Schur Function Expansions and the Rational Shuffle Theorem
Gorsky和Negut在对称函数上引入了算子$Q_{m,n}$，并证明了在$m$和$n$互素的情况下，表达式${Q}_{m,n}(1)$由Hikita多项式${H}_{m,n}[X;q,t]$给出。后来，Bergeron-Garsia-Leven-Xin对任意$m$和$n$的${Q}_{m,n}(1)$猜想进行了扩展和改进，我们称之为扩展有理洗牌猜想。在特殊情况下，${Q}_{n+1,n}(1)$，有理混洗猜想成为Haglund-Haiman-Loehr-Remmel-Ulyanov的混洗猜想，这是由Carlsson和Mellit在2015年证明的混洗定理。扩展的有理洗牌猜想后来被Mellit证明为扩展的有理洗牌定理。本文的主要目的是研究在某些特殊情况下，在${Q}_{m,n}(1)$的舒尔函数展开中出现的系数的组合。Leven给出了${Q}_{2,2n+1}(1)$和${Q}_{2n+1,2}(1)$的Schur函数展开式的组合证明。在本文中，我们探讨了几个对称性的系数，出现在舒尔函数展开的${Q}_{m,n}(1)$的组合。特别地，我们研究了钩形Schur函数系数，以及当$m$或$n$等于$3$时，${Q}_{m,n}(1)$的Schur函数展开式.
2020-04-13 math.CO
Limit theorems for descents and inversions of shelf-shuffles
University of Southern California（南加州大学）
针对货架洗牌产生的排列，证明了下降次数和逆序数的中心极限定理，并给出了逆序收敛速度的与货架数无关的界。
2026-06-17 math.CO math.PR
Shuffle theorem for torus link homology
Seoul National University（首尔大学）；Sungkyunkwan University（成均馆大学）
本文证明了椭圆Hall代数与torus链接的Khovanov-Rozansky同调之间的关系，并解决了关于停车函数生成函数的猜想。
2026-02-06 math.CO math.GT math.QA
A quadratic identity in the shuffle algebra and an alternative proof for de Bruijn's formula
受某些迭代积分的多项式恒等式的启发，首先在[CGM20]中观察到格路径的设置，我们证明了一个有趣的组合恒等式的洗牌代数。当在路径签名的框架中解释时，它与de Bruijn公式有密切的联系。
2021-03-15 math.CO math.PR math.RA
Signed Enumeration of Upper-Right Corners in Path Shuffles
我们解决了一个猜想阿尔伯特和Bousquet-Melou枚举四分之一平面走动固定的水平和垂直投影根据其右上角计数模2。为此，我们引入了一个有符号的右上角计数统计。我们发现它的分布在平面上的步行与任何选择固定的水平和垂直的投影。此外，我们证明了多项式计数循环与一个固定的水平和垂直投影根据其有符号的右上角计数的绝对值是$(x+1)$ -积极的。最后，我们猜想之间的$(x+1)$ -积极的生成函数的右上角计数和有符号右上角计数的等价性。
2016-10-28 math.CO
Shuffle theorems and sandpiles
本文通过定义团独立图上的沙堆常返构型及其延迟统计量，为Carlsson-Mellit洗牌定理中的多项式提供了新的组合解释。
2024-01-15 math-ph math.CO math.MP
Falling stars: a fall-decorated rational shuffle theorem
Università Telematica Pegaso（佩加索在线大学）；Università di Bologna（博洛尼亚大学）
本文提出秋季Delta定理和Delta平方猜想的有理模拟，通过定义新的dinv统计量，证明秋季装饰矩形Dyck路径的q,t-生成函数的对称函数公式。
2026-06-23 math.CO
Shuffle series
我们应用运算理论计数组合，以计数之间的串并联偏序集和链的洗牌的数量。我们使用三种类型的洗牌，其中两种是非交换的，例如，$P$和$Q$之间的左甲板分隔符洗牌$A$是偏序集的洗牌，其中，在每个最大链$m\subset A$上，最小和最大元素属于$P$，并且$Q$的两个连续点不会连续出现在$m$上。$P$和$Q$的左侧牌组分隔器洗牌次数与$Q$和$P$的左侧牌组分隔器洗牌次数不同。当生成函数的$n$系数计数在偏序集$P$和$1<2<\cdots<n$之间进行混洗时，称之为混洗序列。我们解释了如何洗牌系列是同构的顺序系列作为代数上的系列平行偏序集的操作。弱阶多项式和严格阶多项式在文献中是众所周知的。在生成级数的层次上，利用元素个数为负数的集合理论，引入一个三阶级数，证明了一个与有限偏序集上代数结构相容的Stanley互反定理形式的定理.最后，我们描述了我们的工作与自由树运算的运算张量积的组合性质的关系。
