On the endomorphisms and derivations of some Leibniz algebras

半单莱布尼茨代数的局部导子

Local derivations of semisimple Leibniz algebras

本文证明了复半单有限维莱布尼茨代数上的局部导子均为导子，刻画了该类代数的局部导子性质。

Pre-derivations and description of non-strongly nilpotent filiform Leibniz algebras

In this paper we investigate pre-derivations of filiform Leibniz algebras. Recall that the set of filiform Leibniz algebras of fixed dimension can be decomposed into three non-intersected families. We describe the pre-derivation of filiform Leibniz algebras for the first and second families. We found sufficient conditions under which filiform Leibniz algebras are strongly nilpotent. Moreover, for the first and second families, we give the description of characteristically nilpotent algebras which are non-strongly nilpotent.

Lie-central derivations, Lie-centroids and Lie-stem Leibniz algebras

In this paper, we introduce the notion Lie-derivation. This concept generalizes derivations for non-Lie Leibniz algebras. We study these Lie-derivations in the case where their image is contained in the Lie-center, call them Lie-central derivations. We provide a characterization of Lie-stem Leibniz algebras by their Lie-central derivations, and prove several properties of the Lie algebra of Lie-central derivations for Lie-nilpotent Leibniz algebras of class 2. We also introduce ${\sf ID}_*-Lie$-derivations. A ${\sf ID}_*-Lie$-derivation of a Leibniz algebra G is a Lie-derivation of G in which …

可逆Leibniz导子对幂零非结合代数的刻画

A characterization of nilpotent nonassociative algebras by invertible Leibniz-derivations

Moens证明了特征为零的域上的有限维李代数是幂零的当且仅当它有可逆的Leibniz-导子。本文证明了特征零域上有限维Malcev，Jordan，（-1，1）-，拟结合，拟交错，右交错和Malcev-容许非交换Jordan代数的类似结果.此外，我们还刻画了半单Jordan代数、右交错代数和Malcev代数的所有Leibniz导子。

可逆Leibniz导子对幂零李代数的刻画

A characterisation of nilpotent Lie algebras by invertible Leibniz-derivations

Jacobson证明了，如果一个李代数允许一个可逆导子，那么它一定是幂零的。他还怀疑，虽然不正确，相反的可能是正确的：每一个幂零李代数有一个可逆的导子。证明了一个李代数是幂零的当且仅当它允许可逆的Leibniz导子。证明是基本的性质，是基于众所周知的技术。

Leibniz 2-代数的自同构与导子的Wells正合序列

Wells exact sequence for automorphisms and derivations of Leibniz 2-algebras

本文研究Leibniz 2-代数中自同构对与导子对的可诱导性，建立Wells正合序列的类比，并讨论Leibniz代数上交叉模的特殊情形。

几类Leibniz代数的导子

On derivations of some classes of Leibniz algebras

本文描述了复$n$维自然分次丝状Leibniz代数$NGF_1, NGF_2\ \text{and} \ \ NGF_3.$的导子，证明了$NGF_1$和$NGF_2$的导子代数的维数分别等于$n+1$和$n+2,$，而$NGF_3$的导子代数的维数等于$2n-1.$。本文的第二部分讨论了复$n$的导子的描述。维丝状非Lie Leibniz代数，由自然阶化非Lie丝状Leibniz代数得到。众所周知，这个类被分成两个类，分别用$FLb_n$和$SLb_n.$表示。这里我们发现，对于$L\in FLb_n$，我们有$n-1 \leq dim\ Der(L)\leq n+1$，对于来自$SLb_n$的代数$L$，不等式$n-1\leq dim\ Der(L) \leq n+2$成立。

On some properties of $\mathsf{Lie}$-centroids of Leibniz algebras

We study some properties on $\mathsf{Lie}$-centroids related to central $\mathsf{Lie}$-derivations, generalized $\mathsf{Lie}$-derivations and almost inner $\mathsf{Lie}$-derivations. We also determine the $\mathsf{Lie}$-centroid of the tensor product of a commutative associative algebra and a Leibniz algebra.

