首页/论文/1801.08405

arXiv 1801.084052018-01-20cs.CG

封闭单位曲线的较小覆盖

A smaller cover for closed unit curves

Wacharin Wichiramala

备注：: In the appendix, the computer code for numerical optimization is provided together with explanation. The link to the actual file, a Mathematica notebook, is at www.math.sc.chula.ac.th/~wacharin/optimization/closed%20arcs

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

40年前Schaer和Wetzel表明，一个$\frac{1}π\times\frac {1}{2π}\sqrt{π^{2}-4}$矩形，其面积约为$0.122\,74,$是最小的矩形，是一个覆盖家庭的所有封闭单位弧。最近Füredi和Wetzel表明，这个矩形的一个角可以被裁剪，形成一个五边形覆盖面积为$0.11224$的这一系列曲线。在这里，我们表明，然后对角可以被裁剪，以形成一个六边形覆盖面积小于$0.11023$为这个相同的家庭。这个不规则六边形是目前已知的这个弧族的最小覆盖。

英文摘要：

Forty years ago Schaer and Wetzel showed that a $\frac{1}π\times\frac {1}{2π}\sqrt{π^{2}-4}$ rectangle, whose area is about $0.122\,74,$ is the smallest rectangle that is a cover for the family of all closed unit arcs. More recently Füredi and Wetzel showed that one corner of this rectangle can be clipped to form a pentagonal cover having area $0.11224$ for this family of curves. Here we show that then the opposite corner can be clipped to form a hexagonal cover of area less than $0.11023$ for this same family. This irregular hexagon is the smallest cover currently known for this family of arcs.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

单位面积和单位正方形上的唯一集覆盖

Unique Set Cover on Unit Disks and Unit Squares

研究了单位圆盘和单位正方形上的唯一集合覆盖问题。对于给定的$n$点的集合$P$和$m$几何对象的集合$D$，唯一集合覆盖问题的目标是选择对象的子集$D'\subseteq D$，使得$P$中的每个点被$D'$中的至少一个对象覆盖，并且唯一覆盖的点的数量被最大化，其中，如果点被$D'$中的恰好一个对象覆盖，则该点被唯一地覆盖。本文证明了单位圆盘和单位正方形上的唯一集合覆盖都是NP-难的，并利用Chan和Hu（Comput. 48（5），2015）。

2016-07-25cs.CG

单位平方点的最小层覆盖

Minimum Ply Covering of Points with Unit Squares

给定欧几里得平面中的点的集合$P$和轴平行单位正方形的集合$U$，$P$与$U$的最小层覆盖是$U$的子集，其覆盖$P$并且最小化共享公共交叉的正方形的数目，称为$P$与$U$的最小层覆盖数目。Biedl等人[Comput. Geom.，94：101712，2020]表明，通过一组轴平行单位正方形确定一组点的最小铺层覆盖数是NP难的，并且对于最小铺层覆盖数为常数的情况给出了多项式时间2-近似算法。当最小铺层覆盖数为$ω(1)$时，是否存在多项式时间近似算法的问题仍然没有解决。我们解决了这个问题，并提出了一个多项式时间的$(8+\varepsilon)$ -近似算法的一般问题，对于每个固定的$\varepsilon>0$。

2022-08-12cs.CG

覆盖海量点集的单位圆盘覆盖算法实验

Experiments with Unit Disk Cover Algorithms for Covering Massive Pointsets

给定平面上的一组$n$点，单位圆盘覆盖（UDC）问题要求计算覆盖这些点所需的最小单位圆盘数以及圆盘的放置。该问题是NP-难的，在过去的三十年中已经设计了几种近似算法。在本文中，我们已经设计和实验比较了这些算法在大量点集上的实际性能。我们的目标是调查哪些算法运行速度快，并在实践中给出良好的近似。我们提出了一个简单的$7$近似算法的UDC，运行在$O(n)$预期的时间，并使用$O(s)$额外的空间，其中$s$表示的大小生成的封面。在我们的实验中，它被证明是最快的。我们还提出了两种方法来减少它生成的封面的大小，而不会减慢它。据我们所知，这是第一个工作，实验比较几何覆盖算法。使用大规模点集（数百万）进行的实验揭示了它们的实际用途。我们通过GitHub -https://github.com/ghoshanirban/UnitDiskCoverAlgorithms分享工程算法，以便在几何优化领域进行更广泛的使用和未来的研究。

2022-05-03cs.CG

加权单位圆盘覆盖问题的一个PTAS

A PTAS for the Weighted Unit Disk Cover Problem

给出了欧氏平面上的一组加权单位圆和一组点。最小重量单位磁盘覆盖（\UDC）问题要求覆盖所有给定点的最小总重量的磁盘子集。\UDC \是几何集合覆盖问题中的一个，在过去的二十年里（对于许多不同的几何值域空间，如（单位）圆盘，半空间，矩形，三角形）得到了广泛的研究。已知未加权的\UDC \问题是NP-困难的，并且允许一个多项式时间近似方案（PTAS）.对于加权的\UDC \问题，已经开发了几个常数近似。然而，这个问题是否承认PTAS一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们肯定地回答这个问题，提出了第一个PTAS的\UDC。我们的结果暗示了单位圆盘图中最小权支配集问题的第一个PTAS。结合已有的思想，我们的结果还可以用于获得单位圆盘图中最大生存覆盖问题的第一个PTAS和连通支配集问题的改进的常数逼近比.