2025-02-08 math.AT math.CO
A structure theorem for streamed information
本文将自由半洗牌代数与路径泛函代数等同，发现元数为3的新恒等式以恢复Zinbiel和Tortkara恒等式，并利用Hall积分与自由李代数的对偶性证明了流信息的结构定理，即任何元素均可唯一表示为Hall积分上的多项式。
2023-07-30 math.CO math.RA
The nonsymmetric shuffle theorem
本文引入非对称 $\boldsymbol{\nabla}$ 算子与非对称组合 Hall–Littlewood 多项式，结合双 Dyck 路径代数理论，证明组合 shuffle 定理的非对称版本，并给出 atom 正性猜想。
2025-09-28 math.CO
A three shuffle case of the compositional parking function conjecture
本文证明了多项式<nabla（C_p（1）），e_ah_bh_c> q，t-用统计量dinv和面积枚举了其支持Dyck路径按大小为a + b + c的组合p接触主对角线并具有一个读字的停车函数，该读字是一个递减字和两个递增字的混洗，其大小分别为a，b，c。这里Cp（1）是一个重新标度的Hall-Littlewood多项式，“nabla”是文献[1]中引入的Macdonald本征算子。这是我们在解决[14]的十年之久的洗牌猜想的持续努力中的最新进展。作为特例，它包括了以前与这个猜想有关的所有结果，如q，t-Catalan [3]和Haglund在[12]中的Schroder和h，h结果，以及最近在[9]和[10]中得到的它们的合成改进。它还证实了在[9]和[10]中采用的方法有可能产生洗牌停车函数猜想的解决方案，以及最近由Haglund，Morse和Zabrocki在[15]中提出的组合改进。
2013-05-09 math.CO math.QA
On the statistics of random-to-top shuffles
University of Southern California (USC)（南加州大学）
研究随机洗牌中固定点、下降数和翻转数的极限定理，提出新的组合分解方法，解决Pehlivan关于固定点的问题和Diaconis与Fulman关于翻转数的问题。
2026-04-08 math.CO math.PR
Shuffle formula in science fiction for Macdonald polynomials
本研究围绕麦克唐纳相交多项式展开，证明其零化恒等式与形状无关性，揭示其与对角共变代数特征及洗牌公式的关联，为洗牌定理提供新证明。
2025-01-26 math.CO math.RT
Cantor-Schröder-Bernstein theorem for a class of countable linear orders
本文定义了非空可数线性序集合的shuffle，并证明了任何作为凸子集相互嵌入的两个可数shuffle都是序同构的，从而将该类结构的Cantor-Schröder-Bernstein定理推广至可数shuffle。
2024-11-18 math.CO math.LO
A combinatorial skewing formula for the Rise Delta Theorem
本文证明了 Delta Conjecture 中的对称函数可通过 Schur 斜化算子从 Rational Shuffle Theorem 获得，并给出该斜化恒等式的纯组合证明，从而为 Rise Delta Theorem 提供了新证明。
2024-08-22 math.CO
Word operads and admissible orderings
我们使用Giraudo的建设从monoid组合运算提供了一个概念性的解释的起源Hoffbeck的路径序列的洗牌树，并用它来定义新的单项式的顺序洗牌树。一个这样的顺序是用来展示一个二次Gröbner基础的泊松运算。
2019-07-09 math.CO math.CT math.KT
Toric braids and $(m,n)$-parking functions
Carlsson和Mellit在arXiv：1508.06239中的Dyck路径代数构造被解释为复曲面辫子群的“正部分”的表示。然后，某些总和在$(m,n)$ -停车功能有关的评价，这种表示对一些特殊的辫子。Bergeron，Garsia，Leven和Xin在arXiv：1404.4616中提出的组合$(km,kn)$ -shuffle猜想是这个关系的一个推论.