三维莱布尼茨代数的导子代数：完整描述

Derivation Algebras of Three-Dimensional Leibniz Algebras: A Complete Description

本文完整描述了任意域上三维非李左莱布尼茨代数的导子代数，利用十六类精细化分类，通过直接计算确定导子，并特别处理特征2情形，最终以表格形式给出所有类型的导子代数。

Leibniz algebras with derivations

In this paper, we consider Leibniz algebras with derivations. A pair consisting of a Leibniz algebra and a distinguished derivation is called a LeibDer pair. We define a cohomology theory for LeibDer pair with coefficients in a representation. We study central extensions and abelian extensions of a LeibDer pair. In the next, we generalize the formal deformation theory to LeibDer pairs in which we deform both the Leibniz bracket and the distinguished derivation. It is governed by the cohomology of LeibDer pair with coefficients in itself. Finally, we consider homotopy derivations on sh Leibniz …

单Leibniz代数上的局部和2-局部导子与自同构

Local and 2-local derivations and automorphisms on simple Leibniz algebras

本文研究了复有限维单Leibniz代数的局部导子和2-局部导子及自同构。证明了有限维复单Leibniz代数上的所有局部导子和2-局部导子都是自动导子。我们证明了幂零Leibniz代数作为一个规则，允许局部导子和2-局部导子不是导子。进一步考虑了单Leibniz代数的自同构。证明了复有限维单Leibniz代数上的2-局部自同构是自同构，并证明了幂零Leibniz代数允许非自同构的2-局部自同构.将单Leibniz代数上的局部自同构的一个类似问题归结为单李代数的情形。

几类可解 Leibniz 代数的双导子

Biderivations of some classes of solvable Leibniz algebras

本文研究 null-filiform、filiform 及相应可解 Leibniz 代数的反导子与双导子，刻画其一般形式，并证明相关可解情形的双导子均为内双导子。

半单Leibniz代数及其导子和自同构

Semisimple Leibniz algebras and their derivations and automorphisms

本文研究了有限维复数上的半单Leibniz代数及其导子和自同构。

着色Hom-Akivis代数、着色Hom-Leibniz代数及着色Hom-Leibniz代数上的模

Color Hom-Akivis algebras, Color Hom-Leibniz algebras and Modules over Color Hom-Leibniz algebras

本文引入了色Hom-Akivis代数，证明了任何色非结合Hom-代数结构映射的交换子都能导出一个色Hom-Akivis代数。给出了色Hom-Akivis代数的各种构造。接下来，我们研究灵活的和替代的颜色Hom-Akivis代数。类似于色Hom-Akivis代数，我们引入了非交换色Hom-Leibniz-Poisson代数，并给出了几个构造.同时给出了Hom-dialgebra与Hom-Leibniz-Poisson代数之间的关系，即一个Hom-dialgebra生成一个Hom-Leibniz-Poisson代数.最后证明了用一个色Hom-Leibniz代数自同态扭曲一个色Hom-Leibniz模结构映射，得到另一个色Hom-Leibniz模结构映射。

关于半单Leibniz代数的导子

On derivations of semisimple Leibniz algebras

本文给出了几类Leibniz代数的导子。证明了简单莱布尼兹代数的任何导子都可以写成三个导子的组合。其中两个成分是一个李代数导子，第三个可以明确地描述。然后证明了半单Leibniz代数的一个子类也可以得到类似的刻画。

有限自同态半环中的Jordan导子

Jordan derivations in finite endomorphism semirings

本文的目的是研究有限自同态半环上的若当导子。

长度为（n-1）的n维丝状Leibniz代数及其导子

n-Dimensional filiform Leibniz algebras of length (n-1) and their derivations

本文对具有长度渐变的$n$维丝状Leibniz代数进行了分类.这种代数的导子也被描述。

关于莱布尼茨代数的李全形

On Lie-holomorphs of Leibniz algebras

研究莱布尼茨代数的李全形概念，建立其与双导子莱布尼茨代数联系，证明线性自同态成为李导子的条件，进而对特征不为2的域上低维非李莱布尼茨代数的李全形代数进行分类。

(Bi)Hom-Leibniz algebras

The first aim of this paper is to introduce and study symmetric (Bi)Hom-Leibniz algebras, which are left and right Leibniz algebras. We discuss $α^kβ^l$-generalized derivations, $α^kβ^l$ -quasi-derivations and $α^kβ^l$-quasi-centroid of (Bi)Hom-Leibniz algebras and colour BiHom-Leibniz algebras. The second aim is to define a new type of BiHom-Lie algebras satisfies the following hierarchy \begin{equation*} \displaystyle \{ \text{ BiHom-Lie type $B_1$} \}\supseteq_{β=id} \{ \text{ Hom-Lie} \}\supseteq_{α=id} \{ \text{ Lie} \}. \end{equation*} Moreover, define representations and a cohomology of…

