研究了$I\!\!R^2$中平行轴单位正方形线段覆盖问题的几种变形。给出了$n$线段的集合$S$。目标是找到覆盖每个线段至少一个端点的平行轴单位正方形的最小数量。变化取决于输入段的方向和长度。我们证明了其中一些问题是NP完全的，并给出了这些问题的常数因子近似算法。对于某些变体，我们有多项式时间精确算法。对于一般形式的问题，其中线段是任意长度和方向的，正方形是给定的输入，我们提出了一个基于多层线性规划松弛技术的因子16近似结果，这可能对解决其他问题有用.此外，我们证明了我们的问题与Arkin等人2015年研究的无冲突覆盖问题有关。我们的NP完全性结果比Arkin et al. 2015的结果更适用于简化类型的对象。
英文摘要：
We study several variations of line segment covering problem with axis-parallel unit squares in $I\!\!R^2$. A set $S$ of $n$ line segments is given. The objective is to find the minimum number of axis-parallel unit squares which cover at least one end-point of each segment. The variations depend on the orientation and length of the input segments. We prove some of these problems to be NP-complete, and give constant factor approximation algorithms for those problems. For some variations, we have polynomial time exact algorithms. For the general version of the problem, where the segments are of arbitrary length and orientation, and the squares are given as input, we propose a factor 16 approximation result based on multilevel linear programming relaxation technique, which may be useful for solving some other problems. Further, we show that our problems have connections with the problems studied by Arkin et al. 2015 on conflict-free covering problem. Our NP-completeness results hold for more simplified types of objects than those of Arkin et al. 2015.
Endpoint Covering of Axis-Parallel Segments:Bichromatic and Monochromatic One-Center
National Institute of Technology Durgapur（印度德里格拉普尔国家技术学院）；Indian Institute of Technology Palakkad（印度帕拉卡德印度理工学院）；Dhirubhai Ambani University, Gandhinagar, Gujarat, India（印度古吉拉特邦甘地纳加尔迪鲁巴伊·安巴尼大学）
Corrigendum to: "Linear time algorithm to cover and hit a set of line segments optimally by two axis-parallel squares", Theoretical Computer Science 769 (2019) 63--74
在论文“Linear time algorithm to cover and hit a set of line segments optimally by two axis-parallel squares”，TCS Volume 769（2019），pages 63- 74中，LHIT问题被提出如下：对于$I\!\!R^2$中给定的一组不相交线段${\cal L} = \{\ell_1, \ell_2, \ldots, \ell_n\}$，计算两个轴平行全等正方形${\cal S}_1$和${\cal S}_2$的最小尺寸，其并集命中$\cal L$中的所有线段，并提出了一种线性时间算法。后来发现算法有一个bug。在本勘误表中，我们更正了算法。修正算法的时间复杂度为$O(n^2)$。
Minimum Ply Covering of Points with Disks and Squares
继Erlebach和van Leeuwen在SODA 2008中的开创性工作之后，我们引入了最小层覆盖问题。给定一组点$P$和一组几何对象$S$，都在平面上，我们的目标是找到$S$的一个子集$S'$，它覆盖$P$的所有点，同时最小化覆盖平面上任何点（不仅是$P$的点）的对象的最大数量。对于单位正方形和单位圆盘的物体，这个问题是NP难的，不能用小于2的比率来近似。我们提出了2-近似算法，这个问题的单位广场和单位磁盘。我们的算法运行在多项式时间时，最佳的目标值是由一个常数的限制。受无线网络中的信道分配的启发，我们考虑问题的一个变体，其中所选择的单位圆盘必须是3-可着色的，即，用三种颜色着色，使得所有相同颜色的圆盘成对不相交。我们提出了一个多项式时间算法，实现了2-近似的解决方案，即，这是一个六色的解决方案。我们还研究了加权版本的问题，在一维，其中$P$和$S$是点和加权区间上的线，分别。我们提出了一种算法，解决了这个问题，在$O(n + m + M )$时间，其中$n$是点的数量，$m$是间隔的数量，和$M$是重叠的间隔对的数量。这修复了Nandy，Pandit和Roy在CCCG 2017中提出的解决方案。
Faster Approximate Covering of Subcurves under the Fréchet Distance
子轨迹聚类是轨迹聚类问题的一个重要变体，其中所收集的轨迹数据内的轨迹模式的起点和终点事先是未知的。我们研究这个问题的形式为一个给定的多边形曲线的集合覆盖问题：找到最小数量的代表曲线$k$，使输入曲线上的任何一点都包含在一个子曲线，具有弗雷歇距离最多给定的$Δ$的代表曲线。我们专注于代表性曲线是线段的情况下，并从几何集合覆盖领域的经典技术来处理这个NP难问题：我们使用了一个变体的乘法权重更新方法，该方法首先由Brönniman和Goodrich提出，用于具有小VC维的集合覆盖实例。我们得到一个双准则近似算法，计算一组$O(k\log(k))$线段，覆盖给定的多边形曲线的$n$顶点下弗雷歇距离最多$O(Δ)$。我们表明，该算法运行在$\widetilde{O}(k^2 n + k n^3)$时间的期望和使用$ \widetilde{O}(k n + n^3)$空间。对于$c$封装的二维输入曲线，我们通过$\widetilde{O}(k^2 c^2 n)$约束预期运行时间，通过$ \widetilde{O}(kn + c^2 n)$约束空间。在$\mathbb{R}^d$中，对$n$的依赖性是二次的。此外，我们提出了一个变种的算法，使用隐式的权重更新的候选集，从而实现近线性的运行时间在$n$没有任何假设的输入曲线，同时保持相同的近似边界。这是以牺牲对相对弧长的小（多对数）依赖性为代价的。
