关于线可分加权单位圆盘覆盖及相关问题
On Line-Separable Weighted Unit-Disk Coverage and Related Problems
AI总结：
本文研究线可分加权单位圆盘覆盖问题，提出 O(n^{3/2}log^2 n) 时间算法，改进此前 O(n^2 log n) 结果，并推广到半平面覆盖和击中集问题。
摘要：
给定平面上一组由 n 个点组成的集合 P 和一组由 n 个加权圆盘组成的集合 S，圆盘覆盖问题要求计算一个总权重最小的圆盘子集，使得该子集中圆盘的并集覆盖 P 中所有点。该问题是 NP 难的。本文考虑该问题的一个线可分单位圆盘版本，其中所有圆盘具有相同半径，并且其圆心与 P 中的点被一条直线 ℓ 分开。我们为该问题提出了一个 O(n^{3/2}log^2 n) 时间算法，改进了此前最好的 O(n^2 log n) 时间结果。我们的结果导出了一个 O(n^{7/2}log^2 n) 时间的半平面覆盖算法（即使用 n 个加权半平面覆盖 n 个点），相比此前 O(n^4 log n) 时间的解法有所改进。如果所有半平面都是下半平面，则我们的算法运行时间为 O(n^{3/2}log^2 n)，而此前最好的算法需要 O(n^2 log n) 时间。利用对偶性，相同设置下的击中集问题也可以在类似的时间复杂度内求解。
英文摘要：
Given a set $P$ of $n$ points and a set $S$ of $n$ weighted disks in the plane, the disk coverage problem is to compute a subset of disks of smallest total weight such that the union of the disks in the subset covers all points of $P$. The problem is NP-hard. In this paper, we consider a line-separable unit-disk version of the problem where all disks have the same radius and their centers are separated from the points of $P$ by a line $\ell$. We present an $O(n^{3/2}\log^2 n)$ time algorithm for the problem. This improves the previously best work of $O(n^2\log n)$ time. Our result leads to an algorithm of $O(n^{{7}/{2}}\log^2 n)$ time for the halfplane coverage problem (i.e., using $n$ weighted halfplanes to cover $n$ points), an improvement over the previous $O(n^4\log n)$ time solution. If all halfplanes are lower ones, our algorithm runs in $O(n^{{3}/{2}}\log^2 n)$ time, while the previous best algorithm takes $O(n^2\log n)$ time. Using duality, the hitting set problems under the same settings can be solved with similar time complexities.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