2016-04-25 math.CO math.QA math.RT
On card guessing after an asymmetric single-shelf shuffle
University of Southern California（南加州大学）；University of Applied Sciences - Technikum Wien（维也纳应用科技大学）；New York University, Abu Dhabi（纽约大学阿布扎比分校）
研究非对称单架洗牌后猜牌游戏，明确最优策略并运用解析组合学方法研究正确猜测数量，找出其分布、均值和方差，证明对数凹性及极限行为、相变等，此前\(p = 1/2\)特殊情况研究较局限。
2026-07-14 math.CO math.PR
The valley version of the Extended Delta Conjecture
本文提出扩展Delta猜想的谷型版本，并通过研究扩展有序多重集划分的组合学，证明当t或q等于0时该猜想与上升版本等价。
2019-07-09 math.CO math.RT
Rational Parking Functions and LLT Polynomials
我们证明了“有理洗牌猜想”的组合侧提供了一个舒尔正对称多项式。进一步证明了给定有理Dyck路的贡献可以用某个斜LLT多项式来计算，从而推广了Haglund，Haiman，Loehr，Remmel和Ulyanov的结果.相应的斜交图被明确地描述在某个（m，n）-核心方面。
2015-03-13 math.CO math.RT
Calibrated representations of the double Dyck path algebra
本文系统研究双 Dyck 路径代数的表示论，定义其自然扩张并构造一大类校准表示，证明多项式表示是校准的且该范畴在适当条件下泛幺半，并将其张量幂与抛物 Gieseker 模空间的等变 K-理论联系起来。
2023-11-29 math.CO math.QA math.RT
Rectangular analogues of the square paths conjecture and the univariate Delta conjecture
本文提出方形路径猜想的矩形类似物以扩展 shuffle 猜想的矩形侧，并给出组合对象与统计量作为 Delta 及 Delta 方形猜想矩形扩展的初步基础，同时证明了互素情形下的新矩形路径猜想。
2022-05-31 math.CO
The $(km,kn)$-square paths theorem
Nankai University（南开大学）
针对满足特定条件的正整数，证明了某类平方路径定理，纠正并推广了相关猜想，通过组合结构编码与定理应用完成了新的结论证明。
2026-10-14 math.CO
Generalized Chung-Feller Theorems for Lattice Paths (Thesis)
在这篇论文中，我们推广了约束在半平面上的格路的Chung-Feller定理。对Devoretzky和Motzkin提出的用于证明投票问题的优美循环方法进行了改进，并将其应用于推广经典的Chung-Feller定理。我们使用拉格朗日反演推导出的广义公式。对于生成函数的证明，我们研究了分解格路的各种方法。我们还展示了一些结果的Narayana和Catalan生成函数的等分布性质。然后，我们开发的Motzkin和施罗德路径的广义Chung-Feller定理。最后研究了广义路及其Chung-Feller定理的类似定理。
2009-07-19 math.CO
A colourful path to matrix-tree theorems
在这个简短的说明中，我们重温Zeilberger的证明经典矩阵树定理，并给出一个统一的简明证明这个定理的变种，一些已知的和一些新的。
2019-10-25 math.CO
Generalizations of Chung-Feller Theorem II
