型。我们建立了一些精细的结果，以不同的速度行驶的粒子数的渐近行为，并给出了一个明确的表征的空间分布的粒子在临界速度。
Slowdown for time inhomogeneous branching Brownian motion
本文研究具有时变轮廓的一维分支布朗运动的最大位移。对于单调递减的方差，我们表明，从线性位移的校正是不是对数，而是成比例的$T^{1/3}$。我们推测这是可能的最差情况纠正。
Branching brownian motion seen from its left-most particule
本文综述了从分支布朗运动的最左粒子看分支布朗运动的最新进展。我们特别介绍了最近的作品由Arguin-Bovier-Kisher和Aïdekon-Berestycki-Brunet-Shi。这是2013年3月布尔巴基研讨会的法语文本。
An ergodic theorem for the maximum of branching Brownian motion with absorption
本文研究具有吸收的分支布朗运动，证明其最大值的经验分布函数几乎处处收敛于一个随机位移的Gumbel分布。
Maximum of Branching Brownian Motion among mild obstacles
研究了分支率依赖于空间的一维分支布朗运动在时刻$t$的最大粒子高度。分支率在多个$t$阶的间隔（障碍物）中被设置为零。我们得到几乎必然的最大值的第一阶渐近，描述的路径的粒子达到这个高度，并描述其依赖的大小和位置的障碍。
From multitype branching Brownian motions to branching Markov additive processes
本文提出了一种多型分支莱维过程的框架，利用脊分解技术证明了加性鞅的收敛性和旅行波解的存在性，解决了on-off分支布朗运动模型中的若干开放问题。
A Yaglom type asymptotic result for subcritical branching Brownian motion with absorption
我们考虑一个轻微的亚临界分支布朗运动与吸收，其中粒子移动的布朗运动与漂移$-\sqrt{2+2\varepsilon}$，经历并矢裂变率$1$，并杀死当他们到达原点。我们得到了一个Yaglom型渐近结果，表明长期运行的预期数量的粒子条件下生存指数增长为$1/\sqrt{\varepsilon}$的过程接近临界。
Limiting distributions for the maximal displacement of branching Brownian motions
利用薛定谔型算子的主本征值确定了欧几里得空间中分支布朗运动的最大位移的长时间行为和尾概率的精确阶.为了建立我们的结果，我们证明了Feynman-Kac半群的一个尖锐的和局部一致的增长序。
A Gaussian particle distribution for branching Brownian motion with an inhomogeneous branching rate
出于理解经历选择的种群演化的目的，我们考虑了分支布朗运动，其中粒子按照一维布朗运动独立运动，每个粒子可以分裂成两个或死亡，并且出生率和死亡率之间的差是粒子位置的线性函数.我们表明，在一定的假设下，经过足够长的时间，粒子的位置的经验分布近似高斯。这为生物学文献中的结果提供了数学上严格的理由，表明种群中个体的适应度水平随时间的分布像高斯行波一样演变。
Spread rate of branching Brownian motions
在欧几里得空间中，我们发现了具有分支的布朗运动在半径不定常的球外种群的指数增长性。然后我们看到粒子射程的上界由与分支率测度和分支机制相关的薛定谔型算子的主本征值决定。我们假设分支率测度在无穷远处足够小，并且相对于勒贝格测度是奇异的。最后，我们将我们的结果应用到几个具体的模型。
Convergence to the Brownian CRT for critical branching Markov processe
证明有限方差临界分支过程在重标度下族谱树收敛到布朗连续随机树，建立普适标度极限。
Branching capacity and Brownian snake capacity
本文在 $\mathbb R^d$ 中定义布朗蛇容量，并证明重新缩放后的分支容量淡收敛于该布朗蛇容量，证明依赖于击中概率逼近分支容量的精确收敛速率。
On the volume of the shrinking branching Brownian sausage
分支布朗香肠在$\mathbb{R}^d$中由Engländer在[Stoch. Proc.Appl.88（2000）]类似于经典的维纳香肠，作为通过移动具有固定半径的球而挖出的$\mathbb{R}^d$的随机子集，所述球的中心遵循分支布朗运动（BBM）的粒子的轨迹。考虑一个$d$维并矢布朗香肠模型，研究了其指数收缩分支布朗香肠（BBM香肠）的体积的大时间渐近行为。利用BBM的支撑密度和经典Wiener香肠和Brown击中概率的一些著名结果，我们得到了BBM-香肠在所有维度上的收缩体积在时间趋于无穷大时的几乎必然的极限定理.
