通过秩界的显式非Gorenstein R=T I：形变理论
Explicit non-Gorenstein R=T via rank bounds I: Deformation theory
AI总结：
针对两个不同素数乘积的非最优水平N，提出Galois理论准则以确定形变环最小化（唯一可约剩余表示的N水平新形式），满足时推导出R=ℤ定理，解决非Gorenstein形变环问题。
摘要：
Ribet已证明关于剩余可约Galois表示非最优水平的显著结果。我们聚焦于非最优水平N（两个不同素数的乘积），其中Galois形变环不被期望是Gorenstein的。我们证明了形变环尽可能小的Galois理论准则——即存在唯一的水平N新形式且其剩余表示可约。当满足该准则时，我们推导出R=ℤ定理。
英文摘要：
Ribet has proven remarkable results about non-optimal levels of residually reducible Galois representations. We focus on a non-optimal level $N$ that is the product of two distinct primes and where the Galois deformation ring is not expected to be Gorenstein. We prove a Galois-theoretic criterion for the deformation ring to be as small as possible -- that is, for there to be a unique newform of level $N$ with reducible residual representation. When this criterion is satisfied, we deduce an $R=\mathbb{T}$ theorem.
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