Hermitian Quaternion Toeplitz Matrices by Quaternion-valued Generating Functions
School of Science, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学理学院）；Department of Mathematics, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学数学系）
研究四元数值函数生成的埃尔米特四元数托普利茨矩阵，给出其生成函数结构及Grenander-Szegö定理的四元数版本，并应用于Strang循环预条件子求解四元数信号处理中的线性系统。
2026-06-23 cs.NA math.NA
Gamma-matrices: a new class of simultaneously diagonalizable matrices
为了对Toeplitz系统进行预处理，我们提出了一类新的可同时对角化的实矩阵--Gamma矩阵，它既包括对称循环矩阵，也包括逆循环矩阵集合的一个子类.我们定义了一些快速计算Gamma矩阵与实向量的乘积和两个Gamma矩阵的乘积的算法。此外，我们说明了一种技术，近似一个真正的对称Toeplitz矩阵的伽玛矩阵，我们表明，预处理矩阵的特征值聚集在零附近，除了最多有有限数目的条款。
2021-07-13 cs.NA math.NA
On the eigenvalues of Toeplitz matrices with two off-diagonals
本文研究了具有“非对称稀疏三对角”结构的 Toeplitz 矩阵特征值，提出一种构造较小特设矩阵的算法，利用其特征值确定原矩阵的完整谱，并通过数值实验验证了相关猜想。
2023-05-24 cs.NA math.NA
$\mathcal O(n)$ working precision inverses for symmetric tridiagonal Toeplitz matrices with $\mathcal O(1)$ floating point calculations
本文提出一种线性时间算法，利用严格对角占优条件，以$\mathcal O(1)$浮点运算计算对称三对角Toeplitz矩阵的逆矩阵，并构建高效并行近似求解器。
2016-11-27 cs.NA math.NA
The asymptotic spectrum of flipped multilevel Toeplitz matrices and of certain preconditionings
在这项工作中，我们进行了谱分析的翻转多级Toeplitz序列，即，本文研究了$\{Y_{\boldsymbol{n}}T_{\boldsymbol{n}}(f)\}_{\boldsymbol{n}}$的渐近谱行为，其中$T_{\boldsymbol{n}}(f)$是由函数$f\in L^1([-π,π]^d)$生成的实平方多级Toeplitz矩阵，$Y_{\boldsymbol{n}}$是交换矩阵，它在主反对角线上具有$1$。与我们针对单级翻转Toeplitz矩阵序列所示的一致，渐进谱由特征值为$\pm |f|$的$2\times 2$矩阵值函数确定。此外，我们的特征值分布的某些预处理翻转多级Toeplitz序列的分析，包括多级Toeplitz和循环预条件。最后，我们所有的研究结果说明了几个数值实验。
2020-11-17 cs.NA math.NA
Compression Properties for large Toeplitz-like matrices
本文利用位移结构彻底解释了大型类Toeplitz矩阵的压缩性质，为HSS等分层低秩近似中的重要子矩阵提供了数值秩显式界限，并提出了高效的自适应超快速秩结构求解器压缩策略。
2025-06-25 cs.NA math.NA
The condition number of a random banded Toeplitz matrix is typically large
本文研究了带状Toeplitz矩阵的条件数，发现带宽对称性决定其条件数好坏。
2026-02-13 cs.NA math.FA math.NA
Fast polynomial transforms based on Toeplitz and Hankel matrices
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Cambridge（剑桥大学）；The University of Sydney（悉尼大学）
本文提出基于Toeplitz和Hankel矩阵的快速多项式变换方法，利用对角缩放Hadamard积实现高效的多项式系数转换，提出O(N(logN)^2)算法，适用于高精度计算。
2016-04-27 cs.NA math.NA
Matrix algebras with orthogonal Cauchy-like transforms and Toeplitz approximation: a negative result
University of Udine（乌迪内大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