2016-01-12cs.CG

最小单位圆盘覆盖问题的快速25/6-近似

A fast 25/6-approximation for the minimum unit disk cover problem

给定一个二维点集P，寻找覆盖所有P的最小单位圆盘集的问题是NP-困难的。我们提出了一个简单的算法，这个问题的近似因子为25/6的欧氏范数和2的最大范数，通过限制磁盘中心位于平行线上。该算法的运行时间和空间分别为O（nlog n）和O（n）。该算法扩展到任何Lp范数，并且对于相同的近似因子，比已知的替代近似算法渐近快。

2014-06-15cs.CG

单元磁盘盖问题

Unit Disk Cover Problem

给定欧氏平面上单位圆盘的集合${\cal D}$，我们考虑（i）{ \it离散单位圆盘覆盖}（DUDC）问题和（ii）{ \it矩形区域覆盖}（RRC）问题.在DUDC问题中，对于给定的点集合${\cal P}$，目标是选择最小基数子集${\cal D}^* \subseteq {\cal D}$，使得${\cal P}$中的每个点被${\cal D}^*$中的至少一个圆盘覆盖。另一方面，在RRC问题中，目标是选择最小基数子集${\cal D}^{**} \subseteq {\cal D}$，使得给定矩形区域${\cal R}$的每个点被${\cal D}^{**}$中的圆盘覆盖。对于DUDC问题，我们提出了一个$(9+ε)$因子（$0 < ε\leq 6$）近似算法.之前最著名的近似因子是15 \cite{FL12}。对于RRC问题，我们提出了（i）一个$(9 + ε)$ -因子（$0 < ε\leq 6$）近似算法，（ii）一个2.25-因子的近似算法，改进了以前的4-因子近似算法在相同的设置\cite{FKKLS07} . DUDC问题的解是基于子问题LSDUDC的PTAS，其中${\cal P}$中的所有点都在一条直线的一侧，并被以该直线另一侧为中心的圆盘覆盖。

2012-09-13cs.CG

更多相关论文收起更多论文

闭单位曲线的凸覆盖的面积至少为0.0975

A convex cover for closed unit curves has area at least 0.0975

将几何方法与数值箱搜索算法相结合，证明了平面上能覆盖所有单位长度的闭平面曲线的凸集的最小面积至少为0.0975。这改进了先前的最佳下界0.096694。事实上，我们证明了圆周、等边三角形和周长为$1$的矩形的凸包的最小面积在0.0975和0.09763之间。

2019-05-01cs.CGmath.MG

关于几何覆盖问题的稳定近似算法

On Stable Approximation Algorithms for Geometric Coverage Problems

本文研究动态最大覆盖问题的稳定近似算法，提出改进的稳定性界，并证明对胖物体的限制是必要的。

2024-12-17cs.CG

单位圆盘图与单位球图上团覆盖的次指数时间算法

Subexponential Algorithms for Clique Cover on Unit Disk and Unit Ball Graphs

本文研究单位圆盘图和单位球图上的团覆盖问题，提出单位圆盘图上的 $2^{O(\sqrt{n})}$ 时间算法并证明其在 ETH 下最优，同时证明 5 维单位球图上不存在 $2^{o(n)}$ 时间算法，揭示了该问题的维度诅咒现象。

2024-10-04cs.CGcs.DS

单位正方形点的最小层覆盖的快速算法

Faster Algorithm for Minimum Ply Covering of Points with Unit Squares

Biedl等人在CG 2021中引入了最小铺层覆盖问题，这是继Erlebach和van Leeuwen在SODA 2008中的开创性工作之后。他们证明了由给定的一组轴平行单位正方形确定给定点集的最小铺层覆盖数是NP-困难的，并给出了多项式时间$2$ -近似算法，其中最小铺层覆盖数由常数限定。Durocher等人最近提出了一种多项式时间$(8 + ε)$近似算法，用于最小铺层覆盖数为$ω(1)$的一般情况，对于每个固定的$ε> 0$。他们通过使用标准的网格分解技术将问题划分为子问题。他们设计了一个复杂的动态规划方案来解决每个子问题，每个子问题由一个单位边长的正方形网格单元定义。然后，他们合并的子问题的解决方案，以获得最终的铺层覆盖。我们使用一个水平板分解技术划分成子问题的问题。我们的算法使用一个简单的贪婪启发式获得一个$(27+ε)$近似算法的一般问题，一个小常数$ε>0$。我们的算法运行速度大大快于Durocher等人的算法。我们还给出了一个快速的$2$ -近似算法的特殊情况下，输入的正方形被包围的水平线。这种特殊情况的硬度仍然是开放的。我们的算法是潜在的扩展到最小层覆盖与其他几何对象，如单位圆盘，相同的矩形等。