经典的Chung-Feller定理[2]告诉我们，长度为$n$且带有$m$缺陷的Dyck路的个数是$n$阶Catalan数，且与$m$无关. L. Shapiro [9]发现了Motzkin路径的Chung-Feller性质。Mohanty的书[5]用了整整一节来探讨Chung-Feller定理。许多Chung-Feller定理是[5]结果的推广。本文考虑了$(n,m)$ -格路。研究了$(n,m)$ -格点路径的两个参数：非正长度和最右最小长度。利用双射方法得到了关于这两个参数的$(n,m)$ -格路的Chung-Feller定理。我们对点$(n,m)$ -格路径更感兴趣。本文研究了点$(n,m)$ -格点路径的两个参数：点非正长度和点最右最小长度。我们推广了[5]中的结果。利用本文的主要结果，我们可以找到许多不同格路的Chung-Feller定理。
2009-03-04 math.CO
Spectral analogues of Moon-Moser's theorem on Hamilton paths in bipartite graphs
1962年，Erdens证明了一个定理，证明了在给定最小度和边数的图中存在Hamilton圈。显着加强的情况下，平衡二部图，月亮和莫泽证明了相应的定理在1963年。本文建立了Moon和Moser关于平衡二部图和几乎平衡二部图的Hamilton路定理的几个谱类似定理。我们的证明的一个主要成分是其自身利益的结构性结果，涉及平衡二部图中的Hamilton路径与给定的最小度和边数。
2016-11-17 math.CO
Generalizations of Chung-Feller Theorem
经典的Chung-Feller定理[2]告诉我们，长度为$n$且带有缺陷$m$的Dyck路的个数是$n$阶Catalan数，且与$m$无关. L. Shapiro [7]发现了Motzkin路径的Chung-Feller性质。在本文中，我们发现这两个Chung-Feller定理之间的联系。我们重点讨论了三类格路的加权形式，并给出了上述两个定理的推广。我们证明了这三类格路的Dyck型Chung-Feller定理和其中两类格路的Motzkin型Chung-Feller定理。从所得结果中，我们发现了一个有趣的事实，即许多格路具有Dyck型和Motzkin型的Chung-Feller性质。
2008-12-16 math.CO
The Rado Path Decomposition Theorem
本文讨论Rado的一个定理：每一个自然数对的r-染色都有一个路分解。
2018-12-18 math.CO math.LO
Generalized Galois numbers, inversions, lattice paths, Ferrers diagrams and limit theorems
Bliem和Kousidis（arXiv：1109.4624）最近考虑了一类随机变量，它们的分布由广义伽罗瓦数给出（归一化后）。我们给这些随机变量的概率解释，使用反转随机字，随机格路径和随机费勒斯图，并使用这些给新的证明极限定理以及一些进一步的限制结果。
2012-03-29 math.CO math.PR
Edmonds' Branching Theorem in Digraphs without Forward-infinite Paths
设$ D $是有限有向图，$ V_0,\dots,V_{k-1} $是$ V(D) $的非空子集. Edmonds分支定理的（强形式）指出在$ D $中存在成对边不相交的生成分支$ \mathcal{B}_0,\dots, \mathcal{B}_{k-1} $，使得$ \mathcal{B}_i $的根集是$ V_i\ (i=0,\dots,k-1) $当且仅当对于所有$ \varnothing \neq X\subseteq V(D) $，$ X $的进入边的数目大于或等于与$ X $不相交的集合$ V_i $的数目。正如R. Aharoni和C.在\cite{aharoni1989infinite}中，这个定理对无限有向图不成立。Rumassen还证明了对于没有向后无限路的有向图类，埃德蒙兹的上述定理仍然成立。我们的主要结果是，有向图没有前向无限路，埃德蒙兹的分支定理仍然成立。
2017-05-01 math.CO
Infinite monochromatic paths and a theorem of Erdos-Hajnal-Rado
我们证明了如果$μ>{\rm cf}(μ)=ω$和$2^μ=μ^+$则$\binom{μ^+}μ\nrightarrow\binom{μ^+\ \aleph_2}{μ μ}$ .
