Anticyclotomic $\largeμ$-invariants of residually reducible Galois Representations

剩余可约 Hida 族中的 Iwasawa 不变量

Iwasawa invariants in residually reducible Hida families

研究在族与 Eisenstein 族相交情形下，尖点 Hida 族中模形式 $μ$-不变量的变化，特别关注穿过椭圆曲线 $X_0(11)$ 的 5-adic 族。

Galois 变形环与剩余可约情形下的模性

Galois deformation rings and modularity in the residually reducible case

本文证明了数域的剩余可约 p-adic Galois 表示可由模形式产生，通过研究 Fontaine-Laffaille 条件下的万有变形环，并利用伪特征和 Selmer 群界，证明了环为离散赋值环，且应用于 4 维表示证明了模性。

关于某些全实域在剩余可约情形下的 pro-模性

On the pro-modularity in the residually reducible case for some totally real fields

本文在剩余可约情形下研究万有变形环与大 Hecke 代数的关系，证明了一个 pro-模性结果，并在某些全实域上得到条件性的大 $R=\mathbb{T}$ 定理，推广了 Deo 的结果。

比较剩余可约情形下的伽罗瓦表示

Comparing Galois representations in the residually reducible case

本文提出一种算法，用于判定剩余像为p-群的伽罗瓦表示的半单化是否同构，并应用于证明特定不可约表示由五个小范数素数处的Frobenius特征多项式决定，且自动验证了Grenié的2-adic例子。

关于剩余可约伽罗瓦表示的变形环和R=T定理

On deformation rings of residually reducible Galois representations and R=T theorems

本文研究了n维模p伽罗瓦表示rho_0的结晶泛变形环R（及其约化理想I），其中rho_0的半单化是两个互不同构的绝对不可约分量rho_1和rho_2的直和.在与rho_1和rho_2相关的Selmer群的一些假设下，我们证明R/I是循环的并且通常是有限的。使用的想法和结果（但有些不同的假设）Bellaiche和Chenevier，我们证明了我是主要的基本自对偶表示和推导语句的结构R。使用一个新的交换代数标准，我们表明，给予足够的信息Hecke侧得到一个R= T-定理。然后，我们应用该技术的模块化问题的2维表示在一个虚二次域和4维表示的有理数。

Deformations of Reducible Galois Representations to Hida-Families

The global deformation theory of residually reducible Galois representations with fixed auxiliary conditions is studied. We show that $\barρ:\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow \operatorname{GL}_2(\bar{\mathbb{F}}_p)$ lifts to a Hida line for which the weights range over a congruence class modulo-$p^2$. The advantage of the purely Galois theoretic approach is that it allows us to construct $p$-adic families of Galois representations lifting the actual representation $\barρ$, and not just the semisimplification.

模点在埃西恩情况下的扎里斯基密度

Modular points and dimensions of Eisenstein deformation spaces

本文通过局部-全局兼容性结果和非普通有限性结果，研究了残余可约情况下模点的扎里斯基密度，并探讨了其在海克环等维性和R=\mathbb{T}定理中的应用。

关于构造剩余同构特征的扩张

On Constructing Extensions of Residually Isomorphic Characters

本文阐述了一项合作工作，在剩余不可区分情形下证明了适用于$\mathrm{GL}_2$的Ribet引理版本，通过构造取值于“大”$\mathbf{T}$-模的Galois上同调类来构造特征的扩张。

半稳定约化艾森斯坦素数下新形式的反分圆岩泽理论

On the anticyclotomic Iwasawa theory of newforms at Eisenstein primes of semistable reduction

该研究去除了已有结果的限制条件，将半稳定约化艾森斯坦素数下新形式的反分圆岩泽理论推广到更高权情形，证明了相关岩泽主猜想与强BSD猜想的p部分，得到p逆定理并应用于Goldfeld猜想。

具有大 Selmer p-秩的可约 Galois 表示的形变

Deformations of reducible Galois representations with large Selmer $p$-rank

本文推广 Hamblen–Ramakrishna 形变提升技术，对任意 $p\geq5$ 构造与模形式相关的 Galois 表示，证明其 Bloch-Kato Selmer 群可具有任意大的 $p$-秩。