2023-01-30cs.CGcs.DS

单位弧的通用凸覆盖的改进界

Improved bounds for universal convex covers of unit arcs

本研究改进 Moser 蠕虫问题的凸通用覆盖面积界至 [0.239, 0.24633]，通过有限细分证明下界和构造四边形证明上界，并用 Lean 4 形式化验证。

2026-09-21cs.CGmath.MG

平移和离散旋转下的泛凸覆盖问题

Universal convex covering problems under translation and discrete rotations

我们考虑了周长为2的平面对象（或长度为2的等价闭合曲线）的最小面积泛覆盖，允许平移和离散旋转。特别是，我们表明，解决方案是一个等边三角形的高度为1时，平移和离散旋转的$π$是允许的。我们的证明纯粹是几何的和初等的。我们还给出了长度为2的闭曲线在$π/2$和$2π/3$的倍数的平移和离散旋转下的凸覆盖。我们证明了$π/2$的倍数的离散旋转的覆盖的极小性，这是一个等边三角形的高度小于1，并推测覆盖是最小面积的凸覆盖。最后，我们给出了所有整数$k\ge 3$的平移和离散旋转$2π/k$下所有单位段的最小面积凸覆盖。

2022-11-27cs.CG

$k$ -可着色单元磁盘盖问题

The $k$-Colorable Unit Disk Cover Problem

在本文中，我们考虑单位盘覆盖（{ \it UDC}）问题的可着色变体，如下所示。{ \it $k$ -可着色离散单元磁盘盖（{ \it $k$ -CDUDC}）}：给定$n$点的集合$P$和$m$单位盘的集合$D$（半径=1），两者都位于平面中，以及参数$k$，目标是计算一个集合$D'\subseteq D$，使得$P$中每个点被$D'$中的至少一个圆盘覆盖，且存在一个函数$χ:D'\rightarrow C$，其将颜色分配给$D'$中的盘，使得对于$D'$中的任何$d$和$d'$，如果$d\cap d'\neq\emptyset$，则$χ(d)\neqχ(d')$，其中$C$表示包含$k$不同颜色的集合。对于{PDMATHABMMPDMATHABMN-CDUDC}问题，如果存在$k$ -可着色覆盖，则我们提出的算法近似于着色中使用的颜色数。我们首先提出了一个4-近似算法在$O(m^{7k}n\log k)$时间为这个问题，然后表明，运行时间可以提高一个乘法因子$m^k$，其中一个正整数$k$表示的基数的颜色集。以前最著名的结果的问题时，$k=3$是由于最近的工作Biedl等人，（2021），他提出了一个2-近似算法在$O(m^{25}n)$时间。对于$k=3$，我们的算法在$O(m^{18}n)$时间内运行，比以前的最佳算法快，但给出了4-近似的结果。然后，我们推广我们的方法来展…

2021-04-12cs.CGcs.DS

二维性与几何图

Bidimensionality and Geometric Graphs

在本文中，我们使用的几个关键思想，从二维给一个新的通用方法来设计EPTAS和次指数时间参数化算法的问题上的类图，这不是小封闭的，而是表现出几何结构。特别是，我们目前的EPTAS和次指数时间参数化算法的反馈顶点集，顶点覆盖，连通顶点覆盖，钻石击中集，地图图和单位盘图，以及循环包装和最小顶点反馈边集的单位盘图。我们的结果是基于Fomin等人[SODA 2011]最近证明的分解定理，我们的算法直接在输入图上工作。因此，不需要计算输入图的几何表示。据我们所知，这些结果是以前未知的，除了EPTAS和顶点覆盖的单位圆盘图的次指数时间参数化算法，分别由Marx [ESA 2005]和Alber和Fiala [J. Algorithms 2004]获得。我们继续表明，我们的方法不能在其充分的一般性扩展到更一般的几何图类，如R^d，d >= 3的单位球的相交图。具体地说，我们证明了R^3中单位球图上的反馈顶点集不允许PTAS，除非P=NP，也不允许次指数时间算法，除非指数时间假设失败。此外，我们表明，分解定理，我们的方法是基于失败的磁盘图，因此，我们的结果扩展到磁盘图将需要新的算法思想。另一方面，我们证明了我们的EPTAS和亚指数时间算法的顶点覆盖和连通顶点覆盖进行两个圆盘图和单位球图在R^d的任何固定的d。

2011-11-07cs.CGcs.DSmath.CO