In this article, we consider colorable variations of the Unit Disk Cover ({\it UDC}) problem as follows.
{\it $k$-Colorable Discrete Unit Disk Cover ({\it $k$-CDUDC})}: Given a set $P$ of $n$ points, and a set $D$ of $m$ unit disks (of radius=1), both lying in the plane, and a parameter $k$, the objective is to compute a set $D'\subseteq D$ such that every point in $P$ is covered by at least one disk in $D'$ and there exists a function $χ:D'\rightarrow C$ that assigns colors to disks in $D'$ such that for any $d$ and $d'$ in $D'$ if $d\cap d'\neq\emptyset$, then $χ(d)\neqχ(d')$, where $C$ denotes a set containing $k$ distinct colors.
For the {\it $k$-CDUDC} problem, our proposed algorithms approximate the number of colors used in the coloring if there exists a $k$-colorable cover. We first propose a 4-approximation algorithm in $O(m^{7k}n\log k)$ time for this problem and then show that the running time can be improved by a multiplicative factor of $m^k$, where a positive integer $k$ denotes the cardinality of a color-set. The previous best known result for the problem when $k=3$ is due to the recent work of Biedl et al., (2021), who proposed a 2-approximation algorithm in $O(m^{25}n)$ time. For $k=3$, our algorithm runs in $O(m^{18}n)$ time, faster than the previous best algorithm, but gives a 4-approximate result. We then generalize our approach to exhibit a $O((1+\lceil\frac{2}τ\rceil)^2)$-approximation algorithm in $O(m^{(\lfloor\frac{4π+8τ+τ^2}{\sqrt{12}}\rfloor)k}n\log k)$ time for a given $1 \leq τ\leq 2$. We also extend our algorithm to solve the {\it $k$-Colorable Line Segment Disk Cover ({\it $k$-CLSDC})} and {\it $k$-Colorable Rectangular Region Cover ({\it $k$-CRRC})} problems, in which instead of the set $P$ of $n$ points, we are given a set $S$ of $n$ line segments, and a rectangular region $\cal R$, respectively.
Minimum Ply Covering of Points with Disks and Squares
继Erlebach和van Leeuwen在SODA 2008中的开创性工作之后，我们引入了最小层覆盖问题。给定一组点$P$和一组几何对象$S$，都在平面上，我们的目标是找到$S$的一个子集$S'$，它覆盖$P$的所有点，同时最小化覆盖平面上任何点（不仅是$P$的点）的对象的最大数量。对于单位正方形和单位圆盘的物体，这个问题是NP难的，不能用小于2的比率来近似。我们提出了2-近似算法，这个问题的单位广场和单位磁盘。我们的算法运行在多项式时间时，最佳的目标值是由一个常数的限制。受无线网络中的信道分配的启发，我们考虑问题的一个变体，其中所选择的单位圆盘必须是3-可着色的，即，用三种颜色着色，使得所有相同颜色的圆盘成对不相交。我们提出了一个多项式时间算法，实现了2-近似的解决方案，即，这是一个六色的解决方案。我们还研究了加权版本的问题，在一维，其中$P$和$S$是点和加权区间上的线，分别。我们提出了一种算法，解决了这个问题，在$O(n + m + M )$时间，其中$n$是点的数量，$m$是间隔的数量，和$M$是重叠的间隔对的数量。这修复了Nandy，Pandit和Roy在CCCG 2017中提出的解决方案。
研究了$I\!\!R^2$中平行轴单位正方形线段覆盖问题的几种变形。给出了$n$线段的集合$S$。目标是找到覆盖每个线段至少一个端点的平行轴单位正方形的最小数量。变化取决于输入段的方向和长度。我们证明了其中一些问题是NP完全的，并给出了这些问题的常数因子近似算法。对于某些变体，我们有多项式时间精确算法。对于一般形式的问题，其中线段是任意长度和方向的，正方形是给定的输入，我们提出了一个基于多层线性规划松弛技术的因子16近似结果，这可能对解决其他问题有用.此外，我们证明了我们的问题与Arkin等人2015年研究的无冲突覆盖问题有关。我们的NP完全性结果比Arkin et al. 2015的结果更适用于简化类型的对象。