该研究针对带类柯西正交变换的矩阵代数，运用Korovkin理论检验其对托普利茨矩阵的逼近性，发现其无法实现有效逼近，与类傅里叶代数等的成功结果形成对比，相关问题仍待解决。
2026-10-14 cs.NA math.NA
Four short stories about Toeplitz matrix calculations
本文通过四个故事研究有限、无限和双无限Toeplitz系统的求解，利用Banach代数理论刻画矩阵衰减，推导有限截面法和循环嵌入的误差估计，为反卷积数值现象提供理论解释。
2000-10-25 cs.NA math.NA math.RA
Diagonal Matrix Sequences and their Spectral Symbols
研究高维线性系统中谱符号的应用，通过分析对角序列的特征值排序，证明其与对角广义局部Toeplitz序列的联系。
2017-10-02 cs.NA math.NA
On certain matrix algebras related to quasi-Toeplitz matrices
本文通过构造由 $A_α$ 的幂张成的矩阵代数 $\mathcal P_α$ 的一组基，提出将对称准Toeplitz矩阵表示为 $P+H$ 的新方法，实验证明其运算效率优于现有 CQT-Toolbox。
2024-05-06 cs.NA math.NA
A $τ$-preconditioner for space fractional diffusion equation with non-separable variable coefficients
本文针对非可分离变系数空间分数阶扩散方程离散化的线性系统，提出基于$τ$-矩阵逼近的预条件子，结合FST实现快速求逆，证明GMRES求解具最优收敛速度，为该类问题首个最优收敛预条件方法，数值实验验证了其有效性。
2024-04-17 cs.NA math.NA
Spectral properties of flipped Toeplitz matrices
本文研究翻转 Toeplitz 矩阵 $H_n(f)=Y_nT_n(f)$ 的谱性质，建立特征值与 $f$ 采样间的交替符号关系并给出特征值局部化结果，用于 MINRES 求解非对称 Toeplitz 系统的收敛分析。
2023-12-11 cs.NA math.NA
Random Toeplitz Matrices: The Condition Number under High Stochastic Dependence
本文研究了随机Toeplitz矩阵的条件数。由于Toeplitz矩阵是一个对角常数矩阵，它的行或列不能是随机独立的。这种情况不允许我们使用经典的策略来分析它的最小奇异值时，所有的元素是随机独立的随机矩阵。利用循环嵌入，可以打破Toeplitz矩阵结构的随机依赖性，将问题归结为随机循环矩阵的极奇异值分析。其中，我们证明了在随机元的矩母函数存在的情况下，$n$维非对称随机循环矩阵的条件数为$κ\left(\mathcal{C}_n\right) = \mbox{O}\left( \frac{1}{\varepsilon} n^{ρ+1/2} \left(\log n\right)^{1/2} \right)$，且概率为$1-\mbox{O}\left((\varepsilon^2 + \varepsilon) n^{-2ρ} + n^{-1/2+\scriptstyle{o}(1)}\right)$，对于任意的$\varepsilon >0$，$ρ\in(0,1/4)$ .此外，如果随机项仅具有二阶矩，则我们具有概率为$1-\mbox{O}\left((\varepsilon^2 + \varepsilon) n^{-2ρ} + \left(\log n\right)^{-1/2}\right)$的$κ\left(\mathcal{C}_n\right) = \mbox{O}\left…
2020-09-28 cs.NA math.NA math.PR
A Split Fast Fourier Transform Algorithm for Block Toeplitz Matrix-Vector Multiplication
针对块 Toeplitz 矩阵乘法中多级嵌入带来的内存与计算冗余，提出惰性嵌入与急切投影算法，利用分裂 FFT 显著降低渐近计算量与峰值内存，并支持多设备并行化。
2024-06-25 cs.NA math.NA
On the decay of the off-diagonal singular values in cyclic reduction
Dipartimento di Matematica, Unversità di Pisa（比萨大学数学系）；Scuola Normale Superiore di Pisa（比萨高等师范学院）；KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文研究了循环约简算法生成的矩阵序列中非对角线块奇异值的指数衰减性质，给出了理论界限并提供估计工具，应用于求解大规模块三对角块Toeplitz系统和广义Sylvester方程。
2016-08-24 cs.NA math.NA