某些有限自同态半环的导子

Derivations in some Finite Endomorphism Semirings

本文的目的是提供有限半环中导子的一些基本结构信息。

Classification, centroids and derivations of two-dimensional Hom-Leibniz algebras

Several recent results concerning Hom-Leibniz algebra are reviewed, the notion of symmetric Hom-Leibniz superalgebra is introduced and some properties are obtained. Classification of 2-dimensional Hom-Leibniz algebras is provided. Centroids and derivations of multiplicative Hom-Leibniz algebras are considered including the detailed study of 2-dimensional Hom-Leibniz algebras.

某些局部化Down-Up代数的代数自同态与导子

Algebra endomorphisms and Derivations of Some Localized Down-Up Algebras

研究了局部化的down-up代数$\A$的代数自同态和导子。首先，我们在一定条件下确定了$\A$在$r$和$s$上的所有代数自同态.证明了如果$r^{m}s^{n}=1$蕴涵$m=n=0$，则$\A$的每个代数自同态都是代数自同构.当$r=s^{-1}=q$不是单位根时，给出了$\A$的代数自同态是代数自同构的一个判别准则.在任何一种情况下，我们都能够确定$\A$的代数自同构群。我们还证明了在任一情况下，下向上代数$A(r+s, -rs)$的每个满射代数自同态都是代数自同构。其次，我们确定了$\A$的所有导子，并计算了它的一次Hochschild上同调群。

低维Leibniz代数的双导子

Biderivations of low-dimensional Leibniz algebras

本文对域上维数不超过3的右Leibniz代数的双导子进行了完整分类，描述了其性质，计算了四维Dieudonné Leibniz代数的双导子，并给出了寻找导子和反导子的矩阵对算法。

完美 Leibniz 代数的刻画

A characterization of perfect Leibniz algebras

本文刻画了完美 Leibniz 代数：它们恰为作为子理想嵌入时必为理想、作为理想嵌入时必为特征理想的代数，并应用于导子代数的包含关系。

一类三维Leibniz代数的自同构群

Automorphism groups of some 3-dimensional Leibniz algebras

本文针对Leibniz代数自同构群结构刻画这一代数理论重要问题，聚焦某类幂零三维Leibniz代数，开展其自同构群的结构描述研究。

具有自然分次丝状诣零根的可解Leibniz代数的分类

Classification of solvable Leibniz algebras with naturally graded filiform nilradical

本文证明了用幂零根的非幂零外导子来描述具有给定幂零根的可解李代数的方法同样适用于Leibniz代数的情形。利用这种方法，我们将自然分次丝状李代数的可解李代数的分类推广到了Leibniz代数的情形。也就是说，给出了诣零根为自然分次丝状Leibniz代数的可解Leibniz代数的分类。

广义度量$n$ -Leibniz代数与度量李代数的广义正交表示

Generalized metric $n$-Leibniz algebras and generalized orthogonal representation of metric Lie algebras

引入了广义度量n-Leibniz代数的概念，证明了广义度量n-Leibniz代数与度量李代数的忠实广义正交表示（称为李三数据）之间存在一一对应关系.我们进一步证明了广义正交导子之间也存在一一对应关系。广义度量n-Leibniz代数和李三数据上的广义正交自同构）。

两步幂零代数的导子

Derivations of two-step nilpotent algebras

本文研究两步幂零代数的导子李代数，得到一类具有平凡中心和内导子阿贝尔理想的李代数，并详尽描述不可分解海森堡莱布尼茨代数复实情形关系，最后证明除三例外，一维交换子理想的复幂零莱布尼茨代数的几乎内导子均为内导子。