Limiting Distribution of the Rightmost Particle in Catalytic Branching Brownian Motion
本文研究了具有空间非齐次分支率$βδ_0(\cdot)$的二元分支布朗运动模型，其中$δ_0(\cdot)$是Dirac δ函数，$β$是某个正常数.我们表明，分布的最右边的粒子中心约$\fracβ{2}t$收敛到一个混合的Gumbel分布根据鞅极限。我们的结果是S的一个自然扩张. Lalley和T. Sellke [6]对于催化支化的简并情况。
Critical Branching Brownian Motion with Killing
我们得到了一维临界分支布朗运动在0点被杀死时的击中概率的精确渐近估计，我们还得到了在0点被杀死的粒子数的尾概率的精确渐近公式。在双或无分支的特殊情况下，我们给出了用椭圆函数表示的命中概率和被杀死粒子数分布的精确公式。
Critical branching Brownian motion with absorption: survival probability
我们考虑实直线上的分支布朗运动，其中粒子按照独立的布朗运动，临界漂移为$-\sqrt{2}$。Kesten（1978）指出，几乎可以肯定，这个过程最终会消失。在这里，我们得到的概率上的上限和下界，该进程生存，直到一些大的时间$t$。这些界限改进了Kesten（1978）的结果，并部分证实了Derrida和Simon（2007）的非严格预测。
Diffusion processes on branching Brownian motion
构造了一类关于随机鞅测度极限对称的分支布朗运动粒子上的一维扩散过程.这些测度与分支布朗运动的扩展极值过程相关联，并且在Cantor类集上得到支持.该过程是通过标准一维反射布朗运动在$\mathbb{R}_+$上的时变，根据相应的正连续可加泛函得到的。本文中介绍的过程可以被视为一个类似的刘维布朗运动，这是最近在高斯自由场的背景下构建。
Waiting times for particles in a branching Brownian motion to reach the rightmost position
Lalley和Sellke [13]已经证明，在分支布朗运动中诞生的每个粒子都有一个后代在未来某个时间到达最右边的位置。本文的主要目标是估计渐近s走向无穷大，第一次，每个粒子在时间s有一个后裔到达最右边的位置。
Branching Brownian motion conditioned on small maximum
我们考虑实直线上的标准二元分支布朗运动。已知在时间$t$处存活的所有粒子中的最大位置$M_t$移位$m_t = \sqrt{2} t - \frac{3}{2\sqrt{2}} \log t$，其规律收敛于随机移位的Gumbel变量。Derrida和Shi（2017）证明了$α< 1$的相应下偏差概率$\mathbb{P}(M_t \leq \sqrt{2}αt)$的精确渐近行为。我们验证了他们的猜想，并描述了分支布朗运动的法律条件下有一个小的最大值。
Invariance principle for the maximal position process of branching Brownian motion in random environment
本文研究了随机空间环境中分枝布朗运动的极大位置过程。随机环境由满足一定条件的过程$ξ= \left(ξ(x)\right)_{x\in\mathbb{R}}$给出。我们表明，粒子的最大位置$M_t$活在时间$t$满足淬火强大数律和退火不变原理。
Branching Brownian motion: Almost sure growth along scaled paths
证明了分支布朗运动中粒子数沿选定路径增长的一个结果。工作遵循经典的大偏差结果的方法，其中路径在$C[0,1]$被重新缩放到$C[0,T]$为大$T$。所使用的方法是概率性的，并利用现代脊柱技术。
Branching Brownian motion with "mild" Poissonian obstacles
我们研究了一个空间分枝模型，其中的基本运动是布朗运动，分枝受到一个随机的复制阻塞集的影响，称为“温和”的障碍。我们表明，淬火的本地增长率是由在“自由”区域的分支率。当底层运动是一个任意的扩散过程时，我们得到了一个与泊松强度无关的局部增长二分法。最后，也是最重要的，我们得到了淬火（当$d\le 2$）和退火（任意d）的全局增长率的渐近性（概率），并确定了次指数校正项。
A simple path to asymptotics for the frontier of a branching Brownian motion
给出分支布朗运动中极值粒子位置的两个经典结果的简短证明，一个是中值位置，另一个是几乎必然行为.