Block circulant and Toeplitz structures in the linearized Hartree-Fock equation on finite lattices: tensor approach
Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进学会数理研究所）；Max Planck Institute for Dynamics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂动态系统研究所）
本文提出基于网格的张量方法，用于近似求解三维晶格结构系统的椭圆特征值问题。通过局部高斯型轨道基组离散化，分析了周期性和非周期性问题中线性化Hartree-Fock方程的块循环和Toeplitz结构，实现了快速矩阵向量乘法和低存储需求。
2017-02-01 cs.NA math.NA
Structured inversion of the Bernstein-Vandermonde Matrix
伯恩斯坦多项式，长期以来的主食逼近论和计算几何，也越来越成为兴趣的有限元法。插值和逼近中的许多基本问题引起了有趣的线性代数问题。当试图找到边界或初始数据的多项式逼近时，会遇到Bernstein-Vandermonde矩阵，发现它是高度病态的。在此之前，我们利用单项Bezout矩阵和Hankel矩阵的逆之间的关系，得到了Bernstein质量矩阵的逆在Hankel、Toeplitz和对角矩阵方面的分解。本文利用Bernstein-Bezout矩阵的性质，将Bernstein-Vandermonde矩阵的逆分解为Hankel矩阵、Toeplitz矩阵和对角矩阵乘积的差.我们还使用非标准矩阵范数来研究Bernstein-Vandermonde矩阵的条件，表明在这种情况下的条件比标准2-范数更好。此外，我们使用多元伯恩斯坦多项式的属性，推导出块$LU$分解的伯恩斯坦-范德蒙矩阵对应于均匀节点上的$d$ -单纯形。
2020-05-07 cs.NA math.NA
A symbol based analysis for multigrid methods for Block-Circulant and Block-Toeplitz Systems
在文献中，有几个基于符号的多重网格方法的解决方案的线性系具有结构化的系数矩阵的研究。特别是，这种方法的收敛性分析已获得一个优雅的形式的情况下，由标量值函数生成的Toeplitz矩阵。在块Toeplitz设置中，也就是说，在矩阵元素是小的通用矩阵而不是标量的情况下，已经提出了一些关于特定应用的算法，并且在[7]中进行了第一次严格收敛分析。然而，利用现有的基于符号的理论工具，仍然不可能证明文献中已知的许多多重网格方法的收敛性。本文推广了已有的结果，给出了关于网格转移算子符号的更一般的充分条件，特别地，我们处理了矩阵值三角多项式在所有点处不可对角化且奇异的情形，并将新的条件用病态子空间的特征向量表示.此外，我们扩展到V-循环方法的分析证明了线性收敛速率在更强的条件下，这类似于在标量的情况下给出的。为了验证我们的理论研究结果，我们提出了一个经典的块结构问题源于有限元近似的二阶微分问题。我们专注于两个多重网格的战略，使用几何和标准的二分法网格传输运营商，我们证明，都属于投影机满足所提出的条件。此外，使用一个张量积的参数，我们提供了一个策略来构建高效的V-循环程序在块多级设置。
2021-11-12 cs.NA math.NA
Block Diagonalization of Quaternion Circulant Matrices with Applications
本文证明四元数循环矩阵无法被离散四元数傅里叶矩阵对角化，但可通过置换的离散四元数傅里叶变换矩阵块对角化，并应用于高效求逆、求解Toeplitz系统及四元数张量奇异值分解。
2024-02-08 cs.NA math.NA
A fast method for variable-order space-fractional diffusion equations
对于变阶空间分数阶扩散方程齐次Dirichlet边值问题，提出了一种快速分治间接配置法.由于空间因变量阶数的影响，得到的刚度矩阵的数值逼近不具有Toeplitz型结构。本文利用Toeplitz矩阵与对角矩阵相乘的和，给出了系数矩阵的一种快速逼近。我们证明了该逼近与原始问题渐进一致，原始问题需要$O(kN\log^2 N)$内存和$O(k N\log^3 N)$计算复杂性，其中$N$和$k$分别是未知数和逼近数的数量。数值实验证明了该方法的有效性和效率。
2019-07-08 cs.NA math.NA
Sum of Squares and Non Sum of Squares Regimes for the Toeplitz Bottcher Wenzel Form
University of Oxford（牛津大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文否证了 László 关于 Toeplitz 矩阵 Böttcher–Wenzel 形式为平方和的猜想，给出非平方和的显式反例族，并证明对称或反对称情形及阶数≤50 时仍为平方和。
2026-10-23 cs.NA math.NA math.OC