Leibniz n-代数的一些根、Frattini和Cartan子代数

Some radicals, Frattini and Cartan Subalgebras of Leibniz n-algebras

在目前的工作中，我们引入的概念，如$k$ -可解性，$s$ -和$K_1$ -幂零性和相应的自由基。我们证明了这些根在Leibniz $n$ -代数的导子下是不变的。研究了Leibniz $n$ -代数的Frattini和Cartan子代数.特别地，我们构造的例子表明，一个经典的结果，李代数的Cartan子代数的共轭，这也保持在莱布尼茨代数和李$n$ -代数，是不正确的莱布尼茨$n$ -代数。

关于相容三元Leibniz代数的一些结果

Some results on compatible ternary Leibniz algebras

本文引入相容三元Leibniz代数与（对偶）Nijenhuis对，研究特定算子在向三元Leibniz代数过渡时的不变性，并给出基于平均算子、模或O-算子的构造方法。

非特征幂零丝状Leibniz代数的分类

The classification of non-characteristically nilpotent filiform Leibniz algebras

本文研究了丝状Leibniz代数的导子。回想一下，固定维数的丝状莱布尼兹代数的集合被分解为三个非线性族。我们得到了第一类丝状Leibniz代数特征幂零的充分条件。此外，对于第一类非特征幂零代数代数，我们利用Catalan数对它们进行了分类。另外，对于其余两类丝状Leibniz代数，我们描述了非特征幂零代数，即，这些丝状Leibniz代数位于那些特征幂零代数的补集中。

关于Hom-Leibniz代数的半直积的泛α-中心扩张

On the univeral α-central extensions of the semi-direct product of Hom-Leibniz algebras

引入了Hom-作用和半直积，建立了Hom-Leibniz代数的分裂扩张与半直积扩张的等价性.研究了（α）-完全Hom-Leibniz代数的泛（α）-中心扩张的函子性质.建立了在什么条件下自同构或导子可以在α-覆盖中提升，并分析了两个α-完全Hom-Leibniz代数的半直积的泛α-中心扩张.

4维幂零复Leibniz代数双导子的计算方法

Computational Methods for Biderivations of 4-dimensional nilpotent complex leibniz algebras

本文针对4维幂零复Leibniz代数，基于现有分类开发算法计算导子、反导子及双导子，并借助Mathematica和Maple软件给出详细示例。

关于相容三元 Leibniz 代数上若干算子的分类

Classification of some operators on compatible ternary Leibniz algebras

本文研究相容三元 Leibniz 代数上的若干算子，建立其基本性质，并给出三元及相容三元 Leibniz 代数的分类，进而描述分类元素上的算子。

从带有自同态算子、微分算子或左平均算子的结合代数构造一些非结合代数

Construction of some non-associative algebras from Associative Algebras with an endomorphism operator, a differential operator or a left averaging operator

本文引入自同态、左平均、微分和Rota-Baxter算子等概念，在特定结合代数上构造这些线性映射，以此诱导出Lie、Pre-Lie等非结合代数结构，并给出了方阵子空间M3(R)上的实例。

双代数中的导出和双导出

Derivations in Dialgebras Derivations and Biderivations in Dialgebras

本文研究了双代数中的双导出概念，通过构造Leibniz代数并进行显式计算，对低维双代数的双导出空间进行了完整分类，并揭示了结构模式。

关于Leibniz代数的非交换扩张

On non-abelian extensions of Leibniz algebras

本文首先利用第二非交换上同调对Leibniz代数的非交换扩张进行了分类。利用Leibniz代数的导子构造了Leibniz 2-代数，并证明了在中心的条件下，Leibniz代数的非交换扩张可以用Leibniz 2-代数态射来描述.最后，我们给出了微分分次李代数的非交换扩张的Maurer-Cartan元刻画。

Hom-Leibniz和$n$元Hom-Nambu-李超代数的上同调

Cohomology of Hom-Leibniz and $n$-ary Hom-Nambu-Lie superalgebras

本文主要研究Hom-Leibniz超代数的上同调。构造了Hom型的$q$ -变形Heisenberg-Virasoro超代数，并给出了其导子和二阶上同调群的计算.此外，我们从Hom-Leibniz代数的上同调出发，将Takhtajan构造的$n$元Hom-Nambu-李代数的上同调推广到分次情形.