Well-posedness of the martingale problem for super-Brownian motion with interactive branching
本文推导了具有交互分支的超布朗运动的鞅问题，利用相应SPDEs系统解的逐路径唯一性证明了解的唯一性，并研究了解的存在性与密度过程的局部Hölder连续性。
An ergodic theorem for the extremal process of branching Brownian motion
在以前的论文中，作者证明了Lalley和Sellke的一个猜想，即分支布朗运动的最大值的经验（时间平均）分布函数几乎必然收敛于Gumbel分布。结果在这里扩展到整个系统的粒子是极端的，即接近最大值。即证明了极值粒子在时间平均下的分布收敛于一个Poisson簇过程。
Particle configurations for branching Brownian motion with an inhomogeneous branching rate
为了研究大种群中个体适应度水平的分布，研究了分支布朗运动的粒子构型，其中每个粒子独立地作为负漂移的布朗运动运动，粒子可以死亡或经历并矢裂变，并且出生率和死亡率之差与粒子的位置成正比.在一定的假设下，我们得到了粒子数在任意给定区间内的概率极限和适应度分布的渐近经验密度的一个显式公式。我们表明，经过足够长的时间，从最低到最高的健身水平的健身分布近似演化为一个行波的轮廓是渐近相关的艾里函数。我们的工作补充了Roberts和Schweinsberg（2021）的结果，给出了更全面的适应度分布。
From $1$ to $6$: a finer analysis of perturbed branching Brownian motion
双速分支布朗运动的最大值阶数的对数修正在接近标准分支布朗运动的斜率$σ_1^2=σ_2^2=1$时不连续变化。在本文中，我们通过选择$σ_1^2=1\pm t^{-α}$和$σ_2^2=1\pm t^{-α}$来更仔细地研究这种转变。我们表明，对数校正的顺序的最大值，现在顺利地插入之间的校正在iid的情况下$\frac{1}{2\sqrt 2}\ln(t),\;\frac{3}{2\sqrt 2}\ln(t)$和$\frac{6}{2\sqrt 2}\ln(t)$时，$0<α<\frac{1}{2}$。这是由于在速度变化时的极值粒子的局部化，这取决于$α$，并且不同于标准分支布朗运动中的极值粒子。我们还建立了在所有情况下的最大值和极值过程的渐近律，这与标准分支布朗运动的渐近律基本一致。
Fine asymptotics for the consistent maximal displacement of branching Brownian motion
众所周知，分支布朗运动中的最大粒子在时间$t$位于$\sqrt2 t - \frac{3}{2\sqrt2}\log t$附近。然后，人们可能会问边界附近粒子的路径：它们能离这条临界曲线多近？对这一问题已经形成了两种不同的方法。我们在每种情况下最知名的界限，揭示新的定性功能，包括显着的差异，这两种方法。
Maximal displacement and population growth for branching Brownian motions
本文研究了欧几里得空间中分支布朗运动的最大位移和相应的布居.我们首先确定它们在生存事件中的生长率。然后，我们建立了灭绝的可能性下的最大位移的上偏差。在非灭绝条件下，进一步讨论了临界阶段上偏差概率的衰减率和种群增长率。
Branching Brownian motion with absorption and the all-time minimum of branching Brownian motion with drift
本文研究了实直线上的一个二进分支布朗运动，它的吸收点为0，漂移点为$μ\in \mathbb{R}$，起始点为$μ\in \mathbb{R}$的单粒子。当$μ$足够大，使得过程有正的生存概率时，我们认为$K(t),$是在0时被$t$吸收的个体数，对于$s\ge 0$，函数$ω_s(x):= \mathbb{E}^x[s^{K(\infty)}].$我们证明了$ω_s<\infty$当且仅当对于某些$s_0>1$为$s\in[0,s_0]$我们研究了这些函数的性质。此外，对于$s=0, ω(x) := ω_0(x) =\mathbb{P}^x(K(\infty)=0)$，是在没有吸收的情况下从0开始漂移的分支布朗运动的所有时间最小值的累积分布函数。我们给出了$ω_s, s\in [0,s_0]$族的三种描述：通过一对函数，作为Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov（KPP）行波方程在半直线上的两个极值解，通过鞅表示和作为显式级数展开.我们还得到了关于$K(\infty)$尾部行为的精确结果。此外，在该制度下，$K(\infty)>0$几乎肯定，我们表明，$u(x,t) := \mathbb{P}^x(K(t)=0)$适当集中收敛到KPP临界行波的整个实数线。