Analytical solutions to some generalized and polynomial eigenvalue problems
众所周知，拉普拉斯本征值问题$-Δu = λu$的有限差分离散化导致矩阵本征值问题（EVP）$A x= λx$，其中矩阵$A$是Toeplitz-plus-Hankel。Strang和MacNamara \cite{strang2014functions}给出了具有各种边界条件的三对角矩阵的解析解。我们推广的结果和发展的广义矩阵本征值问题（GEVPs）$A x= λBx$，其中所产生的有限元法（FEM）和等几何分析（IGA）的解析解。有限元矩阵是角重叠的块对角矩阵，而IGA矩阵几乎是Toeplitz + Hankel矩阵。事实上，IGA与修正的结果在Toeplitz加汉克尔矩阵给出了一个更好的数值方法。在本文中，我们致力于寻找GEVP的解析特征对，而发展更好的数值方法是我们的动机。对某些多项式本征值问题也得到了解析解。最后，我们推广了GEVP的特征向量-特征值恒等式（最近为EVP重新发现和提出），并导出了一些三角恒等式。
2021-04-12 cs.NA math.NA math.RA
Coburn's Lemma and the Finite Section Method for Random Jacobi Operators
本文研究了有限和无限三对角随机矩阵的谱和伪谱，证明了在伪ergodic条件下，有限和无限三对角随机矩阵的谱具有特定性质，并展示了有限截断方法在求解方程和估计谱时的有效性。
2015-09-23 cs.NA math.FA math.NA
Essential spectral equivalence via multiple step preconditioning and applications to ill conditioned Toeplitz matrices
University of Ioannina（约阿尼纳大学）；Athens University of Economics and Business（雅典经济与商业大学）
本文研究了非负生成函数具有唯一零点的Toeplitz线性方程组的快速求解，证明了在零点阶数θ<2时的谱等价性，并通过多重步骤预处理展示了θ>2时的本质谱等价性，结合预处理序列的特征值聚集性，优化了预处理共轭梯度法的收敛速度。
2014-04-21 cs.NA math.NA
A τ Matrix Based Approximate Inverse Preconditioning for Tempered Fractional Diffusion Equations
本文针对调和分数阶扩散方程，利用τ矩阵近似SPD Toeplitz矩阵，提出一种可借助离散正弦变换高效计算的近似逆预处理子，使特征值聚集在1附近，从而加速Krylov子空间方法收敛。
2024-07-31 cs.NA math.NA
Fast multi-dimensional scattered data approximation with Neumann boundary conditions
针对散乱数据逼近中的边界效应问题，提出采用余弦多项式基并施加 Neumann 边界条件，转化为 Toeplitz+Hankel 最小二乘问题，利用 DCT 加速矩阵向量乘法，实现快速共轭梯度算法，并推广至多维，在地球物理数据上验证了性能。
2003-01-14 cs.NA math.NA
Exploiting the the nonzero diagonal pattern in matrix function computations
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出基于非零对角线模式的分裂方法，用于高效计算稀疏矩阵函数及Toeplitz矩阵函数，通过稀疏近似提升计算效率。
2026-08-18 cs.NA math.NA
Sine-transform-based fast solvers for Riesz fractional nonlinear Schrödinger equations with attractive nonlinearities
针对带 Riesz 导数和吸引非线性的分数阶 Schrödinger 离散系统，提出结合反对称正规分裂与正弦变换预条件的快速求解器，实现无条件、无参数且与网格和分数阶无关的收敛。
2024-10-04 cs.NA math.NA
A preconditioner based on sine transform for two-dimensional Riesz space factional diffusion equations in convex domains
本文发展了求解凸区域中含非线性源项的Riesz空间分数阶扩散方程的快速数值方法。采用体积罚方法，在矩形区域内用隐式有限差分法离散了带罚项的Riesz空间分数阶扩散方程.研究了该方法的稳定性和收敛性。由于系数矩阵具有类Toeplitz结构，基于正弦变换的预条件，利用两个近似逆$τ$矩阵的组合构造了预条件，并将其对角化，利用广义最小残差法求解离散线性系组.预处理矩阵的频谱也进行了研究。数值实验证明了该方法的有效性。
2021-02-23 cs.NA math.NA