非幂零李代数与一维导出子代数

Non-nilpotent Leibniz algebras with one-dimensional derived subalgebra

本文研究了非幂零非李李代数的一维导出子代数，证明其可分解为二维非幂零非李代数与阿贝尔代数的直和，并扩展了[11]的结果，同时研究了导出代数的李代数、自同构群及双导出代数。

Leibniz 共形代数的非交换扩张与 Wells 映射

The non-abelian extension and Wells map of Leibniz conformal algebra

本文研究了 Leibniz 共形代数的非交换扩张理论，通过非交换 2 阶上同调进行分类，并利用微分分次李代数的 Maurer-Cartan 元素给出双射刻画，最后探讨了自同构诱导性与导子可扩张性问题。

代数结构的仿射化：Leibniz代数

Affinization of algebraic structures: Leibniz algebras

本文以Leibniz代数为例说明线性代数结构的仿射化过程，定义了仿射Leibniz括号与Leibniz affgebra，证明任意Leibniz代数可扩展为一族Leibniz affgebra，并分类介绍导数型、齐次型和Lie型。

Generalized derivations and generalized exponential monomials on hypergroups

In one of our former papers {\it Endomorphisms of the measure algebra of commutative hypergroups arXiv:2204.07499 we considered exponential monomials on hypergroups and higher order derivations of the corresponding measure algebra. Continuing with this, we are now looking for the connection between the generalized exponential polynomials of a commutative hypergroup and the higher order derivations of the corresponding measure algebra.

Hasse-Schmidt导子与非交换对称函数的霍普夫代数

Hasse-Schmidt derivations and the Hopf algebra of noncommutative symmetric functions

设A是一个结合代数（或任何其他类型的代数）。A上的导子是A的基础阿贝尔群的自同态\del，使得对于所有a，b，\in A，\del（ab）=a（\del b）+（\del a）b（1.1）Hasse-Schmidt导子是序列（d_0= id，d_1，d_2，..，d_n，.）对于所有n个\ge 1 d_n（ab）= \sum_{i=0}^n（d_ia）（d_{n-i} b）（1.2）注意d_1是由（1.1）定义的导子。在哈塞-施密特导子中出现的单个d_n有时也称为高阶导子。一个重要的问题是，哈塞-施密特导子是否可以用普通导子中的多项式来表示。例如，与巴拿赫代数上的Hasse-Schmidt导子的自动连续性有关。例如，Heerema和Mirzavaziri在[5]和[6]中写下了这样的公式。它们也将在下面明确给出。这篇短文的目的是说明这样的公式直接从关于非交换对称函数的霍普夫代数NSymm的一些简单结果中得出。事实上，这霍普夫代数构成了一个普遍的例子有关的问题。

半单莱布尼茨代数 I

Semi-simple Leibniz algebras I

本文利用半-半直积研究特征零域上有限维半单莱布尼茨代数的结构，建立单纯性判据，并将其分类归结为半单李代数及其不可约模的分类，同时推广了导子代数的相关结果。

由可逆导子扭曲的李代数

Twisted Lie algebras by invertible derivations

本文提出InvDer algebra代数结构，通过可逆导子扭曲代数，定义了多种相关代数，并利用Rota-Baxter算子和自同态算子研究其结构间的关系。

Pre-Lie algebras, their multiplicative lattice, and idempotent endomorphisms

We introduce the notions of pre-morphism and pre-derivation for arbitrary non-associative algebras over a commutative ring $k$ with identity. These notions are applied to the study of pre-Lie $k$-algebras and, more generally, Lie-admissible $k$-algebras. Associating with any algebra $(A,\cdot)$ its sub-adjacent anticommutative algebra $(A,[-,-])$ is a functor from the category of $k$-algebras with pre-morphisms to the category of anticommutative $k$-algebras. We describe the commutator of two ideals of a pre-Lie algebra, showing that the condition (Huq=Smith) holds for pre-Lie algebras. This a…

“扭”李代数的形式形变与扩张

Formal deformations and extensions of `twisted' Lie algebras

本研究受Yau扭与莱布尼茨法则启发，研究可逆导子作用下扭李代数（InvDer Lie）的形式形变，定义其表示、阐明1阶与2阶上同调结构，还探究了其中心扩张与上同调理论的关联。

原斜纹莱布尼茨代数中的形变映射

Deformation maps in proto-twilled Leibniz algebras

该研究在原斜纹莱布尼茨代数中引入形变映射以统一研究莱布尼茨代数上各类算子的上同调，构造了对应弯曲$L_\infty$-代数并给出相关算子的Maurer-Cartan刻画，还构建了控制算子及代数与算子同时形变的两个主控$L_\infty$-代数。

