Chung-Feller定理II的推广

Chung-Feller定理的推广

Generalizations of Chung-Feller Theorem

经典的Chung-Feller定理[2]告诉我们，长度为$n$且带有缺陷$m$的Dyck路的个数是$n$阶Catalan数，且与$m$无关. L. Shapiro [7]发现了Motzkin路径的Chung-Feller性质。在本文中，我们发现这两个Chung-Feller定理之间的联系。我们重点讨论了三类格路的加权形式，并给出了上述两个定理的推广。我们证明了这三类格路的Dyck型Chung-Feller定理和其中两类格路的Motzkin型Chung-Feller定理。从所得结果中，我们发现了一个有趣的事实，即许多格路具有Dyck型和Motzkin型的Chung-Feller性质。

Chung-Feller定理的研究

An Investigation of the Chung-Feller Theorem

本文将用几种方法证明Chung-Feller定理。我们提供了一个归纳证明，双射证明，证明使用生成函数，和循环引理Dvoretzky和Motzkin。

格路的广义Chung-Feller定理（论文）

Generalized Chung-Feller Theorems for Lattice Paths (Thesis)

在这篇论文中，我们推广了约束在半平面上的格路的Chung-Feller定理。对Devoretzky和Motzkin提出的用于证明投票问题的优美循环方法进行了改进，并将其应用于推广经典的Chung-Feller定理。我们使用拉格朗日反演推导出的广义公式。对于生成函数的证明，我们研究了分解格路的各种方法。我们还展示了一些结果的Narayana和Catalan生成函数的等分布性质。然后，我们开发的Motzkin和施罗德路径的广义Chung-Feller定理。最后研究了广义路及其Chung-Feller定理的类似定理。

A minimum-change version of the Chung-Feller theorem for Dyck paths

A Dyck path with $2k$ steps and $e$ flaws is a path in the integer lattice that starts at the origin and consists of $k$ many $\nearrow$-steps and $k$ many $\searrow$-steps that change the current coordinate by $(1,1)$ or $(1,-1)$, respectively, and that has exactly $e$ many $\searrow$-steps below the line $y=0$. Denoting by $D_{2k}^e$ the set of Dyck paths with $2k$ steps and $e$ flaws, the Chung-Feller theorem asserts that the sets $D_{2k}^0,D_{2k}^1,\ldots,D_{2k}^k$ all have the same cardinality $\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}=C_k$, the $k$-th Catalan number. The standard combinatorial proof of…

含缺陷格路的加细

Refinements of Lattice paths with flaws

经典的Chung-Feller定理[2]告诉我们，长度为$n$且带有$m$缺陷的Dyck路的个数是$n$阶Catalan数，且与$m$无关.本文研究了带缺陷的Dyck路的四个参数加细问题，即峰、谷、双下降和双上升。令${p}_{n,m,k}$为具有$k$缺陷和$m$峰的半长度$n$的所有Dyck路径的数目。首先，我们推导出多项式$P_{n,m}(x)=\sum\limits_{k=1}^np_{n,m,k}x^k$的互易定理。然后我们得到了$p_{n,m,k}$与$p_{n,m,n-k}$之和的Chung-Feller性质。最后，我们给出了长度为$n$且具有$k$双上升的Dyck路的Chung-Feller型定理：具有$m$缺陷和$k$双上升的半长度为$n$的Dyck路的个数等于具有半长度为$n$，$k$双上升且不通过x轴以下的Dyck路的个数，这个个数由Narayana数计算.令${v}_{n,m,k}$（分别$d_{n,m,k}$）是具有$m$缺陷和$k$谷（分别为$m$和$k$谷）的半长度$n$的所有Dyck路径的数量。双下降）。得到了一些类似的结果。

Catalan-Spitzer 排列

Catalan-Spitzer permutations

本文研究两类与Spitzer引理可视化证明、Huq推广的Chung-Feller定理相关的Catalan-Spitzer排列，其计数由Fuss-Catalan数给出，分别推动了连分数到连分式的结果推广及Foata–Strehl群作用受限变体的发现。