2020-03-29 math.CO math.LO
On the Two Paths Theorem and the Two Disjoint Paths Problem
本文提出两条路径定理的新证明，通过推广至任意元组并利用并行组合归纳刻画，进而设计出构造性的O(nm)递归算法解决两条顶点不相交路径问题。
2025-08-14 cs.DS math.CO
Unimodality of the number of paths per length on polytopes: Examples, counterexamples, and a central limit theorem
该研究针对凸多面体路径数的单峰性猜想，证实部分多面体类符合猜想、构造反例否定其普遍性，并证明球面上均匀顶点的随机多面体相干路径长度满足中心极限定理。
2026-08-13 math.CO math.PR
A human proof for a generalization of Shalosh B. Ekhad's 10^n Lattice Paths Theorem
考虑Z^2中的格点路径，向北（N）和向东（E）各取一个单位步长。固定正整数r，s，并在Z ^2上的点上建立一个等价关系，设v，w是等价的，如果v - w = m（r，s），其中m在Z中。称一条格路有效，如果每当它以E步进入一个点v时，那么v类中的任何其他点也以E步进入。Loehr和Warrington证明了从（0，0）到（nr，ns）的有效路径数是（r+s choose r）^n。当s = 2时，我们证明了这个猜想。
2005-10-04 math.CO
Lattice paths and the Rogers--Ramanujan--Gordon type theorems with parity considerations
本文通过三类单位步格路径与 Rogers–Ramanujan–Gordon 型分拆之间的双射，将 Andrews 的奇偶性分拆定理对应到格路径，并获得新结论。
2024-01-28 math.CO
On the Kőnig-Egerváry Theorem for $k$-Paths
著名的Kennig-Egerváry定理等价于这样一个命题：对于某个图的每个诱导子图，匹配数等于顶点覆盖数当且仅当该图是二部图。受这个结果的启发，我们考虑所有图的集合${\cal G}_k$，使得对于每个诱导子图，$k$阶的不相交路的最大数目等于与所有$k$阶的路相交的顶点集合的最小阶。对于$k\in \{ 3,4\}$，我们给出了${\cal G}_k$中图的完整结构描述.此外，对于奇数$k$，我们给出了${\cal G}_k$中不含阶数小于$k$的圈的图的完整结构描述。对于这些图形类，我们的研究结果产生有效的识别算法，以及有效的算法，以确定最大集的不相交路径的顺序$k$和最小集的顶点相交所有路径的顺序$k$。
2017-10-21 math.CO
A generalisation of Menger's theorem in bidirected graphs
针对Menger定理在双向图中通常不成立的问题，通过将非平凡X-X路径与非平凡Y-Y路径纳入考量，证明了该情形下Menger定理成立，给出了双向图中Menger定理的推广结论。
2025-11-15 math.CO
A shorter proof of the path-width theorem
本文针对路径宽度定理，提出了一种比 Diestel 的证明更短且更简单的证明方法。
2023-09-10 math.CO
Cutoffs for exclusion and interchange processes on finite graphs
本文在有限图$G_N=(V_N,E_N)$上证明了一个关于对称排斥和交换过程的截断的一般定理，并假设这些图是几何和谱收敛于一个紧度量测度空间，或者它们同构于离散布尔超立方体.具体地，截止发生在时间$\displaystyle t_N= (2γ_1^N)^{-1}\log |V_N|$，其中$γ_1^N$是$G_N$上的对称随机游动过程的谱间隙。在前一种假设下，我们的定理适用于图上的上述过程，如：任意整数维$d$的$d$维离散网格和环面;固定$L$的圈的$L$次幂，也称为.所述$L$ -相邻换位混洗;以及自相似分形图及其乘积。
2020-12-23 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
A bijection proving the Aztec diamond theorem by combing lattice paths
我们给出了阿兹特克钻石定理的一个双射证明，说明有$2^{n(n+1)/2}$多米诺骨牌镶嵌的阿兹特克钻石顺序$n$。事实上，这个证明为不相交的$n+1$施罗德路径族建立了类似的结果，这些路径族有水平、对角或垂直的台阶，连接$n\times n$正方形网格两个邻边的网格点;众所周知，这些族与阿兹特克钻石的镶嵌是双射的。我们的双射是由一个可逆的“梳理”算法产生的，该算法对没有非相交条件的路径族进行操作，但要求任何垂直步骤都在路径的末端，并且在数量上明显是$2^{n(n+1)/2}$;它将它们转换为非相交的族。
2012-09-24 math.CO math.PR