对称序下包络代数的Leibniz定则

Leibniz rules for enveloping algebras in symmetric ordering

给定一个有限维李代数，并在其对偶的完备对称代数上用导子表示，就会出现许多有趣的扭曲构造：某些扭曲Weyl代数、变形莱布尼茨规则、量子化的"星“积。我们首先阐明了一些这些结构之间的相互关系，然后着手研究在某种精确意义上对应的对称或Weyl顺序的特殊情况。这种情况已经知道较早的计算与豪斯多夫系列，例如表达式的明星产品是在这样的条款。对于变形的莱布尼茨规则，因此，一个余产品，我们在这里提出了一个新的非对称表达式，然后扩展到一类平面树标记的表达式的总和，并为一个给定的树评价费曼规则。这些表达式被过滤的一个二度，我们显示递推公式的总和的一个给定的二度的表达式，并比较递归的Hausdorff系列，包括初始条件的比较。这样我们就得到了Hausdorff级数与扭曲余积表达式之间的直接对应。

Naturality and innerness for morphisms of compact groups and (restricted) Lie algebras

An extended derivation (endomorphism) of a (restricted) Lie algebra $L$ is an assignment of a derivation (respectively) of $L'$ for any (restricted) Lie morphism $f:L\to L'$, functorial in $f$ in the obvious sense. We show that (a) the only extended endomorphisms of a restricted Lie algebra are the two obvious ones, assigning either the identity or the zero map of $L'$ to every $f$; and (b) if $L$ is a Lie algebra in characteristic zero or a restricted Lie algebra in positive characteristic, then $L$ is in canonical bijection with its space of extended derivations (so the latter are all, in a …

半素环上Ore扩张的Goldie条件

Goldie conditions for Ore extensions over semiprime rings

设$R$是环，$σ$是$R$的内射自同态，$δ$是$R$的$σ$ -导子.我们证明，如果$R$是半素左戈尔迪然后同样适用于Ore扩展$R[x;σ,δ]$和两个环有相同的左一致维数。

相容LieDer对与AssDer对的Maurer-Cartan刻画与上同调

Maurer-Cartan characterization and cohomology of compatible LieDer and AssDer pairs

本文研究相容AssDer对、相容LieDer对及其上同调，还探讨带导子的相容dendriform代数等其他相容结构，借助Rota-Baxter算子等工具刻画了这些相容结构间的关联。

Central extensions, derivations, and automorphisms of semi-direct sums of the Witt algebra with its intermediate series modules

Lie algebras formed via semi-direct sums of the Witt algebra $\text{Der}(\mathbb{C}[t,t^{-1}])$ and its modules have become increasingly prominent in both physics and mathematics in recent years. In this paper, we complete the study of (Leibniz) central extensions, derivations and automorphisms of the Lie algebras formed from the semi-direct sum of the Witt algebra and its indecomposable intermediate series modules (that is, graded modules with one-dimensional graded components). Our techniques exploit the internal grading of the Witt algebra, which can be applied to a wider class of graded Li…

一个内自同构仅仅是一个内自同构，但是一个内自同态可以是一些奇怪的东西

An inner automorphism is only an inner automorphism, but an inner endomorphism can be something strange

群G的内自同构可以在不涉及群元素的群范畴内刻画：它们正是G的那些自同构，它们可以以函子的方式推广到所有具有同态G --> H的群H。与G自身的内自同构群不同，这种扩张的自同构系群总是同构于G。一个类似的特征也适用于域K上的结合代数R的内自同构;这里自同构的函子系群同构于R的单位群模K的单位。如果在这些考虑中用“自同态”代替“自同构”，那么在群的情况下，唯一的额外例子是平凡自同态;但是在K-代数的情况下，一个环理论家不熟悉但泛函分析家熟悉的结构也出现了。系统的自同态具有相同的函性质检查在其他一些类别;其他使用的短语“内自同态”在文献中，一些重叠的介绍，注意到;的概念内{ \em导子}的结合或李代数是看从同一个角度来看，和对偶概念的“co-inner”自同态进行了简要的检查。提出了几个问题。