Super-Brownian motion in random environment as a limit point of critical branching random walks in random environment
研究了Birkner等人提出的一维时空随机环境中某个临界分支随机游动极限的存在性及其特征.每个粒子在$\mathbb{Z}$上进行简单随机游动，分支机制依赖于时空位置. Mytnik将这类测度值过程的弱极限点刻画为非平凡鞅问题的一个解，并将其称为随机环境中的超布朗运动.
On the tightness of the maximum of branching Brownian motion in random environment
本文研究一维随机分支环境中分支布朗运动最大值的分布性质，证明其经中位数重中心化后随时间演化是紧的，揭示随机环境会引发比齐次情形更复杂的行为。
Critical branching Brownian motion with absorption: particle configurations
考虑具有吸收的临界分支布朗运动，其中初始在$x > 0$处有一个粒子，粒子按照独立的一维布朗运动，并伴随着$-\sqrt{2}$的临界漂移，当粒子到达零时被吸收.在这里，我们得到的渐近结果的行为的过程之前的消亡时，作为初始粒子的位置$x$趋于无穷大。我们估计在给定时间系统中的粒子数和最右边粒子的位置。我们还获得了在一个典型的时间粒子的配置的渐近结果。
Branching fractional Brownian motion: discrete approximations and maximal displacement
本文构造了Hurst参数为$H\in(1/2,1)$的分支分数布朗运动，通过将离散逼近推广到树索引的幂律Pólya urns，证明了其速度一阶项为$ct^{H+1/2}$，并自然引出具有记忆过程的“分支性质”。
Functional ergodic theorems of site-dependent branching Brownian motions in R
本文研究了R中的点依赖分支布朗运动的泛函遍历极限。结果表明，极限过程是非退化的当且仅当分支律的方差函数是可积的。当函数可积时，虽然极限过程随积分的不同而变化，但它们总是正的、无穷可分的、自相似的，其边缘分布由一类1/2-分数次积分方程决定。作为副产品，积分方程的唯一非负解显式地给出了相应的极限过程的Levy测度。
A Probabilistic Proof for Stable Fluctuations in the Extremal Process of Branching Brownian Motion
本文为分支布朗运动极值过程质量波动出现 Stable-$1$ Law 提供了概率证明，揭示了波动的起源及确定性中心函数的含义。
Branching Brownian motion: Almost sure growth along unscaled paths
我们给出了新的结果的增长的粒子数在一个并矢分支布朗运动遵循一个固定的距离内的路径$f:[0,\infty)\to \mathbb{R}$。我们表明，它是可能的粒子数计数，而无需重新调整的路径。我们的结果表明，沿着某些路径的粒子数可以剧烈振荡。所使用的方法是完全概率性的，利用了由Lyons等人，Kyprianou和Hardy & Harris开发的脊柱技术。
More on the Structure of Extreme Level Sets in Branching Brownian Motion
本文工作是“分支布朗运动的极端水平集的结构“一文的继续，该文作者研究了分支布朗运动的极端水平集的精细结构，即高度在全局极大值有限距离内的粒子集。这是众所周知的，这样的粒子聚集在大的时候，在集群的顺序-一个谱系直径周围的局部最大值，形成一个考克斯过程的限制。我们在这里的主要发现是，极端水平集中的大多数粒子只来自一小部分的集群，这是巨大的。
Branching random walks in random environment and super-Brownian motion in random environment