通过秩界的显式非Gorenstein R=T I：形变理论

Explicit non-Gorenstein R=T via rank bounds I: Deformation theory

针对两个不同素数乘积的非最优水平N，提出Galois理论准则以确定形变环最小化（唯一可约剩余表示的N水平新形式），满足时推导出R=ℤ定理，解决非Gorenstein形变环问题。

虚二次域上伽罗瓦表示的变形问题

A deformation problem for Galois representations over imaginary quadratic fields

在一定的假设下，证明了虚二次域F的极小分歧普通剩余可约p-adic伽罗瓦表示的模性.我们首先展示的条件下，剩余表示是唯一的同构。利用Taylor等人构造的伽罗瓦表示证明了GL_2（A_F）上尖形变形的存在性，建立了泛变形环是离散赋值环的充分条件（根据某些域扩张的不存在性，这些域扩张在许多情况下可以归结为关于L-值的条件），并在这种情况下证明了一个R=T定理.我们还研究了可约变形，并表明不存在最小特征0可约变形。

Eisenstein素数的广义Heegner圈与Katz $p$ -adic $L$ -函数

Generalized Heegner cycles at Eisenstein primes and the Katz $p$-adic $L$-function

本文考虑正规化新形式$f\in S_k(Γ_0(N),\varepsilon_f)$，其非常数项的傅里叶系数与有理素数$p$上的某个素理想的模Eisenstein级数的非常数项的傅里叶系数全等.在这种情况下，我们建立了Bertolini-Darmon-Prasanna的反分圆$p$ -adic $L$ -函数与Katz二元$p$ -adic $L$ -函数之间的一个同余关系。由此，我们得到了某些广义Heegner圈的$p$ -adic Abel-Jacobi映射下的象与Katz $p$ -adic $L$ -函数的特殊值之间的同余关系.特别是，我们的结果适用于与椭圆曲线相关的新形式$E/\mathbb{Q}$，其mod $p$伽罗瓦表示$E[p]$在好素数$p$上是可约的。因此，我们证明了：如果$K$是一个虚二次域，满足Heegner假设，$E$和$p$分裂，如果$E$的坏素数满足一定的同余条件mod $p$和$p$不划分某些伯努利数，那么Heegner点$P_{E}(K)$是非挠的，特别是意味着$\text{rank}_{\mathbb{Z}}E(K) = 1$。由此，我们表明，当$E$是半稳定的可约模$3$伽罗瓦表示，那么一个积极的比例，真正的二次扭转的$E$有秩1和积极的比例，虚二次扭转的$E$有秩0。

黑箱伽罗瓦表示

Black Box Galois Representations

我们开发的方法来研究$2$ -维$2$ -进伽罗瓦表示$ρ$的绝对伽罗瓦群的数域$K$，unramified以外的一个已知的有限集素数$S$的$K$，这是黑箱表示，在那里我们只能访问的特征多项式的弗罗贝尼乌斯自同构在一个有限的素数集。使用适当的有限测试集的素数，只依赖于$K$和$S$，我们展示了如何确定的行列式$\detρ$，是否$ρ$是剩余可约，以及进一步的信息的大小的等距图的$ρ$，其顶点是同构类的稳定格。该方法示出的例子为$K=\mathbb{Q}$，和$K$虚二次，$ρ$是表示附加到一个比安基模块化形式。这些结果构成了第一作者论文的一部分。

提升具有相同半简化的剩余 Galois 表示

Lifting residual Galois representations with the same semi-simplification

针对两个同半简化的模 p 非半单 Galois 表示，证明在温和条件下它们可提升为同权、同级、同 Neben 特征标的新形式所附 p-adic 表示。

关于模素数幂的 $\mathrm{GL}_2$ 的 Ribet 引理

On Ribet's Lemma for $\mathrm{GL}_2$ modulo prime powers

本文研究了紧群在完备离散赋值域上的二维连续表示模一致化元幂的可约性，证明了迹可约等价于表示可约，并在非剩余无重数情形下回答了 Bellaïche--Chenevier 问题，进而给出了 Ribet 引理的最优版本。