本文主要研究了M.每个粒子在$\mathbb{Z}$上进行简单的随机游动，分支机制取决于时空位置.随机环境中的测度值过程的弱极限被L. Mytnik此外，我们还证明了在某些初始条件下解的弱唯一性。
Almost sure path localisation for the derivative martingale of branching Brownian motion
本研究针对分支布朗运动导数鞅，建立几乎必然路径局部化结果，明确其极限由与极值粒子距离为s^(1/2)的细管内的粒子决定，刻画了贡献极限的粒子范围。
Branching Brownian motion in a periodic environment and existence of pulsating travelling waves
研究了周期环境中一维分支布朗运动的可加鞅和可导鞅的极限。然后我们证明了相应的F-KPP方程的脉动行波解的存在性在超临界和临界情况下，通过表示的可加性和导数鞅的极限的解决方案的概率。我们还证明了在亚临界情况下不存在脉动行波解。我们的主要工具是测度的样条分解和鞅变换。
Maximal displacement in the $d$-dimensional branching Brownian motion
我们考虑在$\mathbb{R}^d$中演化的分支布朗运动.我们证明了最大位移的渐近行为是由第一弹道顺序，加上对数校正，增加与尺寸$d$。证明是基于简单的几何证据。它导致了下面有趣的副结果：对于任何$d \geq 2$，过程前沿的个体很有可能是近亲，当且仅当他们在地理上很接近。
An ergodic theorem for the frontier of branching Brownian motion
我们证明猜想Lalley和Sellke [安。15（1987）]断言分支布朗运动的最大值的经验（时间平均）分布函数几乎必然收敛于具有随机移位的双指数或Gumbel分布。证明的方法是基于适当的时间尺度的最大位移的去相关。一个关键的输入是粒子路径的局部化接近作者先前建立的最大值[Comm. Pure Appl. Math. 64（2011）]。
Large deviations for level sets of branching Brownian motion and Gaussian free fields
我们研究了分支布朗运动中高位粒子数的偏差概率，证实了Derrida和Shi（2016）的一个猜想。我们还解决了二维离散高斯自由场的相应问题。我们的方法依赖于非齐次Galton-Watson过程的一个初等不等式。
Distribution of particles near the front in supercritical branching Brownian motion with compactly supported branching
研究超临界分支布朗运动中前沿附近粒子分布的长期行为，利用抛物型PDE解的渐进行为证明粒子数收敛性及极限分布依赖域位置。
The almost-sure population growth rate in branching Brownian motion with a quadratic breeding potential
本文考虑$\mathbb{R}$上的分支布朗运动（BBM），其中一个粒子在空间位置$y$上以速率$βy^2$分裂成两个粒子，其中$β>0$为常数.这是BBM的一个临界繁殖率，因为预期的总体规模在有限的时间内爆炸，而总体规模几乎肯定在所有时间都是有限的。我们找到了人口增长率的几乎必然的渐近式。
Yaglom limits of continuous-state branching processes in Brownian random environment
研究布朗随机环境中连续状态分支过程在非灭绝条件下的渐近行为，证明了亚临界情形下Yaglom极限的存在性，并通过Kummer合流超几何函数给出其拉普拉斯变换的显式表示，且该极限严格独立于初始状态。
Quenched law of large numbers for branching Brownian motion in a random medium
我们研究了一个空间分支模型，其中的基本运动是$d$维（$d\ge1$）布朗运动，分支率受一个随机收集的复制抑制集称为温和的障碍。本文的主要结果是所有$d\ge1$的总体的猝灭大数定律。通过给出分支布朗运动速度的上界估计，证明了具有轻度障碍的分支布朗运动的传播速度比普通分支布朗运动的传播速度慢。当底层运动是一个任意的扩散过程时，我们得到了一个与泊松强度无关的猝灭局部增长的二分法。更一般的后代分布（除了在主要定理中考虑的并矢分布）以及超过程的温和障碍模型也进行了讨论。
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